r śm równa się wypadkowej sile działającej na

Transkrypt

1 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 74 F wyp dp dt 8- Duga zasada dynak Tak węc: Wypadkowa sła dzałająca na punkt atealny jest ówna szybkośc zany pędu cząstk. W zeczywstośc pewotne sfoułowane dugej zasady dynak ało właśne taką foę. Całkowty pęd p układu punktów atealnych jest ówny sue pędów poszczególnych cząstek: p p Zgodne zównane 8-7 jest ówne całkowtej ase azy pędkość śodka asy: p M Całkowty pęd układu RóŜnczkując po czase to ównane otzyay: 8-3 dp dt M d dt M a Ale zgodne z dugą zasadą dynak (Równane 8-0) układ. W ezultace: Ma ówna sę wypadkowej sle dzałającej na Fzew Fwyp,zew dp dt 8-4 JeŜel wypadkowa sła dzałająca na układ jest ówna zeu, wtedy szybkość zan całkowtego pędu układu teŝ jest ówna zeu całkowty pęd układu pozostaje stały: p M constant ( F, zew wyp 0 ) 8-5 Zasada zachowana pędu Otzyany wynk nos nazwę zasady zachowana pędu:

2 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 75 JeŜel wypadkowa zewnętzna sła dzałająca na układ jest ówna zeo, wtedy pęd całkowty układu pozostaje stały. Jest to jedno z najwaŝnejszych paw w fzyce. Jest ono szezej stosowane nŝ pawo zachowana eneg echancznej, ponewaŝ sły wewnętzne wyweane pzez cząstk wewnątz układu są często sła nezachowawczy. W ezultace sły wewnętzne ogą zenać całkowtą enegę echanczną układu, jednak ne będą wpływać na całkowty pęd układu. Z ównana 8-5 wdać, Ŝe jeŝel całkowty pęd układu pozostaje stały, to pędkość śodka asy ne zena sę. 8-4 Enega knetyczna układu. ChocaŜ całkowty pęd układu punktów atealnych, na któy ne dzałają sły zewnętzne us pozostawać stały, to całkowta enega knetyczna układu oŝe sę zenać. Sły wewnętzne dzałające w układze ne ogą zenć całkowtego pędu układu o, Ŝ ogą być sła nezachowawczy. Mogą jednak, w zwązku z ty spowodować zanę całkowtej eneg echancznej układu. Istneje waŝne twedzene dotyczące eneg knetycznej układu cząstek, któe pozwala ozpatywać enegę złoŝonego układu w sposób postszy uoŝlwa wgląd w zany eneg wewnątz układu: Enega knetyczna układu punktów atealnych oŝe być zapsana jako sua dwóch wyaŝeń: () eneg knetycznej zwązanej z uche śodka asy - M, gdze M jest całkowtą asą układu, () eneg knetycznej zwązanej z uche cząstek układu względe śodka asy - jest pędkoścą -tej cząstk względe śodka asy. u gdze u Enega knetyczna układu cząstek jest ówna sue eneg knetycznych poszczególnych cząstek: K K ( ) Pędkość kaŝdej cząstk oŝe być zapsana jako sua pędkośc śodka asy - pędkośc cząstk względe śodka asy - dalej, u : + u 8-6

