Diagonalizacja macierzy kwadratowej

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Diagonalizacja macierzy kwadratowej"

Katarzyna Wawrzyniak
6 lat temu
Przeglądów:

2 Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an an ann xn xn Natomast wszystke jednocześne daje sę zapsać w zwartej postac w forme: a a an x x xn x x n xn a a a n x x x n x x n x n an an a nn xn xn x nn xn xn n x nn x x x x x x n n x x x n n nn x n Wykład 8-8

3 Dagonalzacja macerzy kwadratowej Wprowadzając oznaczena x x xn x x x n S oraz L xn xn x nn n możemy powyższe równane macerzowe zapsać w postac AS SL S - AS Wnosek: Wykorzystując macerz zbudowaną z wektorów własnych można za pomocą transformacj podobeństwa przetransformować macerz A do postac dagonalnej w której elementam dagonalnym są wartośc własne macerzy A. Przykład: Zdagonalzuj macerz za pomocą transformacj podobeństwa. ( ) A det ( A I) ( ) ( ) wektory własne: v oraz v ( ) - S S S AS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - L Wykład 8-8

4 Dagonalzacja macerzy kwadratowej Po znormalzowanu wektorów własnych utworzona macerz jest untarna (ortogonalna) ( ) ( ) u oraz u ( ) ( ) - U U Transformację - U AU U AU L nazywamy untarną transformacją podobeństwa. Przykład: Zdagonalzuj macerz za pomocą transformacj podobeństwa. A det ( A I) ( )( ),, 5 4 Wektory własne: : v, : v 6 4 Wnosek: Tej macerzy ne da sę zdagonalzować. Uwaga: Kompletnym układem wektorów własnych macerzy A nân nazywamy każdy układ n lnowo nezależnych wektorów własnych tej macerzy. Macerze które ne posadają kompletnego układu wektorów własnych nazywamy nekompletnym. Uwaga: Macerz A nân jest dagonalzowalna wtedy tylko wtedy gdy posada kompletny układ wektorów własnych. Wykład 8-48

5 Macerze hermtowske symetryczne macerz (anty)hermtowska: macerz (anty)symetryczna: A ± A aj ± a j T A ± A aj ± a j * wartośc własne macerzy hermtowskej (lub rz. symetrycznej) są rzeczywste: D : A x x x A x x x ( ) ( * x A A x ) x x - * * x A x x A x x x ( * A A ) x x * x x wektory własne odpowadające różnym wartoścom własnym macerzy hermtowskej (lub rz. symetrycznej) są wzajemne ortogonalne: D : A x x xa x x x ( ) x x A x x xa x x x - x x Defncja: Macerz kwadratową A nazywamy normalną wtedy tylko wtedy gdy komutuje ona ze swom sprzężenem hermtowskm, tzn. AA A A. Wnosek: Wszystke macerze (anty) hermtowske (rz. (anty) symetryczne), untarne (rz. ortogonalne) są macerzam normalnym. Wykład 8-58

6 Twerdzene: Macerz hermtowską (lub rz. symetryczną) można zdagonalzować za pomocą macerzy untarnej (lub ortogonalnej). D: W przypadku wszystkch różnych wartośc własnych macerz można zdagonalzować - za pomocą transformacj podobeństwa S AS L Pokażemy, że macerz hermtowską można zdagonalzować równeż w przypadku zdegenerowanych wartośc własnych. Nech będze zdegenerowaną wartoścą własną macerzy hermtowskej H nân a x wektorem własnym do tej wartośc własnej. Konstruujemy układ n ortonormalnych wektorów x tak aby perwszym z nch był x Z wektorów tych budujemy untarną macerz U ( x x... x n ) Transformacja untarna ma dokładne ten sam zestaw wartośc własnych co macerz H: U HU - - ( ) ( ( ) ) ( ) - ( ) ( ) ( ) det U HU I det U H I U det U det H I det U det U U det H I det H I Macerz U HU jest hermtowska: ( ) U HU U H U U HU Wykład 8-68

7 Mamy: * x * x UHU H x x xn * x n x * * x α α n x h h n * x α n n α nn ( ) ( ) det H I det U HU I α α α n α α α n α α α n n nn ( ) α α α α α α n n n n nn Hx x ozn Hx h, x x δ α α α bo jest UHU hermtowska Wykład 8-78

