RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Transkrypt

1 Pediot: Fika RUCH OBROTOWY- MECHANKA BRYŁY SZTYWNEJ Wkład 7 7/8, ia

2 Pediot: Fika MOMENT PĘDU ENERGA KNETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERANEGO PO OKRĘGU Defiicja oetu pędu =v= ω p =ω = p ω Moet bewładości Jedostką jest kg Eegia kietca uchu obotowego E k = v / = ω / = ω / Wkład 7 7/8, ia

3 Wkład 7 7/8, ia 3 Pediot: Fika Ruch po okęgu powoduje siła dośodkowa. Jest to siła cetala. F ˆ f ˆ ˆ ˆ F τ f f Moet sił cetalej wględe cetu wosi eo. F

4 Pediot: Fika Kosekwecja: Moet pędu jest achowa Pe aalogię do: dp F a: dt d cli gd τ dt τ d dt to cost Wkład 7 7/8, ia 4

5 Pediot: Fika Pkład T pukt ateiale o asach są połącoe e sobą i osią obotu tea ciekii sukai każd o długości a. Układ obaca się wględe osi obotu pędkością kątową w taki sposób, że pukt ateiale ajdują się a jedej postej. Oblicć całkowit oet pędu tch tech puktów ateialch Pjąć, że dae są wielkości, a,. a O a ω a Wkład 7 7/8, ia 5

6 Pediot: Fika v 3 =3ωa v =ωa v =ωa Wkład 7 7/8, ia 6

7 Pediot: Fika Całkowit oet pędu układu jest suą oetów pędu poscególch as =a ω+(a) ω+(3a) ω=4 a ω a O a ω a Moet bewładości układu też jest suą oetów bewładości poscególch as ω Wkład 7 7/8, ia 7

8 N N v N p Pediot: Fika Moet pędu układu puktów ateialch ale cli v Kostając tożsaości wektoowej ω N ( ω ) a( b c) ( a c) b N Wkład 7 7/8, ia 8 ω jest takie sao dla wsstkich puktów bł stwej ( a b) c ω ( ω) otuje ś ś defiicja oetu pędu bł stwej

9 Wkład 7 7/8, ia 9 Pediot: Fika N ) ( ω ω ω N ) ( ω N ) ( ω N ) ( ω k j i ˆ ˆ ˆ k j i ω ˆ ˆ ˆ

10 Wkład 7 7/8, ia Pediot: Fika ω N N N ) ( N ) ( ω eleet tesoa oetu bewładości

11 Wkład 7 7/8, ia Pediot: Fika TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚC BRYŁY SZTYWNEJ ω ~ eleet diagoale

12 Teso oetu bewładości defiicja eleetów diagoalch N N ( ) ( ) Pediot: Fika defiicja eleetów poadiagoalch N N N N ( ) ( ) N N N ( ) ( ) N Teso jest setc = Wkład 7 7/8, ia

13 Pediot: Fika le jest ieależch eleetów? 9? Nie, jest 6 eleetów bo teso setc A casai do 3 teso diagoal Dla bł o setii sfecej jest tlko jede eleet Wkład 7 7/8, ia 3 Układ osi główch

14 Pediot: Fika Teso oetu bewładości dla ciągłego okładu as okład dsket okład ciągł N N ( ) ( ) ( )( )dv N ( ) dv Wkład 7 7/8, ia 4

15 Pediot: Fika NTERPRETACJA EEMENTÓW TENSORA MOMENTU BEZWŁADNOŚC N ( ) N kwadat odległości od osi OZ ρ Eleet diagoale ają klascą itepetację Wkład 7 7/8, ia 5

16 Pediot: Fika NTERPRETACJA EEMENTÓW TENSORA MOMENTU BEZWŁADNOŚC N = Eleet poadiagoale pojawiają się gd pojawia się asetia Wkład 7 7/8, ia 6

17 Pediot: Fika Moet bewładości jest tesoe, ate w ogól ppadku wekto oetu pędu ie usi bć ówoległ do wektoa pędkości kątowej. Pkład Roważć układ cteech as (a/,a/), (-a/,a/), 3 (-a/,-a/) oa 4 (a/,-a/) gdie = 3 = = kg, = 4 = kg, oiescoch w wiechołkach kwadatu o boku a = c. Układ as asować. (a) Zaleźć teso oetu bewładości tego układu as. Wskaać eleet diagoale i poadiagoale. (b) Zakładając, że podcas obotu pędkością kątową =i wajee odległości ięd asai ie ulegają iaie, aleźć wekto oetu pędu tego układu as i spawdić c jest ówoległ do wektoa pędkości kątowej. Wkład 7 7/8, ia 7

18 Wkład 7 7/8, ia 8 Pediot: Fika N =(a/,a/) =(-a/,a/) 3 =(-a/,-a/) 4 =(a/,-a/) = 4 a a a a 3 a 3 N a 3 N N N ) ( a 3

19 Wkład 7 7/8, ia 9 Pediot: Fika =(a/,a/) =(-a/,a/) 3 =(-a/,-a/) 4 =(a/,-a/) = N 4 a a a a a 4 3 a N 3a a 3 a a a 3 Teso oetu bewładości