3 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 76 K ( ) ( + u ) ( + u ) W ostatn wyaŝenu wycągnęly + u + u pzed znak suy, ponewaŝ pędkość ta jest taka saa dla kaŝdego składnka suy. Welkość u jest całkowty pęde układu względe śodka asy. Welkość ta us być ówna zeo: Względe śodka asy pędkość śodka asy ówny zeo. W ezultace: u wynos zeo całkowty pęd Mu jest + u M + K Kwzgl 8-7 gdze M jest całkowtą asą układu a ne dzałają sły zewnętzne, wtedy M K wzgl jest enegą knetyczną cząsteczek względe śodka asy. JeŜel jest stała enega knetyczna zwązana z uche całośc ne zena sę. W układze zolowany oŝe zenać sę tylko względna enega knetyczna. 8-5 Zdezena. Podczas zdezeń dwa pzedoty zblŝają sę do sebe oddzaływają slne w badzo kótk czase. W takce kótkego czasu zdezena wszystke nne sły są znaczne nejsze nŝ sły oddzaływana ędzy cała. Tak węc jedyny waŝny sła dzałający ędzy układe zdezających sę dwu cał są sły wzajenego oddzaływana, któe są ówne co do watośc, ale pzecwne skeowane. W ezultace pęd układu pozostaje nezenony. Czas zdezena jest zwykle tak ały, Ŝe pzeeszczene cał w czase zdezena oŝna zanedbać. Oddzaływane edzy cała pzed po zdezenu jest ałe w poównanu z oddzaływane w czase zdezena. Pzykłada ogą być zdezające sę kule bladowe, płka zdezająca sę z kje baseballowy lub stzałka udezająca w taczę. JeŜel całkowta enega knetyczna dwóch cał pozostaje taka saa po zdezenu jak pzed zdezene, wtedy zdezene nazyway zdezene spęŝysty, w pzecwny wypadku zdezene F ś Rysunek 8-0

4 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 77 nazywa sę nespęŝysty. Ganczny pzypadke jest sytuacja doskonale nespęŝystego zdezena, w któy enega knetyczna względe śodka asy jest zaenana w enegę ceplną układu dwa zdezające sę cała zlepają sę po zdezenu. Popęd cała sła śedna. Rysunek 8-0 pzedstawa zanę w czase watośc typowej sły wyweanej pzez jedno cało na duge w t t t czase zdezena. W czase zdezena, sła osąga duŝą watość. Dla czasu z poza tego pzedzału watość sły jest zanedbywalne ała. Popęde sły I nazyway wekto zdefnowany jako : I t t Fdt Defncja Popęd sły Watość popędu sły jest ówna powezchn pod kzywą zaleŝnośc F od t. Jednostką popędu jest 8-8 N s. JeŜel F jest wypadkową słą dzałającą na cząstkę, to słę tę oŝna powązać, zgodne z dugą zasadą dynak, z F dp / dt.wtedy popęd wypadkowej sły jest ówny całkowtej zane pędu w szybkoścą zan pędu : dany czase: I wyp t Fwyp dt dt p p t t t dp dt t t t p 8-9 Śedna sła w pzedzale czasu jest zdefnowana w następujący sposób: F ś t I Fdt t t t Defncja - Śedna sła Śedna sła jest ówna takej sle stałej, któa powoduje powstane takego saego popędu sły jak wywołuje sła zenna w dany okese czasu ysunek 8-0. Śedną słę oŝna polczyć ze zany pędu jeŝel czas zdezena jest znany. 8-0 Zdezena jednowyaowe.

5 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 78 RozwaŜy cało o ase pouszające sę z pędkoścą początkową o ase, któe pousza sę w ty say keunku z pędkoścą początkową cała zdezą sę. Nech zblŝające sę do dugego cała. JeŜel p to f f będą ch końcowy pędkośca po zdezenu. ( Pędkośc ogą być dodatne albo ujene w zaleŝnośc od tego czy cała pouszają sę na lewo, czy na pawo.) Zasada zachowana pędu wygląda w ty wypadku następująco: + f + f 8- Aby znaleźć zdezeń. f f usy eć duge ównane. To duge ównane będze zaleŝało od odzaju Zdezena doskonale nespęŝyste. W zdezenach dealne nespęŝystych cząstk łączą sę z sobą po zdezenu. W zwązku z ty, dugą zaleŝność ędzy pędkośca otzyay pzyjując, Ŝe po zdezenu pędkośc cząstek są ówne: f f To w połączenu z zasadą zachowana pędu da ozwązane: ( ) Często wygodne jest wyazć enegę knetyczną K punktu atealnego popzez jego pęd. Dla asy pouszającej sę z pędkoścą ay PonewaŜ K p to ( ) K 8-3 p Wzó ten oŝey zastosować do dealne nespęŝystego zdezena, kedy jedno z cał pzed zdezene znajduje sę w spoczynku. Wtedy pęd zblŝającego sę cała:

6 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 79 p enega knetyczna: p K -4 Po zdezenu cała pouszają sę aze jako jedna asa czyl ówny + z pędkoścą. Pęd jest zachowany p. Końcowa enega knetyczna wynese zate: p Kf ( + ) -5 Poównując ównana wdzy, Ŝe końcowa enega jest nejsza nŝ enega początkowa. PRZYKŁAD W aach zawodów stzeleckch wystzelłeś pocsk w keunku wszącego klocka (Rysunek 8-). Klocek z wbty pocske wahnął sę do góy. Zaznaczając wysokość, na któą aksyalne wychylł sę klocek, zgoadzonej natychast wdown jaką oznajłeś pędkość Rysunek 8- posadał pocsk po wystzale. Jak ogłeś tego dokonać znając wysokość h? Analza zadana Stosując zasadę zachowana pędu oŝey powązać początkową pędkość pocsku pędkoścą końcową układu pocsk klocek Zastosuj zasadę zachowana pędu, aby znaleźć zwązek ędzy. f : Zastosuj zasadę zachowana eneg po zdezenu f w celu znalezena 3. Podstawając f pewszy znajdź w zaleŝnośc od do : ównana h: w z f po zdezenu. Pędkość f jest zwązana z wysokoścą h popzez zasadę zachowana eneg echancznej.. punkce

7 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 80 Uwaga W ty wypadku jak we wszystkch zagadnenach zwązanych ze zdezena zakładay, Ŝe czas zdezena jest na tyle kótk, Ŝ pzeeszczene klocka w ty czase jest zanedbywalne. Uządzene take jak opsane wyŝej nos nazwę wahadła balstycznego. Zdezena doskonale spęŝyste. Dla zdezeń spęŝystych początkowa enega knetyczna końcowa enega knetyczna układu są jednakowe: f + f Równane to aze z ównane zachowana eneg 8- jest wystaczające do znalezena obu pędkośc po zdezenu cał. Jednak ównane kwadatowe 8-6 jest często dość skoplkowane do ozwązana. Znalezene newadoych oŝe być osągnęte poścej, jeŝel poównay pędkośc względne cząstek pzed po zdezenu. W ty celu ównane 8-6 pzekształcy do postac: lub ( ) ( ) f f ( )( + ) ( )( ) + f f f f 8-7 Z zasady zachowana pędu ay: lub + f + f ( ) ( ) f f 8-8 Dzeląc stona ównane 8-7 pzez ównane 8-8 otzyay: lub + f + f ( ) f f 8-9 JeŜel oba cała ają sę zdezyć, to Pędkośc względne dla zdezena spęŝystego us być ujene (Rysunek 8-) co powoduje, Ŝe pędkość zblŝana jest dodatna. Po zdezenu pędkość oddalana jest dodatna. f f

8 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 8 W zdezenach spęŝystych pędkość zblŝana jest ówna pędkośc oddalana. Zadana zwązane ze zdezena spęŝysty na ogół łatwej ozwązuje sę je, jeŝel kozysta sę z Rysunek 8- ównana 8-9, a ne 8-6. PRZYKŁAD Czteoklowy klocek pousza sę na pawo z pędkoścą 6/s zdeza sę spęŝyśce z klocke o ase kg pouszający sę teŝ w pawo z pędkoścą 3/s (Rysunek 8-3). Znajdź pędkośc końcowe. Rysunek 8-3 Analza zadana Z zasady zachowana pędu (ównane 8-8) zasady zachowana eneg (epezentowanej pzez ównane dla pędkośc względnych) otzyay dwa ównana z dwea newadoy pędkośca końcowy. Oznaczy ndekse cało o ase 4 kg, a ndekse cało o ase kg.. Zastosuj zasadę zachowana pędu:. Podstaw watośc lczbowe do punktu wylcz f f : 3. Oblcz pędkość zblŝana : 4. Zastosuj zasadę zachowana eneg poównując pędkość oddalana z ujeną watoścą pędkośc zblŝana: 5. Z ównań w punktach 4 oŝey wyznaczyć neznane pędkośc końcowe 8-6 Układ śodka asy.

