Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Transkrypt

1 47. W każdym z zadań podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx f x x+ f D f, + fx 9 x + / f x fx 6 x x x + 4 f D f R f x x x 4 + fx 4 l x f x x 5 + f 7 f D f R D f R fx arctg x 5 π 48. Obliczyć całkę ieozaczoą + + +x. Wykoujemy podstawieie co daje t + +x, t + +x, t +x, t +x, t x, i formalie t 4 t x 4 t t dt. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

2 Otrzymujemy: + + +x 4 t t dt +t 4 + +x 4 t t dt 4t t +C x +x +C 4 + +x +x+c. +x+c 49. W każdym z zadań podaj w postaci uproszczoej wartość całki ozaczoej π/ 7 x 6 7 x 4 six x 4 π/6 x 4 9 cosx 8 x x + l x l x x + π x + 7π 4. Obliczyć wartość całki ozaczoej Przekształcamy miaowik fukcji podcałkowej x x +x+4 x x +x++ a astępie wykoujemy podstawieie t x+, i formalie x x +x+4. dt. x x+ + x t x x+ +, Poadto x odpowiada t /, a x odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, ] odpowiada przedziałowi t [ /, ]. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

3 Otrzymujemy x x+ + / lt + t dt t + t / l4 l4/ arctg arctg / arctgt t dt t + / t / l l π l π. dt t + π π 6 Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość l π. Uwaga: W prawidłowo uproszczoym wyiku ie może pojawić się arctg, a π oraz l mogą wystąpić tylko raz. 4. Obliczyć wartość całki ozaczoej x +x+. Przekształcamy miaowik fukcji podcałkowej, a astępie dzielimy przedział całkowaia a dwa przedziały: x +x+ + x x+ + x+ + x+ 8 + x + W pierwszej całce ostatiej sumy wzoru wykoujemy podstawieie i formalie + x+. t x, t x, t, x t, t t dt. Poadto x odpowiada t, a x odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, ] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy + x dt t dt +t dt +t l +t t dt +t t t+ +t dt +t dt l l l. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

4 Z kolei w drugiej całce ostatiej sumy wzoru wykoujemy podstawieie i formalie t x+, t x+, t, x t, t t dt. Poadto x odpowiada t, a x8 odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, 8] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy 8 + t dt x+ +t dt dt +t 6 l +t t dt +t t+ +t t dt +t dt 6 l4 l 6 4 l. Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość 8 6 l. Uwaga: W prawidłowo uproszczoym wyiku l może wystąpić tylko raz. 4. W każdym z zadań podaj w postaci uproszczoej wartość graicy ciągu. 4.. lim k l lim k l lim k l lim k l 5 +k lim 4.6. lim 4.7. lim 4.8. lim 4.9. lim 4.. lim k +k k k k π k k l π 6 π +k l π 8 π 9 π 6 Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

5 4. Obliczyć wartość całki iewłaściwej rozbieża. 6 x+ lub wykazać, że całka ta jest x 4x Rozkładamy fukcję podcałkową a sumę ułamków prostych: x+ x 4x x+ x x x+ A x + B x + C x+, x+ A x x++b x x++c x x. W tym miejscu moża wymożyć iloczyy po prawej stroie rówości, a astępie porówując współczyiki występujące po obu jej stroach uzyskać układ trzech rówań liiowych z trzema iewiadomymi A, B, C. My jedak wybierzemy ią drogę, a miaowicie podstawimy w rówości kolejo x, x, x otrzymując odpowiedio Wobec tego 6 x+ x 4x 6 8 8A, skąd A, 4B, skąd B, 4 8C, skąd C. x / x / x+ lim l x l x x l l lim lim x x l lim x l x l x l x+ l4+ l6 + l8 l x+ x + l4+l6+l8 x x+ x + 4 l+l+l+ l x x+ x + x + l l+ l + l l. Odpowiedź: Podaa całka iewłaściwa jest zbieża i ma wartość l. 44. Rozstrzygąć zbieżość szeregu! 8. Stosujemy kryterium d Alemberta do daego w zadaiu szeregu: x6 Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

