Zasady dynamiki ruchu obrotowego

Transkrypt

1 DYNAMIKA (cz.) Dynamika układu punktów Śodek masy i uch śodka masy Dynamika były sztywnej Moment bezwładności, siły i pędu Zasada zachowania momentu pędu Pawo Steinea Zasady dynamiki uchu obotowego Politechnika Opolska Opole Univesity of Technology Wydział InżynieIi Podukcji i Logistyki Faculty of Poduction Engineeing and Logistics

2 DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW Wszystkie ozciągłe ciała mateialne są układami dużej liczby atomów, któe w pewnych pzypadkach można taktować jak punkty mateialne (układ planetany - planety i Słońce). W uchu postępowym uch jednego punktu odzwieciedla uch całego ciała (każdy punkt ciała w miaę upływu czasu doznaje tych samych pzemieszczeń). Gdy ciało zaczyna wiować lub dgać możemy wyóżnić już tylko jeden taki jego punkt (śodek masy) pouszający się w taki sposób, w jaki pouszałby się pojedynczy punkt mateialny poddany tym samym siłom zewnętznym. Siła pzyłożona do śodka masy były nie powoduje jej obotu, a jedynie uch postępowy w kieunku działania siły.

3 ŚRODEK MASY Położenie śodka masy (ŚM) ciała ozciągłego (układu dwóch punktów): Mx śm = m 1 x 1 + m x x śm x śm = m 1x 1 + m x m 1 + m M Dla nieskończenie dużej liczby punktów mateialnych ozzuconych w pzestzeni śodek masy umiejscawiamy za pomocą wektoa położenia (zapis wektoowy). ŚM = i x ŚM + j y ŚM + k z ŚM Śodek masy układu punktów zależy tylko od mas tych punktów i od ich wzajemnego ozmieszczenia. śm = im i = im i m i M

4 RUCH ŚRODKA MASY M śm = m m m n n M d śm dt = m 1 d 1 dt + m d dt m n d n dt MV śm p c = m 1 V 1 + m V m n V n p i M dv śm dt = m 1 dv 1 dt + m dv dt m n dv n dt Ma śm = m 1 a 1 F 1 + m a F m n a n = m i a i F n F i

5 RUCH ŚRODKA MASY F zewn. = Ma śm = dp c dt Iloczyn całkowitej masy układu punktów mateialnych i pzyspieszenia jego śodka masy ówna się sumie wektoowej wszystkich sił działających na układ. Śodek masy układu punktów mateialnych pousza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w śodku masy i jakby wszystkie siły zewnętzne nań działały. ŚM

6 DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ Była sztywna to ciało, któe pod działaniem sił nie ulega odkształceniom (odległości dwóch dowolnych punktów ciała są stałe). Dla były sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów mateialnych. Była może wykonywać dwa odzaje uchów postych:. postępowy - wszystkie punkty ciała zakeślają takie same toy, pzebywają jednakowe (wzajemnie do siebie ównoległe) dogi oaz mają jednakowe pędkości i pzyspieszenia;. obotowy - wszystkie punkty ciała zakeślają współśodkowe okęgi wokół osi obotu (śodka masy), chaakteyzuje je ta sama pędkość kątowa i pzyspieszenie kątowe, natomiast ich pędkości liniowe są popocjonalne do ich odległości od osi obotu.

7 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Moment bezwładności w uchu obotowym jest odpowiednikiem masy w uch postępowym. def. m ii Momentem bezwładności były względem wybanej osi obotu nazywamy sumę iloczynów mas cząstek pzez kwadaty ich odległości od osi obotu. W pzypadku były o ciągłym ozkładzie masy sumowanie zastępujemy całkowaniem. I lim Δm0 Moment bezwładności zależy nie tylko od masy były ale także od jej ozkładu wokół osi obotu. I Δm i i i i dm i I i

8 MOMENT BEZWŁADNOŚCI BRYŁ

9 PRAWO STEINERA I I śm Md Moment bezwładności były względem dowolnej osi nie pzechodzącej pzez jej śodek masy liczymy jako sumę momentu bezwładności I śm tej były względem ównoległej osi pzechodzącej pzez jej śodek masy oaz iloczynu masy tej były i kwadatu odległości między obu osiami. oś obotu d ŚM oś pzez śodek masy

10 MOMENT SIŁY Aby spowodować uch obotowy były sztywnej niezbędna jest odpowiednia (ze względu na watość, kieunek i punkt pzyłożenia) siła nazywana momentem siły lub momentem obotowym. Momentem siły nazywamy iloczyn wektoowy wektoa wodzącego i siły. M = F Moment siły działającej na jakieś ciało pojawia się wówczas, gdy kieunek działania siły nie pzechodzi pzez śodek masy ciała. M Fsin Jednostką momentu siły jest niutonomet [N m]. kieunek działania siły

11 MOMENT SIŁY Watość liczbową momentu siły możemy też wyazić jako iloczyn siły i amienia jej działania. M Fd, gdzie. d sinα Ramię działania siły to zut wektoa wodzącego na kieunek postopadły do kieunku, na któym leży wekto siły. Kieunek wektoa momentu siły jest postopadły do płaszczyzny, na któej leżą wekto wodzący i siła F. Zwot M okeśla eguła pawej ęki lub śuby pawoskętnej. M = F

12 MOMENT PĘDU ( KRĘT CIAŁA) Odpowiednikiem pędu w uchu obotowym jest moment pędu (kęt). Momentem pędu punktu mateialnego względem śodka układu współzędnych jest iloczynem wektoowym wektoa wodzącego i pędu. Wekto momentu pędu jest skieowany zgodnie z osią obotu i jest postopadły do płaszczyzny, w któej leżą wekto wodzący i wekto pędu p. L L = p psin mvsin Jednostką momentu pędu jest [kg m /s].

13 MOMENT PĘDU BRYŁY SZTYWNEJ Moment pędu (kęt) były sztywnej jest sumą momentów pędu wszystkich jej punktów. Moment pędu były ówna się pędkości kątowej ω i momentu bezwładności I. L = mv = mω = ω m L = Iω Wekto momentu pędu były sztywnej leży wzdłuż osi obotu i usztywnia ją w pzestzeni (efekt żyoskopowy). Pochodna momentu pędu L względem czasu jest ówna wypadkowemu momentowi siły M działającej na tę byłę. dl dt = I dω dt = Iα = M I

14 ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU Dla układu złożonego z n ciał (był sztywnych) pochodna całkowitego momentu pędu (kętu) układu względem czasu jest ówna wypadkowemu momentowi sił zewnętznych. dl dt = M i = M zewn. Jeśli wypadkowy moment sił zewnętznych działających na układ ówna się zeu, to całkowity kęt (moment pędu) układu jest stały (co do watości i kieunku). M zewn. = 0, L = const. L = const = I ω I ω

15 ZASADY DYNAMIKI RUCHU OBROTOWEGO I zasada dynamiki uchu obotowego - była sztywna nie poddana działaniu momentu siły (lub momenty się ównoważą) pozostaje nieuchoma lub wykonuje uch obotowy jednostajny. II zasada dynamiki uchu obotowego - jeżeli na ciało działają siły, któych momenty się nie ównoważą, to wypadkowy moment siły działającej na tą byłę sztywną jest ówny iloczynowi momentu bezwładności tej były i jej pzyspieszenia kątowego. M = I α III zasada dynamiki uchu obotowego - jeżeli była A działa na byłę B pewnym momentem siły M A, to była B działa na A momentem M B ównym co do watości lecz pzeciwnie skieowanym. M A = M B

16 GRAWITACJA Pawo powszechnego ciążenia Stała uniwesalna i pzyspieszenie ziemskie Pole gawitacyjne Gawitacyjna enegia potencjalna Potencjał Tansfomacje Galileusza i Loentza Pędkości kosmiczne Pawa Keplea Politechnika Opolska Opole Univesity of Technology Wydział InżynieIi Podukcji i Logistyki Faculty of Poduction Engineeing and Logistics

17 PRAWO GRAWITACJI (1687) Pawo powszechnego ciążenia (pawo gawitacji) - dwa punkty mateialne o masach m 1 i m pzyciągają się wzajemnie siła popocjonalną do iloczynu ich mas i odwotnie popocjonalną do kwadatu odległości między nimi. Współczynnikiem popocjonalności jest stała gawitacyjna G i stanowi ona siłę z jaką oddziałują na siebie dwie jednostkowe masy (1 kg) z jednostkowej odległości (1 m). G = 6, [N m /kg ] stała uniwesalna F G m m 1 F 1 = G m 1m F 1 = -F 1

18 PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE Pzyspieszenie ziemskie g wyażamy za pomocą masy i pomienia Ziemi. UWAGA!!! G [N m /kg ] g [m/s ] nie jest uniwesalne ani stałe mg g G Q M R z Z F (na powiezchni Ziemi = R z ) Watość pzyspieszenie ziemskiego nie jest stała i maleje waz z kwadatem odległości od śodka Ziemi. g G R h Z M z (na wysokości h nad powiezchnią Ziemi = R z +h) Watość pzyspieszenia ziemskiego zależy od położenia na powiezchni Ziemi, pzyczynami tego zjawiska jest: spłaszczenie kuli ziemskiej (g max na biegunach, g min na ówniku); uch obotowy Ziemi (zmniejszająca cięża ciała siła odśodkowa); niejednoodność budowy Ziemi i ukształtowanie jej powiezchni (niewielkie lokalne wahania watości g). g M m G R z Z

19 POLE GRAWITACYJNE Pole gawitacyjne to pzestzeń, w któej na umieszczoną w niej masę póbną m działa siła gawitacji. F g = mg Natężeniem pola gawitacyjnego nazywamy stosunek siły działającej na masę póbną do watości tej masy. γ = F G Mm m = 3 = G M m 3 Natężenie pola gawitacyjnego jest wektoem o kieunku i zwocie siły oaz watości liczbowo ównej pzyspieszeniu, z jakim pousza się masa póbna w danym polu. M G W pzypadku pola gawitacyjnego Ziemi natężenie tego pola na jej powiezchni jest ównoważne pzyspieszeniu ziemskiemu. g

20 ENERGIA POTENCJALNA Siła gawitacji jest siłą zachowawczą (wykonana paca zależy tylko od położenia początkowego i końcowego). Paca siły gawitacji wykonana pzy pzesunięciu masy póbnej m z danego punktu pola do punktu odniesienia (nieskończoności) nazywamy enegią potencjalną położenia masy póbnej. odcinek odcinek (gdzie W = 0) W PQ ΔE p Fd G, Mm d ΔE p W E PQ p ΔE E Fd d GMm GMm Mm E p G p p, 1 F G G Mm Mm

21 GRAWITACYJNA ENERGIA POTENCJALNA I POTENCJAŁ Gawitacyjna enegia potencjalna masy póbnej m jest ujemna i w miaę oddalania się od Ziemi (M z ) dąży do zea (ośnie), gdy odległość pomiędzy nimi do nieskończoności. E p G M Zm Potencjałem pola gawitacyjnego nazywamy stosunek enegii potencjalnej masy póbnej m do jej watości. V() E p m GM J kg E p M Z ZIEMIA R Z

22 PRĘDKOŚCI KOSMICZNE I PRĘDKOŚĆ KOSMICZNA - jest to najmniejsza możliwa pędkość jaką musi mieć ciało (punkt mateialny) aby swobodnie kążył po obicie wokół Ziemi (nie spadając na nią). GM F g = F odś, υ I 7,9km/s = mυ II PRĘDKOŚĆ KOSMICZNA (pędkość ucieczki) - jest to najmniejsza możliwa pędkość jaką musi mieć ciało (punkt mateialny) aby mogło opuścić obsza gawitacji Ziemi (oddalić się w nieskończoność). E p E k Mm mυ II GM, G υii υi 11,km/s R R III PRĘDKOŚĆ KOSMICZNA - jest to pędkość jaką musi mieć ciało (punkt mateialny) na obicie Ziemi aby mogło opuścić układ słoneczny. υ III G Mm GM R ob S 4,1 km/s

23 PRAWA KEPLERA I PRAWO KEPLERA - planety kążą wokół słońca po toach eliptycznych, pzy czym Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy. II PRAWO KEPLERA - pędkość polowa planety w uchu wokół Słońca jest stała. Pędkością polową nazywamy pole powiezchni zakeślone pzez pomień wodzący planety (pomień łączący planetę ze Słońcem) w ównych odstępach czasu (jednostce czasu). III PRAWO KEPLERA - kwadaty okesów obiegu planet wokół Słońca mają się do siebie tak jak sześciany wielkich półosi ich obit, czyli śedniej odległości planet od Słońca (T ~ R 3 ).