20 Wkład 7 7/8, ia Pediot: Fika 3a a 3 a a a 3 Wekto oetu pędu ω a a a 3 j i ˆ a ˆ a 3

21 Pediot: Fika =(-a/,a/) = =(a/,a/) W układie odiesieia XY teso oetu bewładości ie jest diagoal 3 =(-a/,-a/) 4 =(a/,-a/) W układie odiesieia X Y teso oetu bewładości jest diagoal Wkład 7 7/8, ia

22 Pediot: Fika ZADANE DOMOWE 7. Dwa ciała o asach g i 3 g są połącoe lekki pęte o długości 5 c. Śodek as układu jest pocątkie katejańskiego układu współędch. Pęt leż w płascźie XY i two kąt o osią OY. (a) Zaleźć teso oetu bewładości w t układie odiesieia. (b) Spawdić, c wekto oetu pędu jest ówoległ wektoa pędkości kątowej gd pęt obaca się dookoła osi OX pędkością kątową ω. Wkład 7 7/8, ia

23 Pediot: Fika Udowodić, że: ZADANE DOMOWE 7. N Jest to bado użtece twiedeie, któe powala oblicć p. oet bewładości powłoki kulistej Wkład 7 7/8, ia 3

24 Pediot: Fika Moet bewładości powłoki kulistej Powłoka a asę całkowitą M i poień R N ale = = = 3 N =R 3 R N Wkład 7 7/8, ia 4 R M 3 MR

25 Pediot: Fika Moet bewładości kuli dv R 4 d M R d d Wkład 7 7/8, ia 5 8 R d d dv M 4 R 3 3 R 5 sfe d R d MR M d

26 Wkład 7 7/8, ia 6 Pediot: Fika Teso oetu bewładości wbach bł w układie osi główch MR 3 MR 3 MR 3 setia sfeca MR 5 MR 5 MR 5 powłoka kulistasfea peła kula

27 Wkład 7 7/8, ia 7 Pediot: Fika MR MH MR 4 MH MR 4 setia clidca M M walec o poieiu podstaw R i wsokości H oa asie M cieki pęt o długości i asie M

28 Pediot: Fika ZADANE DOMOWE 7.3 Zapoać się Tabelą. st.74 podęcika HWR-. Peaaliować oet bewładości bł stwch ta uiescoch. Wkład 7 7/8, ia 8

29 Pediot: Fika ZADANE DOMOWE 7.4 Zaleźć (w układie osi główch) teso oetu bewładości: (a)obęc o poieiu R i asie M (b)pełego dsku o poieiu R i asie M (c) postokąta o bokach a i b oa asie M ZADANE DOMOWE 7.5 dla abitch Zaleźć (w układie osi główch) teso oetu bewładości walca o poieiu podstaw R i wsokości H oa asie M Wkład 7 7/8, ia 9

30 Pediot: Fika ω Twiedeie o osiach ówoległch twiedeie Steiea ś a Jeżeli oś jest ówoległa do osi, to '' Ma Ś-śodek as a jest odległością poięd osiai Wkład 7 7/8, ia 3

31 Pediot: Fika Pkład 3 Oblicć oet bewładości jedoodego pęta o asie M i długości wględe osi pechodącej pe (a) śodek as pęta (b) pe jede końców pęta -/ '' a=/ tw. Steiea Ma M ś M 4 d / Wkład 7 7/8, ia 3 d M d M 3 / / gęstość liiowa d / M d d d M 3 3

32 Pediot: Fika ZADANE DOMOWE 7.6 Moet bewładości pęta wględe osi pechodącej pe koiec pęta oża oblicć ie kostając twiedeia o osiach ówoległch (tw. Steiea). Pokaać, że pawidłow wik ota pope postą iaę gaic całkowaia. Wkład 7 7/8, ia 3

33 Wkład 7 7/8, ia 33 Pediot: Fika Eegia kietca bł stwej w uchu obotow Eegię kietcą bł stwej obacającej się dookoła ieuchoego śodka as awa eegią otacją i waża woe: k v E ω kostając tożsaości wektoowej ) )( ( ) )( ( ) ( c b d a d b c a d c b a ajduje ) ( ω ω

34 Pediot: Fika Eegię kietcą (otacją) bł stwej o dowol kstałcie apisuje jako: E k ( ) dla bł o setii sfecej E k ( ) Wkład 7 7/8, ia 34

35 Pediot: Fika TOCZENE BEZ POŚZGU Toceie be pośligu jest specfic odaje uchu bł stwej, będąc łożeie uchu postępowego śodka as i uchu obotowego wokół śodka as R ś Wkład 7 7/8, ia 35

