Tomasz Grębski. Liczby zespolone

Transkrypt

1 Tomas Grębsk Lcby espolone Kraśnk 00

2 Sps Treśc: Lcby espolone Tomas Grębsk- Wstęp. Podstawowe wadomośc o lcbe espolonej.. Interpretacja geometrycna lcby espolonej... Moduł lcby espolonej. Lcby sprężone.. 5 Postać trygonometrycna lcby espolonej.. 7 Wór de Movre a.. 9 Perwastek stopna n lcby espolonej. 0 Rowąywane równań kwadratowych w bore lcb espolonych.. Perwastek perwotny n-tego stopna jednośc... Zadana... Odpowed do adań. 8 Bblografa....

3 Lcby espolone Tomas Grębsk-

4 Podstawowe wadomośc o lcbe espolonej Lcby espolone Tomas Grębsk- Lcbą espoloną naywamy wyrażene a + b gde a b są lcbam recywstym = - Dla dowolnych lcb espolonych (a + b) (c + d) mamy:. (a + b) = (c + d) a = c b = d.. (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d). (a + b) (c + d) = (a c) + (b d). (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd = (ac - bd) + (ad + bc) gdyż = - (ac bd) (bc - ad) 5. (a + b) : (c + d) = c d Wór 5 otrymamy mnożąc delną delnk pre c d a c b (a = d (c pryjmując = - b)(c - d) d)(c - d) ac bd (bc - ad) = c d ac bd + c d + W bore lcb espolonych ne można określć nerównośc. bc - ad Pojęce potęg o wykładnku naturalnym erowym ujemnym lcby espolonej określamy tak samo jak potęgę lcby recywstej. Jeśl jest lcbą espoloną n p q lcbą naturalną to: = n + = n 0 = - n = n p q = p + q p : q = p q ( p ) q = pq c d Interpretacja geometrycna lcby espolonej = a + b rys..

5 Lcby espolone Tomas Grębsk- Mędy punktam płascyny a lcbam espolonym achod odpowedność na mocy której punktow M o współrędnych (ab) psemy M (ab) odpowada lcba espolona a + b lcbe a + b gde a b są lcbam recywstym odpowada punkt o współrędnych (a b) rys.. Dla dowolnej lcby espolonej = a + b lcby a b naywamy odpowedno jej cęścą recywstą cęścą urojoną. Onacamy je re ora m atem re = a m = b Lcbę espoloną naywamy jednostką urojoną. Lcby postac b gde b jest lcbą recywstą naywamy lcbam urojonym. Oś OX naywa sę osą recywstą oś OY osą urojoną. Moduł lcby espolonej. Lcby sprężone. Właścwośc modułu lcb sprężonych. rys.. Defncja Modułem lcby espolonej = a + b naywamy lcbę recywstą neujemną onacamy ją a b a b Moduł lcby równa sę odległośc punktu od pocątku układu współrędnych. Wnosek: Dla każdego jest re m Prykład Oblc moduł lcby espolonej = Nech = a + b 5

6 Pryjmjmy onacene Lcby espolone Tomas Grębsk- Defncja = a b () Lcbę określoną worem () naywamy lcbę sprężoną do danej lcby. rys.. Lcby są symetrycne wględem os recywstej. Własnośc: Dla każdej lcby espolonej : = = Twerdene Dla dowolnych lcb espolonych jest ; = ; = 0 Twerdene Dla dowolnych lcb espolonych a) = b) = c) d) -. Postać trygonometrycna lcby espolonej 6

7 Defncja Lcby espolone Tomas Grębsk- Argumentem lcby espolonej = a + b 0 naywamy każdą lcbę recywstą φ określoną równanam: a b cos φ = sn φ = Argument lcby espolonej onacamy arg. Jest ona marą kąta jak twory wektor O osą recywstą. rys.. Każda lcba 0 ma neskońcene wele argumentów jeżel jest jednym nch to każdy nny wyraża sę worem arg k k=0 Spośród argumentów tej samej lcby dokładne jeden spełna warunek ; naywamy go argumentem głównym onacamy Arg. Arg. (0 Jeśl lcba jest recywsta to 0 Arg. jeżel 0 0 Argumentem lcby 0 naywamy każdą lcbę recywstą. Prykład. Dla lcby mamy cos sn stąd arg k k CArg Prykład. Arg=k arg(-)=(k+) arg k Twerdene kc 7