6 +! ! ! !!! + +! +! e 8 e,6 <, e 4 skąd a mocy kryterium d Alemberta wyika zbieżość szeregu. Skorzystaliśmy przy tym z ierówości e >,6, która wyika albo z zapamiętaego rozwiięcia dziesiętego e,7..., albo ze wzoru e k k! > k k! Odpowiedź: Day w zadaiu szereg jest zbieży. 45. Wskazując odpowiedią liczbę wymierą dodatią C udowodić ierówości C π C π. Wolo skorzystać bez dowodu z rówości Szacujemy day w zadaiu szereg od dołu: i od góry: Wobec rówości π π 6 48 π 4 π 6 4 π udowodiliśmy żądae ierówości ze stałą C Obliczyć wartość całki iewłaściwej rozbieża. x+ x lub wykazać, że całka ta jest Wykoujemy podstawieie t x, czyli x t przy założeiu t, skąd dostajemy formaly wzór t dt. Przy tym podstawieiu przedziałowi całkowaia x, odpowiada przedział t,. Otrzymujemy: t t dt x+ x t+t dt +t arctgt lim arctgt arctg π t π. Odpowiedź: Podaa całka iewłaściwa jest zbieża i ma wartość π. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

7 47. W każdym z zadań podaj w postaci przedziału zbiór wszystkich wartości rzeczywistych parametru p, dla których poday szereg liczbowy jest zbieży. Przedział może być ieograiczoy tz. mieć koiec ±. W zadaiach ujawioo, że przedział jest obustroie domkięty p jest zbieży p, p jest zbieży p, p jest zbieży p [, ] p jest zbieży p [, p jest zbieży p, 4 p jest zbieży p 5, 6 p + p + p + jest zbieży p, + jest zbieży p, + jest zbieży p /, + p + p jest zbieży p /, + p jest zbieży p [ /4, /4] p jest zbieży p [ 4/7, 4/7]! p +4 jest zbieży p [ e, e]! p +5 jest zbieży p [ e/4, e/4]! p +6 jest zbieży p [ 4e/7, 4e/7] 48. Obliczyć wartość całki ozaczoej x 4 + 4x 5. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

8 Wykoamy podstawieie czyli oraz formalie t 4x 5, t 4x 5 t dt x 4, zauważając przy tym, że zależość t od x jest rosąca, a zatem przedziałowi całkowaia x [, ] odpowiada przedział t [, 5]. Otrzymujemy x 4 + 4x t t+l t+ t dt +t 5 t t+ t + +t dt 5 t + +t dt 5 5+l6 + l 8+l l. Odpowiedź: Wartość całki podaej w treści zadaia jest rówa l. 49. Wyzaczyć promień zbieżości szeregu potęgowego! 4! x p! p dla tak dobraej wartości całkowitej dodatiej parametru p, aby promień te był dodati i skończoy. Stosujemy kryterium d Alemberta do szeregu traktowaego jako szereg liczbowy z parametrem x. Otrzymujemy +! 4+4! x p+p! p +! + p+p! 4! x p x p p p p + x p p x p przy, o ile p 4, bo tylko w tym przypadku pierwszy czyik powyższego iloczyu ma graicę rzeczywistą dodatią. Tak więc zastosowaie kryterium d Alemberta prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów szeregu rówej x 5 e 5 dla p 5. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy e p

9 Jeżeli x 5 e 5 <, czyli x < e, to szereg jest zbieży. 4 Jeżeli zaś x 5 e >, czyli x > e, to szereg jest rozbieży. 5 4 Stąd wiosek, że promień zbieżości szeregu potęgowego jest rówy e 4. Odpowiedź: Day w zadaiu szereg potęgowy ma dla p 5 promień zbieżości e W każdym z zadań podaj cztery odpowiedzi. 4.. Dla podaych liczb a, b podaj w postaci liczby całkowitej lub ułamka ieskracalego taką liczbę wymierą w, że b x +x lw. a a, b 6, w / b a, b 6, w 4/ c a, b 5, w 5/ d a 6, b 5, w /9 a 4.. Dla podaej liczby a podaj w postaci liczby całkowitej lub ułamka ieskracalego taką liczbę wymierą b większą od a, że b x +x+ 6. a a, b b a, b 5 c a, b d a 4, b Dla podaych graic całkowaia a, b podaj w postaci liczby całkowitej lub b ułamka ieskracalego taką liczbę wymierą w, że x +x+ w π. a a, b, w / b a, b, w /4 c a, b +, w / d a, b +, w / Dla podaych liczb a, b podaj w postaci liczby całkowitej lub ułamka ieskracalego taką liczbę wymierą w, że b x x + lw. a a, b 4, w / b a, b 7, w c a, b 8, w 5/ d a 4, b 8, w 5/ a 4. Wyzaczyć promień zbieżości szeregu potęgowego! x!. 4 Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy a a

10 Stosujemy kryterium d Alemberta do szeregu 4 traktowaego jako szereg liczbowy z parametrem x. Otrzymujemy +! x +! +! + +! x x 7 x e przy. Tak więc zastosowaie kryterium d Alemberta prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów szeregu 4 rówej 7 x 4 e. Jeżeli 7 x 4 e Jeżeli zaś 7 x 4 e 4e <, czyli x <, to szereg 4 jest zbieży. 7 4e >, czyli x >, to szereg 4 jest rozbieży. 7 Stąd wiosek, że promień zbieżości szeregu potęgowego 4 jest rówy 4e 7. Odpowiedź: Day w zadaiu szereg potęgowy ma promień zbieżości 4e W każdym z zadań podaj ormę supremum fukcji f o podaym wzorze i dziedziie. Przypomieie: f sup{ fx : x D f }. 4.. fx 7six, D f R, f fx 7six, D f R, f 4.. fx 7si x, D f R, f fx 7si x, D f R, f 4.5. fx log x, D f 8 8, f fx log x, D f,, f 4.7. fx log x 6, D f 8, 4, f fx log x 6, D f 8, 4, f 4.9. fx log x 4 6, D f 8, 4, f fx x +x x, D f, +, f / 4.. fx x +8x x, D f, +, f fx x +7x x, D f, +, f 7/ 4.. fx x +6x x, D f, +, f 6/ 4.4. fx 4 x 4 +5x x, D f, +, f 5/ fx 4 x 4 +8x x, D f, +, f Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

11 4. Obliczyć wartość całki iewłaściwej rozbieża. 5 x+ lub wykazać, że całka ta jest x 9x Rozkładamy fukcję podcałkową a sumę ułamków prostych: x+ x 9x x+ x x x+ A x + B x + C x+, x+ A x x++b x x++c x x. 5 W tym miejscu moża wymożyć iloczyy po prawej stroie rówości 5, a astępie porówując współczyiki występujące po obu jej stroach uzyskać układ trzech rówań liiowych z trzema iewiadomymi A, B, C. My jedak wybierzemy ią drogę, a miaowicie podstawimy w rówości 5 kolejo x, x, x otrzymując odpowiedio Wobec tego 5 x+ x 9x lim 5 lim x x l 6 9 8A, skąd A, 9B, skąd B, 8C, skąd C 6. / x / x /6 l x x+ l x l x l x+ 6 x x x+ 6 x l lim l + l5 + l x + x l x l x+ 6 l + l5 6 x l lim + l8 6 x x x+ + l5 l5 l5 l+ + l5. Odpowiedź: Podaa całka iewłaściwa jest zbieża i ma wartość l5. x5 + l5 44. Udowodić zbieżość szeregu Aby udowodić zbieżość szeregu daego w treści zadaia, skorzystamy z kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. W tym celu musimy zweryfikować prawdziwość trzech założeń tego kryterium. W szeregu a przemia występują wyrazy dodatie i ujeme - oczywiste. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

12 Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest zbieży do zera. Sprawdzamy to astępująco: + lim + +5 lim Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest ierosący. Te waruek jest ajmiej oczywisty. Aby go udowodić, powiiśmy wykazać, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość , co kolejo jest rówoważe ierówościom + +8, +8 +, , 6 5, skąd wyika, że dowodzoa ierówość jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. W kosekwecji szereg day w treści zadaia jest zbieży a mocy kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. 45. Obliczyć wartość całki ozaczoej liczby całkowitej. Wykoujemy podstawieie i formalie t x+, t dt. 5x x+ podając wyik w postaci x t Poadto x odpowiada t, a x odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, ] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy 5x x+ 5 t t t dt t 4 t dt t5 5 t Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość Obliczyć całkę ieozaczoą x x. t Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

13 Rozkładamy fukcję podcałkową a sumę ułamków prostych: x x x x A x + B x + D x, A x +B x +D x x, Ax +Bx B +Dx Dx, A+D B D B, skąd B, D i A. W kosekwecji x x x x x l x + x l x +C. 47. Wyzaczyć taką liczbę aturalą, że krzywa o rówaiu y x dzieli zbiór { x,y : x [,] x 5 y x } a dwa obszary o rówych polach. Waruki zadaia będą spełioe, jeżeli co możemy przepisać kolejo jako x x+ + x x x x 5, x x + + x , + 6 +, +, +,. Odpowiedź: Waruki zadaia są spełioe przez liczbę. 48. Wyzaczyć promień zbieżości szeregu potęgowego! x. 6! Stosujemy kryterium d Alemberta do szeregu 6 traktowaego jako szereg liczbowy z parametrem x. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy x,