36 ωr v ś Pediot: Fika v ś ś v ś v ś v ś ωr uch obotow wokół osi pechodącej pe śodek as uch postępow v ś R v= toceie be pośligu jako łożeie uchów Pcą toceia be pośligu jest siła tacia statcego a ś R Wkład 7 7/8, ia 36

37 Pediot: Fika Pkład 4 Oblicć eegię kietcą tocącch się be pośligu bł: a) walca b) kuli c) ciekiej obęc. Wsstkie bł ają tę saą asę = kg i tę saą pędkość liiową śodka as v ś = /s E kp v ś E k całkowita eegia kietca E kp E ko eegia kietca uchu postępowego v ś R eegia kietca uchu obotowego E ko Ekp R Wkład 7 7/8, ia 37

38 Pediot: Fika Całkowita eegia kietca walca R walca E kw R 4 R 3 4 v ś kuli 5 R kuli E kk R 5 R 7 v ś ob R obęc E kob R E kobęc > E kwalca > E kkuli R v ś Wkład 7 7/8, ia 38

39 Pediot: Fika ZADANE DOMOWE 7.7 Pod góę ówi pochłej wtacają się: kula i walec. Obie bł u podstaw ówi iał tę saą pędkość śodka as. Któa bł wtoc się wżej? Wkład 7 7/8, ia 39

40 Pediot: Fika RÓWNANA RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ RÓWNANA EUERA W układie wiąa e śodkie as bł, cli w układie obacając się ae błą (w układie ieiecjal) wpadkow oet sił τ d dt i d dt ω iaa oetu pędu w układie iecjal iaa oetu pędu w układie ieiecjal Wkład 7 7/8, ia 4

41 Pediot: Fika Założeie: układ osi główch: Rówaia Eulea d dt d dt d dt gd = = = dω ε dt Wkład 7 7/8, ia 4 τ asada daiki dla uchu obotowego

42 τ Kula: = = = Pecesja swoboda d dt d dt d dt Pediot: Fika Wkład 7 7/8, ia 4 d dt d dt d dt ω cost cost cost cost

43 Pediot: Fika ZASADA ZACHOWANA MOMENTU PĘDU Wkład 7 7/8, ia 43

44 W układie iecjal, wpadkow oet sił ewętch τ wp d dt oet pędu jest achowa Pediot: Fika iaa oetu pędu bł stwej Jeżeli τ wp d to cli cost dt Zasada achowaia oetu pędu Wkład 7 7/8, ia 44

45 lustacja asad achowaia oetu pędu Moet pędu = Moet bewładości opisując okład as obiektu =(asa) (odległość od osi obotu) aleje, to pędkość kątowa ośie Wkład 7 7/8, ia 45

46 HRW, Pediot: Fika Pkład 5 Na suku pedstawioo studeta siedącego a stołku obotow. Studet poostaje w spocku, tając w ęku koło oweowe, któe a oet bewładości k =. kg wględe swojej osi. Koło obaca się pędkością kątową ω koła = 3,9 obotów/s. W pewej chwili studet obaca koło w wiku cego studet, stołek i śodek as koła acają się obacać ae wokół osi obotu stołka. Moet bewładości tego ciała łożoego wosi ciała =6,8 kg. Oblicć pędkość kątową ω ciała po obóceiu koła. W jaki kieuku obaca się studet wa kołe? Wkład 7 7/8, ia 46

47 Rowiąaie: asad achowaia oetu pędu HRW, Pediot: Fika ped po koło ciał koło ciał koło ciał ciał ciał koło koło koło ciał koło Wkład 7 7/8, ia 47

48 Pediot: Fika Poówaie podstawowch wielkości ficch i woów Ruch postępow Ruch obotow (stał kieuek) (stała oś obotu) położeie () położeie kątowe α (ad) pędkość liiowa v (/s) pspieseie liiowe a (/s ) v a d dt dv dt pędkość kątowa ω (ad/s) pspieseie kątowe ε (ad/s ) asa (kg) oet bewładości d dt d dt (kg ) Wkład 7 7/8, ia 48

49 Pediot: Fika Poówaie podstawowch wielkości ficch i woów cd. siła F (N) pęd p (kg /s) F p a v oet sił (N ) oet pędu (kg s) τ eegia kietca E k (J) uogólioa asada daiki E k F v d p dt eegia kietca E k (J) uogólioa asada daiki E k τ d dt Wkład 7 7/8, ia 49

50 Pediot: Fika PODSUMOWANE Do opisu uchu obotowego bł stwej użwa wektoów: oetu pędu, wekto oetu sił i pędkości kątowej. Wpowada ówież pojęcie otacjej eegii kietcej. Wekto oetu pędu i pędkości kątowej ie usą bć do siebie ówoległe, bo ω gdie jest tesoe oetu bewładości Postać tesoa oetu bewładości a ścisł wiąek setią bł stwej i wba układe odiesieia Rówaia Eulea opisują daikę bł stwej ~ ~ Wkład 7 7/8, ia 5