8 Każda lcba espolona daje sę predstawć w postac następującej: cos sn Zwanej postacą trygonometrycną lcby. Dowód: Jeśl =0 to twerdene jest ocywste. Nech =a+b 0 wtedy a Prykład. b =(cos0+sn0) a a b a b b cos sn a b c.n.d. cos sn cos sn cos sn cos sn Prykład. Predstawć w postac trygonometrycnej lcbę cos sn gde 0 cos ( cos) re sn cos cos sn Lcby espolone Tomas Grębsk- cos sn cos sn sn stąd k k C sn cos sn sn cos m sn cos sn sn Dwe lcby espolone różne od era są równe wtedy tylko wtedy gdy mają równe moduły ch argumenty różną sę o całkowtą welokrotność. Twerdene Dla dowolnych lcb espolonych arg arg arg ) ) arg arg arg 8

9 ) arg arg ) arg k k arg k C. Lcby espolone Tomas Grębsk- Wór de Movre a Dla każdej lcby recywstej każdej lcby całkowtej n n cos sn cos n sn n () Wór de Movre a dla n naturalnego jest równoważny worom: cos n cos n sn n cos n n cos n n sn n sn cos n cos n sn n sn które otrymujemy stosując do lewej strony wór Newtona na potęgę dwumanu ora porównując cęśc recywste urojone obu stron równośc (). Stosując wór () możemy w prosty sposób otrymać nane nam wory cos sn cos sn cos sn cos sn stąd cos cos sn bo sn sn cos analogcne cos cos sn cos cos sn sn sn Prykład. Korystając e woru Movre a oblc 0 Lcbę predstawamy w postac trygonometrycnej cos sn stąd cos sn 9

10 0 cos sn cos sn cos6 sn6 cos sn Prykład. Oblcyć 0 cos 0. Prykład. cos sn 0 sn cos sn cos sn Lcby espolone Tomas Grębsk- Oblcyć Nech cosφ = snφ = stąd φ = cos sn cos sn Perwastek stopna n lcby espolonej Defncja Każdą lcbę espoloną w spełnającą równane w n = nn naywamy perwastkem stopna n lcby espolonej onacamy n. Twerdene Istneje dokładne n różnych perwastków n-tego stopna lcby espolonej 0 które onacamy pre w k gde k = 0... k. jeżel Z = (cosφ+snφ) to (A) W k n k k cos sn k = 0... (n-) n n gde n onaca perwastek arytmetycny. Prykład. Oblcyć. 0

11 Lcby espolone Tomas Grębsk- Moduł lcby równa sę l a jednym jej argumentów jest lcba. W myśl woru (A) mamy W W W cos sn cos sn 6 6 cos sn. Prykład. Oblcyć Poneważ - = a jednym argumentów jest π węc W0 cos sn W cos sn. Prykład. Oblcyć Poneważ argument φ spełna równana cos sn : węc 6 atem sukanym perwastkam są lcby W W W 0 cos sn 8 8 cos sn 8 8 cos sn 8 8 Perwastk drugego stopna dowolnej lcby espolonej = a + b można równeż predstawć w nnej postac tw. kartejańskej. Postać kartejańska perwastków drugego stopna W 0 a b a E a b a jeżel b>0

12 W = - W 0 gde E = - jeżel b<0 Lcby espolone Tomas Grębsk- Rowąywane równań kwadratowych w bore lcb espolonych Zajmemy sę równanem kwadratowym o współcynnkach espolonych ax = bx + c = 0 a 0 Jeżel współcynnk równana są lcbam recywstym 0 to pryjmując otrymujemy x b a x b a w tym prypadku perwastk x x są lcbam sprężonym. Prykład. Rowąać równane x + x + = 0 6 x x. Prykład. Rowąać równane x + x + = 0 węc x x x x Prykład. Rowąać równane x -x+=0

