Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Transkrypt

1 Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09

2 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem stopia z liczby zespoloej z azywamy każdą liczbę zespoloą w spełiającą waruek w = z Symbolem z ozaczamy zbiór pierwiastków -tego stopia z liczby zespoloej z. Przykład : Przyjrzyjmy się rówaiu w =. Rozważając to rówaie w dziedziie rzeczywistej otrzymamy jedo jedye rozwiązaie w =, bo = oraz jest liczbą ieujemą. Traktując atomiast liczbę jako liczbę zespoloą i obliczając z iej pierwiastek zespoloy drugiego stopia otrzymamy w = { poieważ kwadraty obydwu tych liczb są rówe.

3 Przykład : Obliczmy i. Zgodie z defiicją poszukujemy wszystkich liczb zespoloych w spełiających rówaie = i. Niech w = x + iy, gdzie x, y R. Mamy w = i (x + iy ) = i x y + ixy = i. Porówując części rzeczywiste i urojoe obu stro rówaia otrzymujemy układ rówań Wyliczając z rówaia () y = (zauważmy, że dla x = 0 rówaie () jest sprzecze, a zatem możemy założyć, że x 0 x i wstawiając do rówaia () otrzymujemy skąd z kolei, możąc obustroie przez x i przeosząc wszystko a lewą stroę otrzymujemy rówaie dwukwadratowe Wstawiając astępie pomociczą zmieą t = x, gdzie t > 0 dostajemy rówaie kwadratowe w x = () { y. xy = () x =, x x x = 0. t t = 0, którego rozwiązaiami są liczby t = i t =, przy czym t ie spełia założeia t > 0. Zatem x =, a stąd x = lub x =. Otrzymaliśmy już części rzeczywiste szukaych pierwiastków, pozostaje jeszcze wyliczyć części urojoe, korzystając z wcześiej wyprowadzoej zależości y =. I tak: dla x otrzymujemy, x = y = zaś dla x = y =. Wobec tego poszukiwaymi pierwiastkami są liczby w = i, w = + i. TWIERDZENIE Twierdzeie : Wzór a pierwiastki z liczby zespoloej Dla każdej różej od zera liczby zespoloej z i dla każdej liczby aturalej istieje dokładie różych pierwiastków zespoloych stopia z liczby z, tworzących zbiór { w 0, w,, w }. Jeżeli liczba z jest postaci z = r(cos φ + i si φ), to pierwiastki te wyrażają się wzorami w k = r (cos + i si ), k = 0,,,. φ+k φ+k () Podkreślmy, że symbol r występujący w powyższym wzorze ozacza "zwykły" pierwiastek arytmetyczy stopia z liczby rzeczywistej r, jest zatem określoy jedozaczie. Warto zapamiętać, że w iterpretacji geometryczej wszystkie pierwiastki zespoloe stopia z liczby z = r(cos φ + i si φ) leżą a okręgu o środku w pukcie (0, 0) i promieiu [ r, w puktach będących wierzchołkami -kąta foremego wpisaego w te okrąg. Warto także zazaczyć, że zbiór pierwiastków z liczby zespoloej z ie zależy od wyboru argumetu tej liczby.

4 Przykład : Obliczymy pierwiastki stopia z liczby z =. Łatwo zauważyć, że liczbę z = możemy zapisać jako = (cos 0 + i si 0). Stąd r = oraz φ = 0. Ozaczmy = { w 0,, w 5 } i zastosujmy wzór ( ). Mamy: w 0 = (cos + i si ) = ( + 0i) =, w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = + i, w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = + i, w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = i, w 5 = (cos + i si ) = (cos + i si ) = i Zazaczając liczby w 0, w, w, w, w i w 5 a płaszczyźie zespoloej otrzymamy 5 5 Rysuek : Iterpretacja geometrycza zbioru pierwiastków -go stopia z liczby zespoloej z =. Zapiszmy teraz z = (cos + i si ). Tym razem zastosujemy wzór ( ) dla r = i φ =. Mamy: w 0 = (cos + i si ) = (cos + i si ) = + i, w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = + i, + w = (cos + i si ) = (cos + i si ) =, + + Łatwo widać, że otrzymae liczby różią się tylko kolejością. + w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = i, +8 w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = i, w 5 = (cos + i si ) = ( + 0i) =.

5 Przykład : Obliczymy pierwiastki stopia z liczby z = + i. Rozpocziemy od przedstawieia liczby z w postaci trygoometryczej. Mamy: z = + = oraz cos φ si φ = = = =. Argumetem główym liczby z jest φ =, stąd z = (cos + i si ). Do obliczeia pierwiastków z liczby z wykorzystamy wzór ( ). Mamy: w 0 = (cos + i si ) = (cos + i si ) = + i, + w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = + i, + + w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = i, + + w = (cos + i si ) = (cos + i si ) = i. + Na płaszczyźie zespoloej otrzymae pierwiastki tworzą kwadrat o środku w pukcie (0, 0), jak a rysuku poiżej (Rys. ): Rysuek : Iterpretacja geometrycza zbioru pierwiastków z liczby z. Bywa, że łatwo jest odgadąć jede z pierwiastków z daej liczby zespoloej. Przykładowo liczba w 0 = jest jedym z pierwiastków (dowolego stopia) z liczby z =. W takiej sytuacji do obliczeia pozostałych pierwiastków wygodie jest zastosować astępujące twierdzeie: TWIERDZENIE Twierdzeie : Jeżeli w 0 jest jedym z pierwiastków -tego stopia z liczby z, to wówczas pozostałe pierwiastki wyrażają się wzorem: k k w k = w 0 (cos + i si ), k =,,. ()

6 Przykład 5: Obliczymy pierwiastki stopia z liczby ( + i). Poszukujemy zatem liczb w 0, w, w { ( + i) }. Zapisując ( + i) jako (( + i) ) łatwo zauważyć, że jedym z pierwiastków jest liczba ( + i). Niech zatem w 0 = ( + i ). Wykorzystując wzór skrócoego możeia otrzymujemy w 0 = + 8i + i = 8i. Aby obliczyć pozostałe pierwiastki wykorzystamy wzór ( ). Mamy: w = w 0 (cos + i si ) = 8i ( + i) = i + i = i, Na koiec zilustrujemy graficzie otrzymay zbiór pierwiastków: w = w 0 (cos + i si ) = 8i ( i) = i i = i. Rysuek : Iterpretacja geometrycza zbioru pierwiastków z liczby z. Publikacja udostępioa jest a licecji Creative Commos Uzaie autorstwa - Na tych samych warukach.0 Polska. Pewe prawa zastrzeżoe a rzecz autorów i Akademii Góriczo-Huticzej. Zezwala się a dowole wykorzystaie treści publikacji pod warukiem wskazaia autorów i Akademii Góriczo-Huticzej jako autorów oraz podaia iformacji o licecji tak długo, jak tylko a utwory zależe będzie udzielaa taka sama licecja. Peły tekst licecji dostępy a stroie Data geeracji dokumetu: :09:9 Orygialy dokumet dostępy pod adresem: lik=99709be7b5577fb79e75080c Autor: Agieszka Kowalik