WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VI Przekształcenia całkowe. Szereg Fouriera. l l l l. maja okres. l l

Transkrypt

1 Wykład VI Przekształceia całkowe. Szereg Fouriera. 6. Szereg Fouriera. 6.. Wieomia trygoometryczy w postaci rzeczywistej. Wieomiaem trygoometryczym -tego stopia azywamy sumę: a π π f = + a cos + b + π π π π + a cos + b si a cos + b si = a kπ kπ bk si = + ak cos + k = (6.) Fukcje trygoometrycze cos ω i si ω są fukcjami okresowymi o okresie T π = ω Wobec czego fukcje cos k π i si k π maja okres T = k Wspóym okresem fukcji trygoometryczych tworzących wieomia (6.) jestt =, przeto powyższy wieomia f() jest fukcją okresową o okresie da każdego aturaego. Zapisujemy to rówością Każdy składik sumy k = przesuięciem fazy, a miaowicie: f ( + ) = f, (6.) w wieomiaie (6.) moża przedstawić jako siusoidę z odpowiedim cos k π k k si k π a b Ak si k π + = + ϕk (6.3) Związki zachodzące miedzy współczyikami ak, b k oraz ampitudą A k i przesuięciem fazy ϕ k otrzymamy, korzystając ze zaego wzoru trygoometryczego: Jest wtedy si α + β = si α *cos β + cos α *si β (6.4) A = a + b, a = A si ϕ, b = A cosϕ (6.5) k k k k k k k k k

2 Na rys. 6. przedstawioo związki miedzy współczyikami wyrażeia trygoometryczego (6.3) zaś a rys. 6. przestawioo wykres siusoidy o pusacji ω = kπ / i przesuiętej w fazie o ϕ / ω. Rys. 6. Związki miedzy współczyikami wyrażeia trygoometryczego (6.3)

3 Rys. 6. Wykres siusoidy o pusacji ω = kπ / i przesuiętej w fazie o ϕ / ω Dzięki związkowi (6.3) moża wieomia (6.) przedstawić w postaci: a kπ f = + Ak si + ϕk k = (6.6) 6... Wieomia trygoometryczy w postaci zespooej Zae z agebry iczb zespooych wzory Euera: cos si j jω jω ( ω) = ( e + e ) jω jω ( ω) = ( e e ) (6.7) Pozwaają wyrażeiu (6.3) adać postać zespooą: kπ kπ kπ j ak cos + bk si = cke + cke kπ j (6.8) gdzie przez ck i c k ozaczoe zostały astępujące współczyiki zespooe w przypadku k=,,, df df ck = ( ak jbk ), ck = ( ak + jbk ) (6.9)

4 Oddzieie przyjmijmy ozaczeie: c = a (6.) Jeżei rozszerzyć zbiór wartości iczbowych przybieraych przez wskaźik k a wszystkie iczby całkowite od do, to wieomia (6.) będzie moża adać postać zespooą: kπ k k k (6.) k = j = ( = ) f c e c c 6..3 Szereg trygoometryczy w postaci rzeczywistej. Szeregiem trygoometryczym azywamy wyrażeie: a π π + a si + b cos (6.) = Sumą szeregu (6.) zgodie z ogóą defiicją sumy szeregu fukcyjego, azywamy graicę ciągu sum częściowych, będących wieomiaami trygoometryczymi: a kπ kπ k k k = S = + a si + b cos, ( =,... ) (6.3) Jak wiemy, sumy częściowe są fukcjami okresowymi o wspóym da wszystkich okresie rówym { } ( ) Jeżei ciąg S ( ) ma graicę, to ozaczamy ją symboem f S + = S (6.4) i piszemy a π π f = + a si + b cos (6.5) = Wspóy okres wszystkich wyrazów szeregu (6.5) powoduje, że suma szeregu jest fukcją o tym samym okresie jaki mają wyrazy szeregu. Zachodzi miaowicie rówość: Da wszystkich, da których szereg (6.) jest zbieży Wzory Euera Fouriera. f ( + ) = f (6.6) W ceu zaezieia związku miedzy współczyikami a k i b k szeregu (6.)załóżmy, że jest o w przedziae [, ] jedostajie zbieży do sumy f. Wtedy fukcja (6.5) jest ciągła w tym przedziae, zaś szereg moża w tym przedziae całkować wyraz po wyrazie. Jeżei każdy wyraz szeregu (6.5) pomożymy przez fukcję ciągłą w przedziae [, ] to otrzymay w te sposób owy szereg będzie ada jedostajie zbieży w tym przedziae i będzie go moża w tym przedziae całkować wyraz po wyrazie. W trakcie wykoywaia rachuków pojawią się pewe całki, które łatwo jest obiczyć, posługując się zaymi wzorami trygoometryczymi:

5 cos α = ( + cos α ), si α = ( cos α ) cosα cos β = cos cos α β + α + β siα si β = cos ( α β ) cos( α β ) + si cos β = si ( α β ) + si ( α + β ) (6.7) Da aturaych m i zachodzą astępujące rówości: π π d =, cos d = si d = π π π mπ cos d = si d =, si cos d =, W ceu obiczeia π mπ π mπ cos cos d = si si d =, m a scałkujemy szereg (6.5) w przedziae [, ]. Otrzymamy (6.8) Co wobec wzorów (6.8) daje a π π f d = d + a cos d + b si d = a = a = f d (6.9) Zaczeie geometrycze współczyika przedziae [, ]. a jest astępujące: jest to średia wartość fukcji f w Aby obiczyć astępie współczyik a dokoajmy ajpierw zmiay wskaźika sumacyjego w graicy (6.5). Będzie wtedy a mπ mπ f = + am si + bm cos (6.) m= Następie pomóżmy obie stroy rówości (6.) przez cos π Po ewej stroie wystąpi całka: i scałkujmy w przedziae [, ]. π f cos d

6 Zaś po prawej stroie szereg utworzoy z astępujących całek: Wobec powyższego a π cos = a b m m mπ π gdy m cos cos d = a gdy m = mπ π si cos d = π a = f cos d (,,... ) = (6.) Aaogiczie możąc rówość (6.) przez si π i całkując w przedziae [, ] otrzymamy: π b = f si d (,,... ) = (6.) Wzory (6.9), (6.), (6.) zwae wzorami Euera-Fouriera zapiszemy łączie: a b cos π = f * d (,,... ) = si (6.3) 6..5 Szereg trygoometryczy w postaci zespooej. Szereg trygoometryczy (6.) moża przedstawić w postaci zespooej: π j ce ( c = c ) (6.4) = { } Przypisując mu sumę f ( ) będącą graicą ciągu sum częściowych S o wyrazach: kπ j = k (6.5) k = S c e Jeżei, jak w poprzedim paragrafie, założymy jedostają zbieżość szeregu (6.4) w przedziae,,, to: [ ] = π j f = c e (6.6) Posługując się wzorami (6.9), (6.3) moża będzie da zespooych współczyików c apisać aaogicze do (6.3) wzory Euera-Fouriera:

7 π j c = f e d ( =...,,,,,... ) (6.7) 6. Fukcja całkowaa z kwadratem. Jak wiemy fukcją całkowaą w przedziae [ a, b ] azywamy taką rzeczywistą fukcję f której istieje całka (właściwa ub iewłaściwa) w tym przedziae, tz., że b a, da f d < (6.8) Fukcją całkowaą z kwadratem w przedziae [ a, b ] azywamy taką fukcję f jest całkoway w tym przedziae, miaowicie Defiicja b a, której kwadrat f d < (6.9) Fukcja ciągła w przedziae domkiętym jest całkowaa z kwadratem w tym przedziae. Fukcja całkowaa i ograiczoa też jest całkowaa z kwadratem. Jeżei fukcja jest całkowaa, ae ieograiczoa (p. f = w przedziae [ ], ), to może ie być całkowaa z kwadratem. Natomiast fukcja całkowaa z kwadratem w przedziae jest w im całkowaa. Da fukcji całkowaych z kwadratem w przedziae [ a, b ] zachodzi ierówość Schwarza: Wyikająca z astępującej ierówości: b b b fgd f d g d (6.3) a a a b b b b f + λ g d = f d + λ fgd + λ g d (6.3) a a a a Prawdziwej da każdej rzeczywistej wartości parametru λ. Nierówość (6.3) jest rówoważa stwierdzeiu, że wyróżik trójmiau kwadratowego wzgędem λ, występującego w ierówości (6.3) jest iedodati. W daszym ciągu będziemy formułować iektóre defiicje i twierdzeia da fukcji całkowaych z kwadratem. 6.3 Szereg Fouriera. Defiicja

8 Szeregiem Fouriera rzeczywistej fukcji f ( ) całkowaej z kwadratem w przedziae [, ] azywamy szereg trygoometryczy o postaci (6.), którego współczyiki są współczyikami Euera-Fouriera... To, że szereg (6.) jest szeregiem Fouriera fukcji f ( ), zapisujemy kładąc miedzy symboem fukcji a zapisem szeregu zak, miaowicie: a π π f + a si + b cos (6.3) = Zak odpowiediości miedzy fukcją a jej szeregiem Fouriera ie moża zastąpić w ogóym przypadku zakiem rówości, gdyż szereg Fouriera daej fukcji może być w poszczegóych, rozbieży, a jeżei jest zbieży wszędzie, to jego suma i tak może w puktach w przedziae [ ] pewych puktach ie być idetycza z wartością fukcji f ( ). Defiicja Jeżei szereg fukcji f ( ) ma sumę w każdym pukcie przedziału [, ] rozwijaej f ( ) to mówimy, że fukcja f jest w przedziae [, ] rówą wartości fukcji rozwijaa w szereg Fouriera... Piszemy wtedy: a π π f = + a si + b cos (6.33) = Dowodzi się, że a to, by fukcja f ( ) była w przedziae [, ] rozwijaa w szereg Fouriera wystarcza, by spełiała w tym przedziae waruki zwae warukami Diricheta. Mówimy, że fukcja f ( ) spełia w przedziae [, ] a b waruki Diricheta, jeżei: ) Przedział [ a, b ] moża podzieić a skończoa iość przedziałów otwartych, w których f ( ) jest mootoicza, ) W każdym pukcie przedziału [ a, b ] zachodzi astępująca rówość f = f ( ) + f ( + ) (6.34) 3) W puktach brzegowych przedziału [ a, b ] zachodzi rówość f ( a) = f ( a + ) + f [ b ] (6.35) Pierwszy z waruków Diricheta iustruje rys. 6.a, drugi rys. 6.b, a trzeci rys. 6.c.

9 Rys. 6. Zobrazowaie waruków Diricheta. Waruek drugi mówi o tym, że w każdym pukcie przedziału [ a, b ] fukcja ma graice jedostroe oraz jej wartość jest rówa średiej arytmetyczej tych graic. Fukcję f ( ), która w każdym pukcie ma jedostroe skończoe graice oraz jedostroe skończoe graice swojej pochodej, azywamy fukcjami przedziałami reguarą. Ma oa wtedy ajwyżej ieciągłości zwae ieciągłościami pierwszego rodzaju i zachodzi da iej astępująca rówość: Twierdzeie f + f + a π π = + a si + b cos (6.36) = Moża dowieść, że fukcja ciągła i reguara w przedziae jest rozwijaa w szereg Fouriera bezwzgędie i szereg jest jedostajie zbieży. Szereg Fouriera daej fukcji moża zapisać w postaci zespooej (6.4). Odoszą się do iego wszystkie przedstawioe powyżej rozważaia Szereg Fouriera fukcji ieparzystej ub parzystej. Twierdzeie Jeżei f ( ) jest w przedziae [, ] fukcją ieparzystą, tz. jeżei f f = w tym przedziae, to jej szereg Fouriera redukuje się do szeregu zbudowaego z samych siusów, miaowicie: Dowód π f b si = (6.37) Jest tak datego, że współczyiki a (=,,.) obicza się całkując fukcje ieparzyste w przedziae symetryczym wzgędem początku układu współrzędych. Współczyiki b (=,,.) moża wtedy obiczyć wzorem:

10 π b = f si d (6.38) Wyikającym ze wzorów (6.3), gdyż występujące w ich fukcje podcałkowe są parzyste (ioczy fukcji ieparzystej i parzystej jest fukcją ieparzystą, zaś ioczy dwu fukcji ieparzystych ub dwu fukcji parzystych jest fukcją parzystą). Twierdzeie Jeżei f ( ) jest w przedziae [, ] parzysta, to aaogiczie do (6.37) i (6.38) otrzymamy: a π f + a cos = (6.39) π a = f cos d (,,,... ) = (6.4) 6.3. Szereg Fouriera według samych siusów ub samych cosiusów. Twierdzeie Niech fukcja f ( ) okreśoa w przedziae (, ) spełia w im pierwszy i drugi waruek Diricheta. Wykażemy, że wtedy w tym przedziae moża ją przedstawić za pomocą jej szeregu Fouriera, zbudowaego wyłączie z samych cosiusów ub samych siusów, w sposób astępujący: a π π f a b = = = + cos = si ( (, )) gdzie a i b obicza się wzorami (6.4) i (6.38). Dowód (6.4) Jeżei chcemy przedstawić f ( ) za pomocą samych cosiusów, to przedłużamy f [, ] tworząc pomocicza fukcję ϕ okreśoą rówościami: ϕ Tak okreśoa fukcja ϕ spełia w [, ] f da = f da < < = f ( + ) da = f da < < f ( ) da = a przedział wszystkie waruki Diricheta, wiec jest rozwijaa w (6.4) szereg Fouriera i jest parzysta, zatem stosują się do rozważaia dotyczące fukcji parzystych powyżej. Jeżei teraz ograiczymy się do przedziału (, ), w którym fukcje f ( ) i otrzymamy tezę dowodzoego twierdzeia. ϕ są idetycze to

11 Aaogiczie, gdy fukcję f ( ) przedstawić za pomocą samych siusów, budujemy fukcję pomociczą: ϕ da = f ( ) da < < = da = f da < < da = (6.43) Daszy tok rozumowaia jest idetyczy jak w przypadku poprzedim. Będziemy mówić, że fukcja f zaś okreśoa wzorami (6.43) ϕ okreśoa wzorami (6.4) jest parzystym przedłużeiem ieparzystym jej przedłużeiem. Treść zadaia Przykład obiczeiowy Rozwiąć wg samych siusów fukcję Okreśoą w przedziae (, ). f = ( ) Rozwiązaie Jak wiadomo, fukcję tę moża przedstawić w postaci π f b = == si ( (, )) Gdzie współczyiki b obicza się wzorami Euera-Fouriera: Mamy więc: π b = f d = si (,,... ) π π π b = ( ) si d ( ) cos ( ) cos d = + π π Pierwszy wyraz w awiasie kwadratowym jest zerem da doej i górej graicy całkowaia, stąd π π π b = ( ) cos d ( ) si si d π = + π π π Pierwszy wyraz w awiasie kwadratowym jest zerem da doej i górej graicy, więc

12 b ( π ) ( π ) ( π ) ( ) 4 π 4 π 4 = si d cos = = 3 3 Stąd b = 8 ( π ) 3 gdy =,3,5,,k+, b = gdy =,4,6,,k,.. Rozwiązaiem zadaia jest: 8 π 3π 5π f π 3 5 = ( ) = si + si + si +... (, ) Treść zadaia Rozwiąć wg samych siusów fukcję przedstawioą a rys. 6.3 w przedziae [, ]. Rozwiązaie Rys. 6.3 przebieg fukcji f ( ) Fukcja ta jest w astępujący sposób zadaa aaityczie:

13 f h, gdy, = h h, gdy, Ozaczając Obiczamy współczyik b za pomocą wzoru Mamy więc: π f = b si = π b = f d = si (,,... ) h π h π b = si d h si d + = h π h π = cos + cos d + π π h π h π h cos cos d π π Wyrażeia, w których podstawiamy graice dają wartość zero, wiec: 4h π π 4h π π 8h π b = cos d cos d si si si π = = ( π ) ( π ) Stąd Rozwiązaiem zadaia jest więc: 8h b =, gdy =,5,...,4 k +,.. ( π ) 8h b =, gdy = 3,7,..., 4k + 3,... ( π ) b =, gdy =,4,6,..., k,..