9 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 8 JeŜel wypadkowa sła dzałająca na układ jest ówna zeo, wtedy pędkość śodka asy jest stała. Często wygodne jest wybać początek układu odnesena w śodku asy. Wtedy układ tak pousza sę względe pewotnego układu odnesena Rysunek 8-4 (a) Dwe cząstk pouszają sę w pewny układze współzędnych, w któy śodek. (b) W układze śodka asy a pędkość asy śodek asy pozostaje w spoczynku, a cząstk ają ówne ale pzecwne skeowane pędy. Pędkośc w obu tych układach są zwązane z sobą w następujący sposób: u u Pewotny układ odnesena Układ odnesena śodka asy ze stałą pędkoścą śodka asy. Tak układ współzędnych, któego początek układu współzędnych znajduje sę w śodku asy nazywa sę układe współzędnych śodka asy. JeŜel punkt atealny a pędkość w pewotny układze współzędnych, wtedy jego pędkość w układze współzędnych śodka asy wynos u. W układze śodka asy pędkość śodka asy jest ówna zeo. PonewaŜ całkowty pęd układu jest ówny całkowtej ase ponoŝonej pzez pędkość śodka asy, to pęd całkowty w układze współzędnych śodka asy teŝ jest ówny zeo. Z ateatycznego punktu wdzena ozpatywane zdezeń w układze współzędnych śodka asy ulega znaczneu uposzczenu. Na pzykład, pędy dwóch zdezających sę cał są ówne co do watośc bezwzględnej pzecwne skeowane. Po zdezenu dealne nespęŝysty cała pozostają w spoczynku. Cała ch początkowa enega zostaje zaenona na enegę ceplną. W jednowyaowy doskonale spęŝysty zdezenu cała wyenają sę pędkośca, ale ch watośc ne ulegają zane. RozwaŜy poste zdezene dwu cał w neuchoy układze współzędnych. Nech jedna z tych as a w układze neuchoy pędkość, a duga, o ase, nech pousza sę z pędkoścą (Rysunek 8-4). W układze ty pędkość śodka asy wynese: + + Uwzględnając wzoy na pędkość względną oŝey znaleźć pędkośc punktów atealnych u u względe układu współzędnych śodka asy:

10 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 83 u u 8-34a 8-34b PonewaŜ całkowty pęd w układze współzędnych śodka asy jest ówny zeo, to cząstk będą ały ówne, ale pzecwne skeowane pędy w ty układze. P R Z Y K Ł A D Znajdź pędkośc końcowe w zdezenu spęŝysty z popzednego pzykładu ( w któy czteoklowy odwaŝnk pouszając sę w pawo z pędkoścą 6 /s zdeza sę z dwuklowy odwaŝnke pouszający sę w pawo z pędkoścą 3 /s) tansfoując pędkośc do układu współzędnych śodka asy. Analza zadana Znajdźy pędkość układu śodka asy pzetansfoujy poszczególne pędkośc do tego układu. Następne wóćy do układu pewotnego znajdźy szukane pędkośc.. Oblcz pędkość śodka asy : + + ( 4kg)( 6 / s) + ( kg)( 3 / s) 4kg + kg 5 / s. Zapsz pędkośc początkowe w układze śodka asy (dokonaj tansfoacj): u 3 / s 5 / s / s u 6 / s 5 / s + / s 3. Znajdź ozwązane w układze śodka asy u f u / s popzez odwócene keunków pędkośc: u f u + / s Równana powyŝsze boą sę stąd, Ŝe dla śodka asy zasada zachowana pędu będze ała postać: u u 0 u f u f 4. W celu znalezena pędkośc końcowych w pewotny układze odnesena dodajy : u + / s + 5 / s f f 0 4 / s

11 Wykład z fzyk. Pot Posykewcz 84 f u f + / s + 5 / s 7 / s Punkt Tansfoacja do układu śodka asy Punkt Waunk początkowe 5 / s 0 Punkt 3 Rozwązane zadana 0 Punkt 4 Tansfoacja do układu początkowego 5 / s