14 Otrzymujemy +! x + +! +! +! x x x + 4 x e. Tak więc zastosowaie kryterium d Alemberta prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów szeregu 6 rówej 4 x e. Jeżeli 4 x e <, czyli x <, to szereg 6 jest zbieży. e Jeżeli zaś 4 x e >, czyli x >, to szereg 6 jest rozbieży. e e Stąd wiosek, że promień zbieżości szeregu potęgowego 6 jest rówy. e Odpowiedź: Day w zadaiu szereg potęgowy ma promień zbieżości Udowodić zbieżość szeregu Aby udowodić zbieżość szeregu daego w treści zadaia, skorzystamy z kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. W tym celu musimy zweryfikować prawdziwość trzech założeń tego kryterium. W szeregu a przemia występują wyrazy dodatie i ujeme - oczywiste. Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest zbieży do zera. Sprawdzamy to astępująco: + + lim lim Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest ierosący. Te waruek jest ajmiej oczywisty. Aby go udowodić, powiiśmy wykazać, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość , Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

15 co kolejo jest rówoważe ierówościom + + +, + + +, + ++,,, skąd wyika, że dowodzoa ierówość jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. W kosekwecji szereg day w treści zadaia jest zbieży a mocy kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. 4. Wyzaczyć promień zbieżości szeregu potęgowego 4! x!. 7 Stosujemy kryterium d Alemberta do szeregu 7 traktowaego jako szereg liczbowy z parametrem x. Otrzymujemy ! x + +! !! x x x x4 e. Tak więc zastosowaie kryterium d Alemberta prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów szeregu 7 rówej 6 x4 e. 4 Jeżeli 6 x4 e e <, czyli x <, to szereg 7 jest zbieży. 4 Jeżeli zaś 6 x4 e e >, czyli x >, to szereg 7 jest rozbieży. Stąd wiosek, że promień zbieżości szeregu potęgowego 7 jest rówy Odpowiedź: Day w zadaiu szereg potęgowy ma promień zbieżości 4. Obliczyć wartość całki ozaczoej gdzie w jest liczbą wymierą. 6 4 e. 4 e.. Zapisać wyik w postaci lw, x +x +x Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

16 Rozkładamy fukcję podcałkową a sumę ułamków prostych: x +x +x x x+ x+ A x + B x+ + C x+, A x+ x++b x x++c x x+. 8 W tym miejscu moża wymożyć iloczyy po prawej stroie rówości 8, a astępie porówując współczyiki występujące po obu jej stroach uzyskać układ trzech rówań liiowych z trzema iewiadomymi A, B, C. My jedak wybierzemy ią drogę, a miaowicie podstawimy w rówości 8 kolejo x, x, x otrzymując odpowiedio Wobec tego 6 6 x +x +x l6 A, skąd A, B, skąd B, C, skąd C. / x x+ + / l x l x+ l x+ + x+ 6 x l8 l7+ l l +l l + l l l7+ +l l l l7 l8 l7 l 8 7. Odpowiedź: Podaa całka ma wartość l Obliczyć wartość całki ozaczoej całkowitej. Wykoujemy podstawieie i formalie t x+, 7 t dt. 4x podając wyik w postaci liczby x+ x t Poadto x odpowiada t, a x 7 odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, 7] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy 7 4x x+ 4 t t dt t t dt t4 4 t t Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

17 Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość. 4. Obliczyć wartość całki ozaczoej Sposób I: rzemieśliczy Wykoujemy całkowaie przez części: π xcosx x six π x π π x cos x. Pamiętać o uproszczeiu wyiku. six gdyż całka z siusa po pełym okresie jest rówa. Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość. Sposób II: pomysłowy Wykoując podstawieie x t+π, czyli t x π, otrzymujemy: π xcosx π π t+πcost+π dt π π π t+πcost dt Dla zakończeia rozwiązaia wystarczy zauważyć, że całka six, π π π π tcost dt π π π cost dt. tcost dt jest rówa jako całka z fukcji ieparzystej po przedziale symetryczym względem zera, a całka jest rówa jako całka z cosiusa po pełym okresie.. Pamiętać o uproszczeiu wy- x x+ iku. 44. Obliczyć wartość całki ozaczoej Przekształcamy miaowik fukcji podcałkowej x x+ a astępie wykoujemy podstawieie i formalie π π cos tdt x x++ t x, x t+ dt. x +, Poadto x odpowiada t, a x odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, ] odpowiada przedziałowi t [, ]. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