14 8h π 3π 5π 7π f da π = si si + si si +... [, ] 7. Fukcje zespooe zmieej zespooej. Nich będzie day zbiór eemetów z, będących iczbami zespooymi. Jeżei każdemu eemetowi tego zbioru przyporządkowaa jest iczba zespooa Z, to mówimy, ze w zbiorze D została okreśoa z D. fukcja zespooa zmieej zespooej. Ozaczymy ja p. symboem f, pisząc Z=f(z) Zbiór D azywamy dziedzią fukcji f, zaś zbiór D złożoy z eemetów, będących wartościami fukcji f, przeciwdziedzią tej fukcji. Jeżei z=+jy, zaś Z=X+jY, to wtedy X + jy = f ( + jy) (6.44) Zaeżość tę moża zapisać w postaci układu dwu fukcji rzeczywistych dwu zmieych rzeczywistych: (, ) (, ) X = X y Y = Y y (6.45) Od układu fukcji (6.45) moża przejść do fukcji zmieej zespooej Z=f(z). W tym ceu w zaeżości (, ) (, ) Z = X y + jy y (6.46) Wystarczy a miejsce wstawić re z = ( z + z ) zaś a miejsce y im z ( z z ) (, ) (, ) = ( z+ z ), y= ( z z ) = co zapisujemy j Z = X y + Y y (6.47) Wobec tego każda fukcja zespooa (6.44) zmieej zespooej jest rówoważa pewemu układowi (6.45) dwu fukcji rzeczywistych dwu zmieych rzeczywistych. Da przykładu iech Z = z. Jest wtedy X + jy = + jy = y + jy Wobec czego X = y Y = y Jeżei zbiór D jest iią z = z t To wtedy fukcja zespooa zmieej zespooej staje się fukcją zespooą zmieej rzeczywistej Z = A z t

15 7. Pochoda fukcji zmieej zespooej. Niech będzie daa fukcja zespooa zmieej zespooej w otoczeiu z. Przyrostem fukcji f ( z ) azwiemy różicę miedzy jej wartością w pukcie z, a wartością w pukcie z i ozaczymy symboem Przyrost te odpowiada przyrostowi argumetu Przyjęcie astępujących ozaczeń: = y = y y df Z = f z f z z = z z ( ) ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) z = + j y y = + j y Z = X y X y + j Y y Y y = X + j Y Pozwaa ioraz różicowy, czyi stosuek przyrostu fukcji do przyrostu zmieej iezaeżej, wyrazić za pomocą przyrostów fukcji rzeczywistych Z X + j Y = z + j y (6.48) Defiicja Pochodą fukcji Z = f ( z) w pukcie z azywamy graicę iorazu różicowego (6.48) tej fukcji w pukcie z : f df Z f z f z '( z ) = im = im z z z z z z z (6.49) Posługując się defiicją fukcji piszemy f z f z z z ε η ( ε ) f ' z < gdy z z < Aaogiczie jak w dziedziie rzeczywistej dowodzi się, że fukcja mająca pochodą w pukcie z, czyi różiczkowaa w tym pukcie jest w tym pukcie ciągła. Załóżmy, że pochoda fukcji Z = f ( z) w pukcie z istieje, tz. f ' ( z) ( + ) f z z f z = im z z I obiczmy ją wybierając kokrete sposoby dążeia z do zera. (6.5) W pierwszym przypadku ustaamy drogę poziomą, tz. dopuszczamy tyko takie pukty sąsiedie wzgędem z, które dadzą się zapisać w postaci z +, czyi z =. Wtedy

16 X + j Y X Y f '( z) = im = im + j im Z istieia graicy zespooej, jak wiemy, wyika istieie graic części rzeczywistej i części urojoej. Ozaczając: X (, ) Y (, y) X y = Y = Pochode cząstkowe rzeczywistych fukcji dwu zmieych, otrzymamy ' f z = X + jy (6.5) W drugim przypadku ustaamy drogę pioową tz. dopuszczamy tyko takie pukty sąsiedie wzgędem z, które dadzą się zapisać w postaci z + j y czyi z = j y. Mamy wtedy X + j Y Y X f '( z) = im = im j im y y y Ozaczając Otrzymujemy pochodą: X y (, ) Y (, y) X y = Yy = y ' y y y f z = Y jx (6.5) Lewe stroy rówości (6.5) i (6.5) istieją z założeia i są sobie rówe, wobec czego waruek f ' z otrzymamy w postaci: koieczy istieia pochodej Twierdzeie X + jy = Yy jx y Warukiem koieczym istieia pochodej fukcji zespooej Z = f ( z) = X + jy zmieej zespooej z = + jy jest spełieie przez część rzeczywistą X (, y ) i część urojoą (, ) fukcji układu rówań różiczkowych: Y y tej X = Yy X y = Y (6.53). Rówaia te azywamy rówaiami Cauchy ego Riemaa, ub krótko C-R. Waruek te ie jest dostateczy da istieia pochodej. Moża jedak udowodić astępujące twierdzeie: Twierdzeie

