=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz"

Nina Kołodziejczyk
7 lat temu
Przeglądów:

1 GEMETRIA MAS moment ewłdności i dewicji Zsd ogólne: 1) Moment ewłdności wględem osi ówn jest sumie momentów ewłdności wględem dwóc postopdłc płscn wiejącc tę oś: I =I π + I π I =I π + I π I = I π +I π 2) Moment ewłdności wględem punktu ówn jest sumie momentów ewłdności wględem tec postopdłc płscn pecinjącc się w tm punkcie: I o =I π +I π + I π lu ówn jest połowie sum momentów ewłdności wględem tec postopdłc osi pecodącc pe ten punkt: I o 2 (I +I + I ) 3) Dl cił jednoodnc cli o stłm okłdie gęstości (lu ukłdu cił o jednkowej gęstości) msow moment ewłdności to ilocn gęstości cił i geometcnego momentu ewłdności: I = ρ I G A pejść msowego momentu n geometcn nleż moment msow podielić pe gęstość cił lu stąpić msę ojętością (ł 3D), polem powiecni (cienk płtk lu figu 2D), długością (cienki pęt-1d) (gęstość odpowiednio ojętościow, powiecniow, liniow). 4) W mecnice wkostuje się msowe moment ewłdności, jednostk [kg m^2], w wtmłości mteiłów (dl pekojów cił 2D) stosuje się geometcne moment ewłdności, jednostk [m^4]. 5) Moment ewłdności są wse dodtnie, moment dewicji mogą ć dodnie, ujemne lu ówne eo. 6) Twiedenie Steine dl momentów ewłdności Moment ewłdności cił wględem dnej osi ówn jest sumie momentu ewłdności cił wględem osi do niej ównoległej i pecodącej pe śodek ms cił (centlnej) o ilocnu ms cił pe kwdt odległości międ osimi, np. dl osi : I = I +me 2 Twiedenie to oowiąuje ównież dl płscn i punktu. 7) Twiedenie Steine dl momentów dewicji Moment dewicji cił wględem dwu postopdłc płscn ówn jest sumie momentu dewicji wględem dwu płscn ównoległc do dnc płscn i wiejącc śodek ms (centlnc) cił o ilocnu ms cił pe współędne okeśljące położenie ou płscn wględem płscn centlnc, np.: I = I π π =I +mek W ppdku figu płskic twiedenie to dotc momentów dewicji wględem osi. Ann Peek Mecnik ogóln pomoc ddktcn, mec 2014 st. 1

2 MMENTY BEZWŁADNŚI podstwowe wo dl cił jednoodnc GRANIASTSŁUP WALE I 12 m(2 +c 2 ) I = I 4 m m2 I 12 m(2 +c 2 ) I 12 m(2 + 2 ) I 2 m2 c I π 12 mc2 I π 12 m 2 I π 12 m2 I π 12 m2 I π =I π 4 m2 m = ρv =ρπ 2 I ' I ' I ' ' I ' I ' I ' ' IENKA PŁYTKA PRSTKĄTNA IENKA PŁYTKA KŁWA Rowiąnie dokłdne : I 12 m(2 + 2 ) I 12 m(2 + 2 ) I 12 m(2 + 2 ) le 0, stąd (owiąnie pliżone): I 12 m 2 Rowiąnie dokłdne : I = I 4 m m2 I 2 m2 le 0, stąd (owiąnie pliżone): I =I 4 m2 I =I 2 m2 I 12 m2 (oś skieown jest postopdle do płtki - do ns) I 12 m(2 + 2 ) m = ρv =ρπ 2 lu m = ρ A =ρ π 2 gdie ρ =ρ ρ [ kg/m 3 ] ; ρ [kg/m 2 ] PRSTKĄT [pekój (figu) --> moment geometcne] KŁ [pekój (figu) --> moment geometcne] I G 12 A I G 12 A I G =I G 4 A2 I G 2 A2 gdie : A= I ' I ' gdie : A=π 2 I ' Ann Peek Mecnik ogóln pomoc ddktcn, mec 2014 st. 2

GRANIASTSŁUP PRSTY (dowoln figu w podstwie) IENKI PRĘT Rowiąnie dokłdne : I = I 4 m2 + 1 12 m2 I 2 m2 c I π 12 m2 gdie : m = ρv =ρ A A pole powiecni podstw 2 le 0, stąd (owiąnie pliżone): I = I 12 m2

I π =I π = 3 20 m2 gdie : m = ρv 3 ρπ2 I G =1 6 A2 12 3 I G =1 6 A2 12 3 gdie : A 2 KULA PÓŁKULA I = I =I = 2 5 m2 I = I =I = 2 5 m2 I π =I π =I π 5 m2 I = 3 5 m2 I π =I π =I π 5 m2 I = 3 5 m2 gdie :

3 GRANIASTSŁUP PRSTY (dowoln figu w podstwie) IENKI PRĘT Rowiąnie dokłdne : I = I 4 m m2 I 2 m2 c I π 12 m2 gdie : m = ρv =ρ A A pole powiecni podstw 2 le 0, stąd (owiąnie pliżone): I = I 12 m2 I =0 m = ρv =ρπ 2 lu m = ρ gdie ρ =ρ A=ρπ 2 ρ [kg/m 3 ] ; ρ [kg/m] STŻEK PRSTY TRÓJKĄT [pekój (figu) --> moment geometcne] I = I = 3 20 m m2 I = 3 10 m2 I G =1 6 A gdie : A 2 I π 10 m2 I π =I π = 3 20 m2 gdie : m = ρv 3 ρπ2 I G =1 6 A I G =1 6 A gdie : A 2 KULA PÓŁKULA I = I =I = 2 5 m2 I = I =I = 2 5 m2 I π =I π =I π 5 m2 I = 3 5 m2 I π =I π =I π 5 m2 I = 3 5 m2 gdie : m = ρv =ρ 4 3 π 3 gdie : m = ρv =ρ 1 2 ( 4 3 π 3 )=ρ 2 3 π 3 UWAGA: wote sme co dl kuli,le ms we woc o połowę mniejs, tem moment wjdieo połowę mniejs I I ' Ann Peek Mecnik ogóln pomoc ddktcn, mec 2014 st. 3

4 MASA SKUPINA PÓŁKLE [pekój (figu) --> moment geometcne] I G =I G 4 A2 oś ootu I G 2 A2 m I =m 2 UWAGA: ms skupion ciło o msie nie do pominięci, jednk o niewielkic wmic do pominięci gdie : A 2 (π 2 ) UWAGA: wo te sme codl koł, le pole powiecni we woc o połowę mniejse, temmoment wjdie o połowę mniejs I I ' PÓŁ WALA ĆWIERĆ WALA I = I 12 m m2 I 2 m2 I π 12 m2 I π =I π 4 m2 gdie : m = ρv =ρ( 1 2 π 2 ) UWAGA: wo te sme co dl wlc, le ms we woc o połowęmniejs, tem moment wjdieo połowę mniejs H=½ I = I 3 mh m2 I 2 m2 I π 3 mh 2 I π =I π 4 m2 gdie : m = ρv =ρ( 1 2 π 2 )( 1 2 ) UWAGA: wote sme co dl wlc wględem ukłdu osi w podstwie, le ms we woc4 mniejs tem moment wjdie 4 mniejs I ' Ann Peek Mecnik ogóln pomoc ddktcn, mec 2014 st. 4

5 PRZYKŁADWE ZADANIA ZAD.1 Wncć moment ewłdności wględem osi i cienkiej jednoodnej płtki stlowej o gęstości ρ i guości, w kstłcie i wmic poknc n sunku. Dne: ρ=7.8 [g/m^3], =5[cm], =0.5 [cm]. Płtkę dielim n 3 cęści o postc kstłtc i nnc momentc ewłdności: [1] postokąt, [2] tójkąt, [3] półkole. Moment ewłdności płtki wględem dnej osi jest sumą momentów od kżdej cęści wględem tej osi: I =I 1 I 2 + I 3 4 [1] postokąt Z tw. Steine: I =I 1 I 2 +I I 1 =I 1 +m(2) 2 I 1 12 m(4)2 I 1 12 m(4)2 +m(2) 2 =5 1 3 m 2 I 1 = I 1 +m() 2 I 1 12 m(2)2 I 1 12 m(2)2 +m() 2 =1 1 3 m 2 m=ρ A ρ =ρ A=(2)(4)=8 2 ρ=7.8[ g/cm 3 ]=7800[ kg/m 3 ] =0.5[ cm]=0.005[ m] ρ =7800[kg/m 3 ]0.005[m]=39[ kg/m 2 ] =0.05[m] m=39[kg/m 2 ]8(0.05) 2 [m 2 ]=0.78[kg] I 1 = [kg] (0.05)2 [m 2 ]=0.0104[kgm 2 ] I 1 = [kg] (0.05)2 [ m 2 ]=0.0026[ kgm 2 ] I 1 =0.0104[kgm 2 ] I 1 =0.0026[kgm 2 ] [2] tójkąt /3 T Wiem, że dl płtki tójkątnej moment ewłdności wględem osi ( T ) wdłuż kwędi wnosi: I T 6 m2 gdie: m=ρ A=ρ 1 2 (2)=ρ =ρ 2 =39 (0.05) 2 =0.0975[kg] I T (0.05)2 = [kgm 2 ] = 45 o 45 o I T = [kgm 2 ] 4 A policć I 2 te dwukotnie skostć twiedeni Steine: I T =I 2 +m( 1 3 ) 2 I 2 = I T m( 1 3 ) 2 I 2 = I 2 +m( ) 2 I 2 = I T m( 1 3 ) 2 +m( ) 2 I 2 = I T 1 9 m 2 +m( ) 2 =I T 1 9 m m2 = I T m2 Ann Peek Mecnik ogóln pomoc ddktcn, mec 2014 st. 5

6 I 2 = (0.05)2 = [kgm 2 ] I 2 = [kgm 2 ] 2 A D Moment ewłdności tójkąt wględem osi (). Z tw. Steine: I 2 =I 2 +m 2 B A wncć moment wględem osi 2 podielm tójkąt n dw AB i BD, kżd o połowie ms cłego. Wted oś 2 ędie pecodił pe kwędź kżdego nic. I 2 ( jednego) 6 ( 1 2 m)2 I 2 =2 1 6 ( 1 2 m)2 6 m2 I 2 6 m (0.05)2 = [ kgm 2 ] I 2 = (0.05) 2 = [kgm 2 ] [3] półkole 3 Wiem, e dl płtki w kstłcie półkol moment ewłdności wględem śednic (oś ) wnosi: I 4 m m = ρ A =ρ 1 2 (π 2 )= (π )=0.1531[kg] I = [kgm 2 ] I 3 = [kgm 2 ] Moment ewłdności tójkąt wględem osi (). Z tw. Steine: I 3 =I 3 +m 2 I 3 4 m = [kgm 2 ] I 3 = = [ kgm 2 ] I 3 = [kgm 2 ] łkowite moment ewłdności wnosą: I = I 1 I 2 + I 3 = = [kgm 2 ] I =I 1 I 2 +I 3 = = [kgm 2 ] osttecnie: I = [kgm 2 ] I = [ kgm 2 ] Ann Peek Mecnik ogóln pomoc ddktcn, mec 2014 st. 6

Podobne dokumenty

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna ktestki geometcze Mecik teoetcz Wkłd 9, i ktestki geometcze figu płskic. Główe cetle osie ezwłdości. Pole powiezci Momet sttcz współzęde śodk ciężkości. Momet ezwłdości Momet odśodkow główe cetle osie