8 Defnujemy macerz H stopna n-: H α α α n α α α n α n α n α nn Wśród wartośc własnych H mus pojawć sę. Konstruujemy układ n- ortonormalnych wektorów z których perwszy jest wektorem własnym macerzy H do wartośc własnej : y y yn y y y n y, y,..., y n- y n y n y nn Defnujemy untarną macerz U stopna n: U HU H U H y y y y n yn y nn Wykład 8-88

9 Wówczas untarna transformacja podobeństwa za pomocą U daje: ( ) U U HU U H y y y y δ * * y y n y y n β β n H * * y y n ynn n y nn β n β nn Jeśl jest m-krotne zdegenerowaną wartoścą własną to powyższy schemat powtarzamy m razy. Pozostała część macerzy może być zdagonalzowana przez wektory własne odpowadające różnym wartoścom własnym. Do zdagonalzowana macerzy stopna n potrzeba n- transformacj untarnych: U HU Λ U UUU n - Wnosek: Każda macerz hermtowska (lub rz. symetryczna) stopna n posada n ortogonalnych wektorów własnych bez względu na degeneracje wartośc własnych. ( ) U HU U U HU U HU U Λ Λ Λ Wykład 8-98

10 Przykład: Znajdź untarną macerz U dagonalzującą poprzez transformację podobeństwa macerz hermtowską H Wartośc własne macerzy H są perwastkam jej równana charakterystycznego det ( H I ) ( ) Mamy trzy wartośc własne v v v v ( ) T Nech będze jednym z wektorów własnych do wartośc własnej : v v v v v v v Wyberamy trzy lnowo nezależne wektory v v v Wykład 8-8

11 Korzystając z metody Grama-Schmdta znajdujemy układ wektorów ortonormalnych: v x x v v x v x v x x v x ( ) ( ) x x x U x x x UHU Untarna transformacja podobeństwa za pomocą macerzy ( ) Wykład 8-8

12 Poneważ H UHU mają te same wartośc własne, węc muszą być wartoścam własnym podmacerzy Znormalzowane wektory własne macerzy H do wartośc własnych to y y U A węc macerz dagonalzująca U ma postać H 6 U UU 6 Wykład 8-8

13 Rzeczywśce mamy: 6 U HU Kolumny macerzy U są ortonormalnym wektoram własnym macerzy H: / / Hu u : / / / 6 / 6 Hu u : / / / / 6 6 / / Hu u : / / / / Wykład 8-8

14 W praktyce korzystamy z udowodnonego twerdzena. Wektory własne do nezdegenerowanych wartośc własnych znajdujemy w zwykły sposób. Wektory własne do zdegenerowanej wartośc własnej muszą spełnać warunek x x x x x + x W ogólnośc wektory własne dane są węc przez Jeden z wektorów własnych znajdujemy wyberając np. x : Drug wektor wyberamy jako ortogonalny do : u u x + x u x x + x x u u x + x ( ) x x + x x x x u x 6 Drug wektor własny do wartośc własnej to Wykład 8-48

15 Równoczesna dagonalzacja macerzy Twerdzene: Dwe macerze A B można jednocześne zdagonalzować poprzez transformację podobeństwa wtedy tylko wtedy gdy macerze A B komutują tzn. ABBA. ( ) D : D S AS DD S ASS BS S ABS D S BS D D S BSS AS S BAS D D D D S ABS- S BAS S ABS S BAS AB BA ( ) - - D : S AS D S BS B b b b S ABS S ASS BS DB b b b b b nb S BAS S BSS AS B D b b b n n n n n n nn n n n nn b Dla j AB BA D B B D B D nb nn n Wykład 8-58

16 Równoczesna dagonalzacja macerzy Dla j mamy Poneważ B B - S AS D ( ) - - S BS S BS T T ( S BS) T D - - ò -ty wersz ò j-ty wersz węc stneje untarna macerz T taka, że: S AS T T D T D T T D Z drugej strony mamy ( ) A węc stneje macerz hermtowska UST dagonalzująca jednocześne A B. Uwaga: W mechance kwantowej operatory które można jednocześne zdagonalzować odpowadają welkoścom fzycznym, których jednoczesny pomar ne jest ogranczony zasadą neoznaczonośc. Wykład 8-68

17 Równoczesna dagonalzacja macerzy Przykład: Znajdź untarną macerz U dagonalzującą jednocześne macerze 8 7 A B AB BA 7 8 Znajdujemy wartośc własne wektory własne macerzy A: ( ) det A I ( )( ) v v A węc untarna macerz dagonalzująca to S S - Rzeczywśce mamy: - S AS - S BS 5 Jednocześne wdać, że wartoścam własnym macerzy B są 5 Wykład 8-78

Podobne dokumenty

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest