RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

Transkrypt

1 RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu obrotowego odpowednkem sły w ruchu postępowym jest moment sły (tzw. moment obrotowy) M. Moment sły jest welkoścą wektorową równą loczynow wektorowemu wektora położena punktu przyłożena sły wektora sły dzałającej na bryłę: M r F. Wartość momentu sły jest określona, zgodne z defncją loczynu wektorowego następującym wzorem: M M r F sn (r, F). Zwrot momentu sły określa reguła śruby prawoskrętnej. Druga welkość dynamczna wpływająca na przyspeszene kątowe ruchu obrotowego bryły zależy zarówno od wartośc jak od rozkładu przestrzennego masy tej bryły. Welkoścą tą jest moment bezwładnośc bryły, który określamy jako sumę momentów bezwładnośc punktów materalnych tej bryły względem os obrotu: n I m r, gdze loczyn m r jest momentem bezwładnośc -tego punktu materalnego bryły względem os obrotu.

2 o Przykładowe wartośc momentów bezwładnośc: - kula pełna względem dowolnej średncy - 5 I MR, - krążek (walec) względem os przechodzącej przez środek masy - I MR, - pręt względem os prostopadłej, przechodzącej przez środek masy - I ML, - obręcz (rura) cenkoścenna względem os obrotu - I MR. Moment bezwładnośc bryły zależy ne tylko od masy bryły, ale zależy równeż od kształtu bryły oraz od położena tej bryły względem os obrotu.

3 o W welu oblczenach bardzo pomocne jest następujące twerdzene dotyczące momentu bezwładnośc bryły obracającej sę wokół os ne przechodzącej przez środek masy bryły. Twerdzene to sformułowane przez Stenera można wyrazć następująco: Moment bezwładnośc I bryły względem os obrotu ne przechodzącej przez środek masy tej bryły jest równy sume momentów bezwładnośc, I s bryły względem os przechodzącej przez jej środek masy oraz momentu bezwładnośc md środka masy tej bryły względem os obrotu: I md I s. gdze m jest masą bryły, natomast d jest odległoścą środka masy bryły od os obrotu. Zasada zachowana momentu pędu Trzecą welkoścą dynamczną zwązaną z ruchem obrotowym brył jest moment pędu. W przypadku moment pędu punktu materalnego, gdy masa tego punktu jest równa m, odległość od punktu odnesena względem, którego określamy moment pędu, jest równa r, a prędkość chwlowa tego punktu wynos v, to moment pędu jest określony loczynem wektorowym: L r p r mv, gdze p jest pędem cząstk, a r reprezentuje położene cząstk względem wybranego nercjalnego układu odnesena. Istneje bezpośredna zależność pomędzy momentem sły momentem pędu. Dla pojedynczej cząstk: dp F. dt 3

4 o Mnożąc wektorowo obe strony przez wektor r: d p r F r, poneważ r F jest momentem sły, węc d p M r W przypadku równana momentu pędu różnczkuje sę je obustronne względem czasu, otrzymując: d L dr poneważ v węc dt d(r p) d r d p p r d L d p (v mv) r. Z defncj loczynu wektorowego: v mv to d L d p r Porównując równana dla momentu pędu otrzymuje sę: d L M co śwadczy o tym, że wypadkowy moment sły dzałający na cząstkę jest równy prędkośc zman momentu pędu tej cząstk. 4

5 o Moment pędu bryły względem danego punktu odnesena określamy jako sumę momentów pędu jej punktów materalnych względem tego samego punktu odnesena: n L m r v I ω, gdze ω jest prędkoścą kątową obrotu bryły. Dla układu n cząstek wypadkowy moment pędu: d d L wyp M L. Jeżel na układ ne dzała zewnętrzny moment sły (lub suma momentów jest równa zeru) M to moment pędu układu pozostaje stały: d L wyp L wyp const.. Jeżel wypadkowy moment sł zewnętrznych względem neruchomej os obrotu bryły jest równy zeru, to moment pędu bryły względem tej os obrotu ne zmena sę podczas ruchu. 5

6 o Zasada zachowana momentu pędu znajduje szereg zastosowań praktycznych. Gdy np. łyżwarz chce wykonać efektowny pruet, wtedy rozpędza sę przy obroce na lodze z szeroko rozłożonym rękoma. Ma wówczas duży moment bezwładnośc stosunkowo małą prędkość kątową. Składając jednak następne ręce lub wycągając je ponad głowę zmnejsza swój moment bezwładnośc zwększając jednocześne prędkość kątową swych obrotów. Przykłady sł dzałających na cała w ruchu obrotowym: Perwsza zasada dynamk dla ruchu obrotowego 6

7 Można analogczne, jak to mało mejsce w dynamce punktu materalnego, podać perwszą zasadę dynamk dla ruchu obrotowego brył: o W nercjalnym układze odnesena bryła ne obraca sę lub obraca sę ruchem jednostajnym, gdy ne dzałają na ną żadne momenty sl lub, gdy dzałające momenty sł równoważą sę wzajemne. Na podstawe tego sformułowana można podać warunek równowag bryły w ruchu obrotowym: n M. Druga zasada dynamk dla ruchu obrotowego Dośwadczena dotyczące ruchu obrotowego bryły poddanej dzałanu płaskego układu sł prowadzą do następującego wnosku: Gdy na bryłę dzała nezrównoważony moment sły, wtedy nadaje on tej bryle przyspeszene kątowe, którego wartość jest proporcjonalna do wartośc momentu sły, a zwrot kerunek są dentyczne jak zwrot kerunek tego momentu sły: M ε. I Moment bezwładnośc bryły jest, węc marą bezwładnośc bryły w ruchu obrotowym. Im wększy moment bezwładnośc, tym wększy moment sły mus dzałać na bryłę, by wywołać taką samą zmanę stanu ruchu obrotowego, to znaczy, by wywołać take samo przyspeszene kątowe. Porównane ruchu postępowego obrotowego Energa knetyczna układu punktów materalnych 7

8 węc E k m v m (r ) E k I m r o Można zestawć welkośc występujące w ruchu obrotowym z ch odpowednkam dla ruchu postępowego. Ruch postępowy Ruch obrotowy p mv L I F ma M I E k mv E k I dw Fdx dw Md P Fv P M 8