18 Otrzymujemy x + dt t + arctgt t Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość π. 45. Obliczyć wartość całki iewłaściwej lub wykazać, że całka ta jest rozbieża. arctg arctg π 4 π x +x 4 π. Rozkładając fukcję podcałkową a sumę ułamków prostych otrzymujemy: x. Pamiętać o uproszczeiu wy- x x+ iku. x +x lim x x+ x l x x+ x x+ l l lim l x l x+ x x l x x+ x +l l +l l. x+ Odpowiedź: Podaa całka iewłaściwa jest zbieża i ma wartość l. 46. Obliczyć wartość całki ozaczoej Przekształcamy miaowik fukcji podcałkowej x x x+ a astępie wykoujemy podstawieie i formalie x x x x++ t x, x t+ dt. x x +, Poadto x odpowiada t, a x odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, ] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy x x + lt + t+ dt t + t + arctgt t dt t + + t dt t + l l l π +arctg arctg + 4 Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

19 l + π 4. Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość l + π Obliczyć całkę ieozaczoą e x six. Ozaczamy daą całkę przez Ix i całkujemy dwukrotie przez części: Ix e x six ex six e x ex six e x cosx ex six e x cosx six e x cosx ex six ex cosx e x six ex six ex cosx Ix, co prowadzi do 4 Ix e x six e x cosx 9 Ix, skąd Ix ex six e x cosx 48. Udowodić zbieżość całki iewłaściwej Dzieląc przedział całkowaia otrzymujemy x π x 5 +x x π 4 x 5 +x + 4 x π x 5 +x 4. +C. x π x 5 +x 4. Wykażemy, że każda z dwóch całek występujących w powyższej sumie jest zbieża. W tym celu zauważymy, że fukcja podcałkowa jest dodatia i skorzystamy z kryterium porówawczego dla całek iewłaściwych. Otrzymujemy bo 4 π <. Podobie x π x 5 +x 4 x π x 5 +x 4 x π +x 4 x π x 5 + < +, x4 π < +, x5 π bo 5 π >. 49. Wyzaczyć promień zbieżości szeregu potęgowego x!. 9 Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

20 Stosujemy kryterium Cauchy ego do szeregu 9 traktowaego jako szereg liczbowy z parametrem x. Otrzymujemy x! x b.! Następie stosujemy kryterium d Alemberta do ciągu b : b + ++ x + +! b +! x + x + x e x. + Tak więc zastosowaie kryterium d Alemberta prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów ciągu b rówej e x. Jeżeli e x <, czyli x < e, to ciąg b jest zbieży do <, a w kosekwecji szereg 9 jest zbieży. Jeżeli zaś e x >, czyli x > e, to ciąg b jest rozbieży do + >, a w kosekwecji szereg 9 jest rozbieży. Stąd wiosek, że promień zbieżości szeregu potęgowego 9 jest rówy e. Odpowiedź: Day w zadaiu szereg potęgowy ma promień zbieżości e. 44. Obliczyć wartość graicy ciągu lim Przekształceie daej w zadaiu graicy prowadzi do gdzie lim k k +k lim k k + k k +k lim f k k, fx x +x. Poieważ uzyskaa graica jest graicą ciągu sum Riemaa dla fukcji ciągłej f a przedziale [, ] odpowiadających podziałom tego przedziału a przedziałów długości /, możemy zapisać jej wartość w postaci podaej iżej całki ozaczoej. Korzystając ze wzoru g x l gx +C gx obliczamy wartość tej całki: x x + x x + l x + x l9 l l. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

21 Odpowiedź: Podaa graica ma wartość l. 44. Udowodić zbieżość szeregu si 7 6 / +. / Skorzystamy z kryterium zbieżości bezwzględej oraz z kryterium porówawczego: bo / >. si 7 6 / + / si 7 6 / + / / + / + / < +, / 44. Udowodić zbieżość szeregu Aby udowodić zbieżość szeregu daego w treści zadaia, skorzystamy z kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. W tym celu musimy zweryfikować prawdziwość trzech założeń tego kryterium. W szeregu a przemia występują wyrazy dodatie i ujeme - oczywiste. Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest zbieży do zera. Sprawdzamy to astępująco: lim lim Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest ierosący. Te waruek jest ajmiej oczywisty. Aby go udowodić, powiiśmy wykazać, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość , co kolejo jest rówoważe ierówościom , , , , 5 4, skąd wyika, że dowodzoa ierówość jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. W kosekwecji szereg day w treści zadaia jest zbieży a mocy kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

22 W każdym z poiższych 7 zadań w miejscu kropek wpisz liczbę rzeczywistą lub postaw jedą z liter Z, R, N: Liczba S - poday szereg jest zbieży i jego suma musi być rówa S Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży, ale a podstawie podaych iformacji ie moża wyzaczyć jego sumy R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży Wiadomo, że szereg a jest zbieży, jego suma jest rówa 5, a pierwszy wyraz jest rówy 4. Co moża wywioskować o zbieżości poiższego szeregu i o jego sumie 44. a a R 445. a a 447. a N 448. a N 449. a a + Z 45. a a a +a a a a R 455. a a a a a +9 R 458. a +9 a a a + a +a + a +9 + a + +9 Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

23 W każdym z poiższych 8 zadań podaj wartość parametru p, dla której podaa graica jest dodatia i skończoa oraz podaj wartość graicy dla tej wartości parametru p. 46. lim p k k dla p 46. lim p 4 k k 6 dla p 46. lim p k k 5 dla p 5 k 46. lim p k k 4 dla p lim p l dla p +k k 465. lim p 4 l5 dla p +k k 466. lim p k +k dla p 467. lim p k +k 8 dla p Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

24 468. Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 7 +z 6 z 4 +z 9 w liczbach zespoloych. Podać liczbę rozwiązań, zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej moża używać zaków ± i ± dla zapisaia kilku rozwiązań jedym wzorem oraz zazaczyć wszystkie rozwiązaia a płaszczyźie zespoloej wykorzystując zamieszczoy iżej rysuek, a którym arysowao okrąg jedostkowy oraz proste przechodzące przez pukt, co 5. Przekształcając dae rówaie otrzymujemy kolejo: z 7 z 4 z 9 +z 6, z z 4 z z 6, Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

25 z z 4 z 6, z z 8 z 6, z z 8 z. Zatem dae rówaie ma rozwiązań i są to: liczba, osiem pierwiastków ósmego stopia z jedości w tym liczba oraz dwa pierwiastki trzeciego stopia z jedości bez liczby, którą już uwzględiliśmy. Odpowiedź: Dae rówaie ma rozwiązań:, ±, ±i, ± ± i oraz ± i. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

26 469. Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych oraz zazaczyć wszystkie rozwiązaia a płaszczyźie zespoloej wykorzystując zamieszczoy iżej rysuek, a którym arysowao okrąg jedostkowy oraz proste przechodzące przez pukt, co 5. Dae w zadaiu rówaie jest spełioe przez liczbę z i, a pozostałe dwa rozwiązaia tego rówaia leża a okręgu jedostkowym co. Iaczej: liczba i ma moduł i argumet π/, a zatem jej pierwiastki sześciee mają moduł i argumety π/6+kπ/ dla k,,, czyli odpowiedio π/6, 5π/6, π/. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

27 Odpowiedź: Dae rówaie ma rozwiązaia: i oraz ± + i. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

28 47. Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych oraz zazaczyć wszystkie rozwiązaia a płaszczyźie zespoloej wykorzystując zamieszczoy iżej rysuek, a którym arysowao okręgi o środku w zerze i promieiach dla,,,4 oraz proste przechodzące przez pukt, co 5. Liczba zespoloa 4 ma moduł 4 i argumet π, w związku z czym jej pierwiastki czwartego stopia mają moduł 4 4, a jede z ich ma argumet π/4. Tym pierwiastkiem jest więc cos π 4 +i si π 4 +i. Pozostałe trzy rozwiązaia daego w zadaiu rów- Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94

29 aia leżą a okręgu o promieiu co 9. Iaczej: liczba 4 ma moduł 4 i argumet π, a zatem jej pierwiastki czwartego stopia mają moduł i argumety π/4+kπ/ dla k,,,, czyli odpowiedio π/4, π/4, 5π/4, 7π/4. Odpowiedź: Dae rówaie ma 4 rozwiązaia: ± ± i. Lista P Odpowiedzi i rozwiązaia Stroy 66-94