13 Poneważ 6 węc pryjmując 6 mamy x =- x =+ Lcby espolone Tomas Grębsk- Defncja Perwastek perwotny n-tego stopna jednośc Lcbę espoloną naywamy perwastkem perwotnym n-tego stopna jednośc jeżel Z n = Z n dla s =... n- np. lcby ora są perwastkam perwotnym jednośc cwartego stopna bo = ora (-) = ale natomast (-) ne są perwastkam perwotnym jednośc cwartego stopna bo też jest równy. (-) =. Perwastk n-tego stopna jednośc wyrażają sę worem E k k k cos sn k 0... n n n Perwastk perwotne jednośc mają nteresujące własnośc. Weźmy pod uwagę E. Ze woru de Movre a wynka że E = Tym samym cąg skońcony E n E E E... E Zawera wsystke różne perwastk n-tego stopna. Nasuwa sę pytane cy cąg E E... E k k dla dowolnego k n dowolnego n awera wsystke perwastk E E E.... Odpowedź jest precąca bowem nech n = wówcas E 0 E E E n k E n cąg E E awera wsystke perwastk ale cąg E E E E ne ma tej E E własnośc gdyż E E E E Dla ustalonego k lcba E k k k cos sn jest perwastkem perwotnym n-tego n n stopna jednośc wtedy tylko wtedy gdy k n są wględne perwse tn. gdy najwęksy wspólny delnk lcb k n równa sę. Twerdene Jeżel E k jest perwastkem perwotnym n-tego stopna jednośc to lcby E E E... E są wsystkm różnym perwastkam n-tego stopna jednośc. Prykład Znaleźć wsystke perwastk perwotne równana k k 6 k 0 n k

14 Lcby espolone Tomas Grębsk- Spośród lcb 5 6 tylko lcby 5 są lcbam perwsym wględem 6. Zatem perwastkam perwotnym równana są lcby E cos sn 6 6 E cos sn 6 6 Zadane. Wykonaj dałana a) 5 5 b) 5 6 c) Zadana Zadane. Oblc 0 6 a) 5 9 b) 7 c). Zadane. Następujące wyrażena aps w postac a + b a) b) c) d) 5 e) f). Zadane. Oblc wartość wyrażena a) b) c) Zadane 5. Podaj wartośc recywste x y spełnające równane a) x 5y b) x y 0 c) x y x y d) x y e) 5 Zadane 6.

15 Rowąż układ równań newadomym espolonym: a) ( + ) + ( )t = 6 ( + ) + ( )t = 8 b) ( + ) (+)t = 5 + ( ) + (+)t = + 6 c) w + t = 0 w + (+)t = 0 w + t = 0 Zadane 7. Rowąż równana Lcby espolone Tomas Grębsk- a) b) c) d). Zadane 8. Oblc perwastk espolone welomanów stopna drugego rołóż te welomany na cynnk lnowe a) x x b) x x c) x x d) x x 0 e) f) x x g) x x h) x x ) x x 6. Zadane 9. Oblc perwastk espolone welomanów rołóż te welomany na cynnk. Skorystaj wynków poprednego adana. a) x + b) x c) x 8 d) x 6 + 6x + 0 e) x + x + x + f) x x + x g) x + x h) x + x + ) x + x +. Zadane 0. Naps równana cwartego stopna którego perwastkam są lcby: a). b) 0. c) ; Zadane. Predstawć w postac trygonometrycnej następujące lcby espolone: a) b) + 5

16 c) Lcby espolone Tomas Grębsk- d) sn cos cos sn e). cos sn Zadane. Oblc na podstawe woru de Movre a: 5 a) f) Zadane.. 7 b) c) 5 e) d) Zaps w postac: a) trygonometrycnej b) a + b perwastk stopna n lcby dla n = 568. Zadane Rowa rownane : a) ² + = 0 b) ² + = 0 c) ² + (+) ++ = 0 d) ² + 5 = 0 e) ² - ( + ) + = 0 f) ² - ( + ) + (- + 7) = 0 Zadane 5 Rowa równane : a) x (- ) b) x - ( + ) = 0 c) x + = 0 d) x 5 ( + ) = 0 e) x 6-0 Zadane 6 Zanac na plascyne mennej espolonej nastepujace bory punktow. a) : 5 b) : - 0 6

