Pręty silnie zakrzywione 1

Transkrypt

1 Pęt silnie akwione. DEFIICJ Pętem silnie akwionm nawam pęt, któego oś jest płaską kwą, a stosunek wmiau pekoju popecnego (leżącego w płascźnie kwin) do pomienia kwin osi ciężkości () pęta spełnia waunek. ZŁOŻEI, - osie główne centalne pekoju popecnego > 6 oś leżąca w płascźnie osi pęta jest osią smetii pekoju obciążenie leż w płascnac ównoległc do płascn osi pęta i jest smetcne wg. osi jednmi nieeowmi napężeniami są i τ obowiąuje ipotea Benouliego (ipotea płaskic pekojów) Rs. Q. PRĘŻEIE ORLE asada supepocji.. apężenia od sił osiowej odkstałcenie polega na mianie kąta wiecołkowego o, nie mienia się kwina osi pęta B B B ds ( ) () B' ds' ( )( ) () Rs. O BB' ds' ds ds ( ) (4) ε ds const. ( ) (5) ds ( 0, 0) ε E E ε C (6) twiedenia o ównoważności układu sił ewnętnc i wewnętnc d (7) (8)

2 Pęt silnie akwione.. apężenia od momentu ginającego odkstałcenie polega na mianie kwin pęta (obót pekoju wokół osi obojętnej) - sunek Onacenia : - pomień kwin osi obojętnej o - położenie osi obojętnej wg. osi ciężkości - odległość dowolnego włókna B od wastw obojętnej - pomień kwin osi obojętnej - współędna dowolnego włókna B (licona od osi ciężkości) o Rs. B B ds ( ') (9) BB' ds ' (0) ds ϕ ε d ' ds ' () ϕ Eε E d ' ' () E d ϕ const K K ' ' () K K (a) twiedenia o ównoważności układu sił ewn. i wewn. apisanego w osiac głównc centalnc d K ' d 0 (4)) ' d K d (5) lub też po wkostaniu osi obojętnej Pekstałćm ównanie (5) B oś ciężkości wastwa obojętna O ' d K ' ' d K d K d K d K d 0 K d K d K ( ) ( ) d 0 K d J * def O d K J * K J * (6) Pekstałćm także ównanie (5a). W wniku podielenia wielomianów wstępującc w funkcji podcałkowej otmujem ' ' ' (7) ' ' (5a)

3 Pęt silnie akwione Wstawiając (7) do (5a) otmujem K ' d K ' d K S K o ' ' ' S 0 onaca moment statcn pekoju wględem osi obojętnej ( 0, gdż oś obojętna nie pokwa się osią ciężkości) i wnosi : So o Ostatnia całka wstępująca w (8) wnosi eo - wnika to wpost waunku ównoważności (4). Stad ostatecnie mam następujące ównanie K o K o ( ) ożem tea wnacć e wou (a) napężenia wwołane diałaniem momentu ginającego. ( ) Pomnóżm licnik i mianownik pe, a następnie dodajm i odejmijm od licnika ilocn. Otmujem wówcas: [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) (0) Pównując watość stałej K ównania (6) do tej ównania (9) otmujem ( ) ( ) () Po wstawieniu () do (0) mam ().. Całkowite napężenia nomalne Całkowite napężenie nomalne będące sumą napężenia wwołanego siłą osiową i momentem ginającm otmujem pe wsumowanie (8) i (). Ostatecnie otmujem: ( ) () () ( ) () ( ) ( ) (8) (9) def ( ) ( ) d (4) Znaki I i III cłonu ównania () ustala się jak w klascnm mimośodowm ociąganiu pęta postego. P ustalaniu naku cłonu II można posługiwać się egułką mówiącą, że jeżeli moment powoduje wost kwin pęta to nak jest, jeżeli natomiast moment postuje pęt to nak jest -. Z ównania () widać, że okład napężeń - sunek 4 - nomalnc jest ipebolicn, mimo że kostaliśm ównań liniowej teoii spężstości. Jest to spowodowane kwoliniowm kstałtem pęta. C Rs. 4

4 Pęt silnie akwione 4.4. oment bewładności J * Całka J * - ównanie (4) - może bć pedstawiona w postaci amkniętej tlko dla postc kstałtów jak np. postokąt i tape. We wsstkic innc ppadkac należ skostać owinięcia funkcji podcałkowej w seeg potęgow i całkować wa po waie. d... d ( ) d d 4 d 4 d... (5).5. Pekój postokątn Całka J * dla pekoju postokątnego wnosi: b ln wówcas b b ln ln ψ ψ ln (6) b (7) ψ nalia napężeń w pęcie o pekoju postokątnm / 4 6 J * / J b J Widać, że dla stosunku ( / ) 6 moment J * jest paktcnie ówn klascnemu momentowi bewładności dla postokąta J. apężenie nomalne ma wówcas postać (8) J Zakładając, że, co onaca że pęt akwion staje się pętem postm otmujem następujące waunki: 0 apężenie nomalne okeślone jest tea ależnością: (9) J Otmaliśm atem wó jak w klascnm adaniu pęta postego mimośodowo ociąganego. W paktce już p stosunku ( / ) 6 pęt akwione lic się jak pęt poste. Jako dowód potaktujm osacowanie błędu, jaki popełnia się p takim sposobie potaktowania pęta akwionego.

5 Pęt silnie akwione 5 pęt post ma 6 J b pęt akwion min 6 J 6 ma. 6 b b min. WIOSEK : astosowanie teoii pęta postego daje osacowanie napężeń nadmiaem (a więc bepiecne) ok. 4.9% dla napężenia maksmalnego i ok. 6.% dla napężenia minimalnego. 679