Janus Tpek TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚC Scecn, maec 994
Temat pac: Tenso momentu bewładnośc Cel pac: Oblcene tensoa momentu bewładnośc dla układu składającego sę klku mas punktowch oa jego wkostane do wnacena momentu bewładnośc dla dowolnej os. Wmagana pogamowe: Oblcane watośc własnch wektoów własnch mace. Kolejność cnnośc:. Ustalć współędne pestenne mas mnmum cteech mas punktowch (lcb całkowte w akese do klkunastu). Spoądć schematcn sunek układu tch punktów.. Wnacć współędne śodka mas układu petansfomować do układu śodka mas współędne opatwanch mas punktowch. Oblcć kąt, jake twoą wekto wodące tch mas osam układu śodka mas. 3. Oblcć składowe tensoa momentu bewładnosc (ów.(7)). 4. Oblcć watośc własne wekto własne tego tensoa (ów.(8) (9)). 5. Spoądć sunek pedstawając połoŝene os głównch tensoa na tle mas punktowch. 6. Oblcć długość os elpsod (ów. (6)) będącej geometcnm pedstawenem tensoa. Naskcować tą elpsodę. 7. Oblcć watość momentu bewładnośc wględem dowolnej postej pechodącej pe śodek mas (ów. (3)).
Tenso momentu bewładnośc T j Nech L będe wektoem momentu pędu punktu matealnego: L p mv () gde jest wektoem wodącm punktu + j + k () aś p jest jego pędem: p mv (3). W ównanu (3) m onaca masę punktu, a v jego pędkość lnową. JeŜel amast punktu mateanego mam do cnena błą stwną, to L m v ρ v d V (4) V gde ρ jest gęstoścą jednoodnej bł. ZałóŜm, Ŝe bła wkonuje uch obotow wokół pewnej os pędkoścą kątową ϖ. Wadomo, Ŝe wekto L ϖ wąane są e sobą następującm ównanem: L ˆ (5) Ne awse wekto L ϖ leŝą na jednej postej, atem welkość ) ne moŝe bć an skalaem, an teŝ wektoem. Jest ona tensoem dugego ędu (bo łąc dwa wekto) nawana ostała tensoem momentu bewładnośc. Tenso momentu bewładnośc jest tensoem smetcnm, któ moŝna pedstawć w postac mace 3 na 3: ) Ι Równane (5) apsane w postac maceowej ma postać: (6) L L L (7) 3
4 Nech bła stwna będe łoŝona n punktów matealnch, kaŝd o mase m, umesconch w pesten na końcach wektoów wodącch : k j + + (8) PonewaŜ wekto pędkośc lnowej v punktu wkonującego uch obotow moŝna pedstawć w postac v (9) atem ównane (4) apsem następująco: ( ) ( ) m L (0) Stosując do powŝsego ównana toŝsamość wektoową ( ) ( ) ( ) b a c c a b c b a () otmam: ( ) [ ] m L () PonewaŜ (3) dlatego ównane () pjme postać: ( ) ( ) ( ) + + + + k j k j m kl jl L (4)
Poównując waŝena wstępujące p odpowednch wesoach po obu stonach ównana (4) otmam: L m [ ( ) ] m [ ( ) ] L m [ ( )] [ ( ) ] L m [ ( + )] m m (5) [ ( )] Ropsując ównane (7) dostanem: L L L + + + + + + Poównane stonam ównań (5) składowe tensoa momentu bewładnośc: ( ) ( ) m m + ( ) m + ( ) m + ( ) m m m m (6) (6) powala otmać ostatecne waŝene na PowŜse ównana moŝna apsać w węłej postac stosując tw. smbol Koneckea δ kl : δ kl KgdK k l 0KgdKk l Wted wsstke ównana (7) apsą sę tak: kl m kl δ kl ( ) k l (7) W powŝsm ównanu ; ; 3. 5
Watośc własne wekto własne tensoa Równane na watośc własne λ tensoa T j ma postać: T T T λ 3 T T λ T 3 T 3 T3 T33 λ 0 (8) Rowąując to ównane tecego stopna otmujem t (w ogólnośc óŝne) watośc własne λ, λ, λ 3. W ppadku tensoa momentu bewładnośc są to główne moment bewładnośc wględem tech wajemne postopadłch os wanch osam głównm. Ose główne cl wekto własne tensoa w oblcm ównana: dla,,3. T λ T T3 T T λ T 3 T3 w T3 w 0 T33 λ w 3 Geometcna ntepetacja tensoa (9) 3 γ β α Nech wekto q two osam układu O 3 kąt α, β γ. Jego składowe są atem q(q cos( α),q cos( β),q cos( γ)).moŝna je smbolcne apsać jako qc k, gde c k jest odpowednm cosnusem keunkowm. ZałóŜm ponadto, Ŝe wekto p powstaje skutkem dałana tensoa Tk na wekto q. Wted p T q c T q c q k k k k Tk ck (0) k 6
gde astosowano umowę sumacjną Enstena: jeŝel w waŝenu dan wskaźnk wstępuje dwa a (tutaj k), to naleŝ wkonać po nm sumowane. Pjmjm następującą defncję: JeŜel welkość fcna jest okeślona funkcją p T k q k, to tenso [T k ] ma w obanm keunku q watość ówną składowej p ównoległej do q podelonej pe bewględną watość q: p T q () q [ ] Składowa p jest ówna locnow skalanemu wektoa p oa wektoa jednostkowego w keunku wektoa q a ma on składowe (c, c, c 3 ). Dlatego p c p q c Tk ck Zgodne defncją () otmam: p k () cc c3 q [ T] c Tk c Z powŝsego wou wnka, Ŝe tenso T ma w keunku os (cl dla c, c c 3 0 watość T, w keunku os 3 watość T 33 tp.). Równane () w pełnej postac wgląda następująco: [ T] c + c + 33 c3 + c c + 3 c c3 + 3c3 c c c T T T T T T (3) 3 c Tenso w układe os głównch ma atem jedne 3 składowe: T,T,T 33. Ropatm następne ównane powechn dugego stopna: + T + T33 + T + T3 3 + T3 3 (4) 3 T 7
Nech punkt P leŝ na tej powechn, w odległośc OP od pocątku okładu odnesena nech cosnus keunkowe wektoa jednostkowego postej OP wnosą odpowedno c. Zatem c. Podstawając te watośc do ównana (4) dostanem: [ T c T c + T33c3 + T c c + T3c c3 + T3c3 c ] + (5) Uwględnając (3), wó (5) moŝna apsać tak: [ T] cl [ T] cc c 3 (6) cc3 c To ostatne ównane moŝna apsać w badej węłej postac Tk k (7) Nawam je kwadką tensoa T k. JeŜel własność fcna ma stale watość dodatną, jak to ma mejsce np. dla momentu bewładnośc, to kwadkę tensoa T k stanow elpsoda. Pomeń wodąc wpowadon e śodka kwadk do dowolnego punktu na powechn jest ówn odwotnośc pewastka kwadatowego własnośc epeentowanej pe kwadkę meonej w keunku pomena wodącego : (8) [ T] PRZYKŁAD. Współędne punktów (układ OXYZ) oa ch mas: Zakładam, Ŝe badanm układem będe bó cteech mas punktowch o następującch współędnch pestennch podanch w układe OXYZ (pat sunek ) oa o masach m: Punkt X Y Z m P 4 7-8 P -3 4 4 P3-7 - 8 3 P4-7 - 7 8
. Wnacene współędnch ( s, s, s ) śodka mas układu: s m X m m Y s m s m Z m Dla układu punktów P...P4 oblcone współędne śodka mas wnosą: s0.777 s0.545454 s0.888 3. Oblcene współędnch punktów w układe śodka mas (układ O) X-s Y-s Z-s Punkt P 3.777 6.454545 -.888 P -3.777.454545 3.888 P3-7.777 -.545454 7.888 P4 0.777-7.545454 -.888 Kąt (w stopnach), jake twoą wekto wodące tch punktów osam układu współędnch O wnosą: 9
Punkt O O O P 60,9 3,7 03,7 P 33, 7,3 48,4 P3 34,7 98,6 46,0 P4 84,8 58,9 0,4 Oblcone one ostał ównana: n k n k + ( ) n k + cos α k + + + + gde jest wektoem wodącm wbanego punktu, a n wesoem (wektoem jednostkowm) odpowednej os układu współędnch. Np. weso os O to wekto (0,, 0). n k 4. Oblcene składowch tensoa momentu bewładnośc j: Oblcena wkonujem w opacu o wo (7). Otmano następujące wnk: 04.77 593.6363 063.88-68.773 66.909-40.88 PonewaŜ tenso awea element poadagonalne, pjęt układ odnesena O ne jest układem os głównch tensoa momentu bewładnośc. 5. Oblcene watośc własnch wektoów własnch tensoa momentu bewładnośc. Watośc własne oblcm owąując następujące ównane tecego stopna wględem (ównane (8)): 04. 77 68. 773 66. 909 68. 773 593. 6363 40. 88 66. 909 40. 88 063. 88 Otmuje sę następujące watośc lcbowe dla głównch momentów bewładnośc: 0 340.4 8.3 3 59.544 T wekto własne w (ose główne), odpowadające poscególnm watoścom własnm oblcm następującch tech ównań (dla,,3) : 0
04,77 68.773 66.909 68.773 593.6363 40.88 66.909 40.88 0 063.88 Otmano ponŝse watośc lcbowe na składowe wektoów własnch: 0.68398 0.9535 0.687807 w 0.568 0.873 0.58979 w 3 0.4583 w.56 0.4506 Punkt P...P4 twoą następujące kąt (w stopnach) osam układu os głównch Ow w w 3 : Punkt Ow Ow Ow 3 P 90.5 79.8 0. P 86.0 74.8 93.3 P3 9.5 50.9 9. P4 90.0 5.4 4.4 Oblcone ostał one ównana w k w k + w k + w k cos ( δk) + + w k + w k + w k + + w k + w k + w k
6. Kwadka tensoa momentu bewładnośc: Ose elpsod, będącej geometcnm pedstawenem tensoa momentu bewładnośc mają następujące długośc (ównane (8)): e 0,0734 e 0,035088 e3 3 0,043456 7. Oblcene momentu bewładnośc wględem dowolne wbanej os. Ropatm dowolną postą, któej wekto jednostkow w układe śodka mas O ma następujące cosnus keunkowe:(0,45; 0,30; -0,843). (Suma kwadatów mus bć ówna jeden). Ta posta two następujące kąt osam głównm (w stopnach): α70.6 β39,7 γ56,9 Moment bewładnośc wględem tej os wnos (ównane (3)): ( 0,45) 340,4 + ( 0,30) 8,3 + ( 0,843) 59,544 79, 86