17 5 c) : Lcby espolone Tomas Grębsk- 5 d) : e) : ( + )-( - ) + = 0 f) : 5 g) : - h) : m ) : re j) : 5 k) : m = l) :re = m) : m = n) : arg = Zadane 7 Naps rownane okregu O(Z 0 r) jeżel a) Z = r = b) Z = + r = Zadane 8 Wynacyc srodek promen okregu o rownanu: a) ( ) ( ) 0 b) ( ) ( ) 0 c) ( ) ( ) 0 Odpowed do adań Zadane a) b) 5 c) + 7

18 Zadane a) b) c) Zadane a) b) c) c d) e) f) Zadane a) b) c) Zadane 5 5 a) x = y = b) x = - y = c) x = y = x = y = - x = - y = x = - y = - d) x = y = -5 e) x = y = - Zadane 6 a) = + t = b) = + t = c) w = t = 7 = - 9 Zadane 7 Lcby espolone Tomas Grębsk- a) = b) = c) = 8

19 d) = - e) - Zadane 8 a) x = x = b) x = - x = - Lcby espolone Tomas Grębsk- c) x = - - x = - + d) x = x = + e) x = ( 7) x = ( 7) f) x = ( ) x = ( ) g) x = x = + h) x = x = ) x = ( ) x = ( ) Zadane 9 a) x = x = x = b) x = x = - x = - c) x = x = - - x = - + d) x = - x = - x = + e) x = - x = ( 7) x = ( 7) f) x = x = ( ) x = ( ) g) x = - x = x = x = - h) x = - x = perwastk dwukrotne ) x x x x Zadane 0. a) x x 0 x x 8 0 9

20 b) x x 6x x 0 Lcby espolone Tomas Grębsk- c) x x 6x 6x 56 0 Zadane. a) (cos 0 sn 0) (cos sn ) (cos sn ) (cos sn ) 5 5 b) (cos sn ) (cos sn ) (cos sn ) 7 7 (cos sn ) c) (cos sn ) (cos sn ) (cos sn ) d) 5 5 (cos sn ) cos( ) cos( ) sn( ) e) cos sn Zadane. a) 5 5 (cos sn ) ( ) 5 5 (cos sn ) 8 8 b) cos( ) sn( ) cos( c) (cos sn ) cos8 sn ) sn( ) 6 5 d) (cos sn ) (cos sn ) ( ) e) cos sn cos sn ( ) f) 5 (cos sn ) (cos sn ) (cos sn ) (cos sn ) Zadane. n= cos 0 sn 0 cos sn 0 n= 0 cos sn 0

21 cos sn n= 0 n-5 0 k k k cos sn 5 5 dla k= Lcby espolone Tomas Grębsk- n=6 0 5 n=8 0 5 n= 0 6 Zadane. a) b) c) d) e) f) Zadane 5. a) x ( ( ) x x ( ( )) b) x 0 ( ( ) x ( ( )) x x 0 c) x0 x x x 0 x x d) x k (cos(6 k 7) sn(6 k 7)) k= e) x k cos( ) sn( ) k k 7 7 k=05 Zadane 6. a) wnętre koła o środku (00) promenu r=5 b) koło o środku (0) promenu r= c) x x 7 5

22 d) symetralna odcnka AB a(5-)b(-) e) prosta o równanu x-y+=0 f) prosta o równanu y=5x- g) koło ( x ) ( y ) 0 9 y h) x y 0 ewnętre koła wra okręgem ) cęść płascyny ogranconej parabolą y x Lcby espolone Tomas Grębsk- 6( x ) j) elpsa y 00 k) prosta x=5 l) okrąg x y m) hperbola xy= n) y=x x 0 y 0 Zadane 7. a) ( x ) ( y ) b) ( x ) ( y ) 9 Zadane 8. a) O(-;) r b) O(;) r 6 c) O(;) r