17 Gdy fukcja f ( z ) jest ciągła to waruki C-R są warukami wystarczającymi istieia pochodej f '( z )... Defiicja Fukcję, mająca pochodą w otoczeiu daego puktu, azywamy fukcją hoomorficzą w tym pukcie; jeżei zaś jest oa hoomorficza w każdym pukcie obszaru, to azywamy ja fukcją hoomorficzą w obszarze... Niech będzie fukcja f z = X + jy = z = y + jy W każdym pukcie płaszczyzy jest oa ciągła, bo fukcje rzeczywiste X = y, Y = y Są wszędzie ciągłe. Jedocześie stwierdzamy, że spełioe są wszędzie rówaia C-R, tj.: X = Y =, X = Y = y y y Wobec czego fukcja Z = z jest hoomorficza w całej płaszczyźie zmieej zespooej. Je j pochodą obiczamy wzorem (6.5) ub (6.5): z ' = + jy = + jy = z (6.54) Defiicja pochodej w dziedziie zespooej jest formaie taka sama jak w dziedziie rzeczywistej, wobec czego wzory a różiczkowaie pozae w rachuku różiczkowym zmieej rzeczywistej są słusze i w dziedziie zmieej zespooej. Da przykładu: 7. Szeregi potęgowe. ( z )' z Szeregiem potęgowym azywamy szereg fukcyjy o postaci = (6.55) a ( z z ) = a + a ( z z ) a ( z z ) +... (6.56) = Przy czym z azywa się środkiem szeregu (6.56). Szereg potęgowy jest oczywiście zbieży w swoim środku i jego suma jest wtedy rówa a. Przykładem szeregów potęgowych są szeregi Tayora i Laureta. 7.. Fukcja wykładicza.

18 Jedym ze sposobów okreśaia fukcji zmieej zespooej jest ich defiiowaie przez aaogię do rozwiięć fukcji zmieej rzeczywistej a szeregi potęgowe. Wiemy a przykład, że fukcja wykładicza w dziedziie rzeczywistej e daje się przedstawić za pomocą szeregu potęgowego: e = = (6.57).....!!! = z Wszędzie zbieżego. Fukcję wykładiczą e w dziedziie zespooej tak zdefiiujemy, by da z= była idetycza z fukcją e. Będzie tak, gdy przyjmiemy e z z z z = = (6.58) z......!!! = Opierając się a tej zasadzie okreśimy fukcje trygoometrycze: z z z si z = z (6.59) 3! 5! 7! 4 6 z z z cos z = (6.6)! 4! 6! Stosując kryterium d Aemberta stwierdzamy, że szeregi (6.58), (6.59) i (6.6) są zbieże da każdego z w płaszczyźie zmieej zespooej. Obiczmy teraz jz e. Posługując się defiicją (6.58) możemy zapisać: 3 4 jz jz jz jz e = + jz =! 3! 4! z z z z j z ! 4! 3! 5! (6.6) Okreśeia (6.59) i (6.6) pozwaają przedstawić jz e za pomocą fukcji si z i cos z : jz e = cos z + j si z (6.6) Wzór (6.6) azywamy wzorem Euera. Jego szczegóym i często używaym przypadkioem jest wzór, w którym zmiea zespooa z przybiera wartości rzeczywiste. Jest wtedy Z czego wyika, że Jest także j e = cos + j si (6.63) j j ree = cos, ime = si j j e =, Arg e = + π k Wprowadź my postać wykładiczą iczby zespooej. Miaowicie, gdy

19 ( cosϕ siϕ ) z = r + j (6.64) Jest postacią trygoometryczą iczby, to j z = re ϕ (6.65) Jest jej postacią wykładiczą.