Algebra z geometrią 2012/2013

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algebra z geometrią 2012/2013"

Magdalena Maj
5 lat temu
Przeglądów:

1 Algebra geometrą 22/2 Egamn psemn, 24 VI 2 r. Instrukcje: Każde adane jest a punktów. Praca nad rowąanam mus bć absolutne samodelna. Jakakolwek forma komunkacj kmkolwek poa plnującm egamn jest całkowce akaana. Zabronone jest też korstane cegokolwek poa prboram do psana cstm kartkam paperu formatu A4. Wselke osustwa lub ch prób skutkować będą usunęcem egamnu. Rowąane każdego adana mus najdować sę na osobnej kartce lub nepustm bore kartek) formatu A4 ora bć napsane chlujne ctelne. W nagłówku każdego rowąana musą najdować sę dane wpełnone DRUKOWANYMI lteram lcbam w ssteme desętnm według schematu: nr adana, mę nawsko, nr ndeksu, nawsko prowadącego ćwcena. Najmnejse nawet odstępstwo od tch nstrukcj w którmkolwek adań skutkować będe utratą punktu w tm adanu. Zadane. Zdefnuj macer form kwadratowej α : R n R ora pokaż że nak jej wnacnka ne ależ od wboru ba punkt). Sformułuj twerdene powalające na defncję sgnatur α punkt). Zbadaj dodatność, rąd sgnaturę form kwadratowej Q : R R w ależnośc od parametru λ R, gde Qv) = 2 + λ , v =,, ) T R punkt). Sprowadź formę Q do postac kanoncnej punkt). Rowąane: Treba pamętać, że jeżel A to macer form kwadratowej Q w bae B, macer Ā to macer form kwadratowek Q w bae B P to macer prejśca ba B do B, wted Wówcas P T ĀP = A. det A = detp T ĀP ) = det P T det Ā det P = det P )2 det Ā nak det A jest równ nak det Ā. Dana form kwadratowa w bae B postac Qv) = r <j= c j j, jej macer A w tej bae ma element α = c dla =,..., r α j = c j /2 ked j, j =,..., r. W nasm prpadku, macer A form kwadratowej Q jest A = 2 2 λ 2 Z krterum Slvestera, forma kwadratowa jest dodatna, gd wodące mnor główne, cl wnacnk 2 D =, D 2 = 2 λ = λ 4, D 2 = 2 λ = 2λ λ 9 8 = λ 5. 2 są węse od era. Q jest dodatno określona ked λ > 5. Z krterum Slvestera, forma kwadrawota Q jest ujemna gd D <, D 2 > D <. W nasm prpadku, to ngd se spełna

2 bo D = >. Q jest dodatna dla λ > 5 nedefnowana dla λ 5. Skoro D dla λ 5, to rąd macer jest tr dla λ 5 dla λ = 5 to Q jest degenerowana. Ab prowadc Qv) do postac kanoncnej, korstam metod Lagrange a. Najperw, wprowadam mannę mennch. Skoro α, to defnujem Wted, = + α 2 α + α α = 2. Qv) = ) 2 + λ = λ = λ) ) ) + = Macer Q w nowej bae to Ā = λ 4 Jeżel λ 4, to ᾱ 22 wprowadam nową mannę mennch: Qv) = 2 + λ 4) ȳ = + ᾱ2 ᾱ 22 = + λ 4. Qv) = 2 + λ 4) ȳ )2 λ ȳ ) λ 4 = ȳ λ 4) ) λ 4) ȳ ) ȳ 22 λ 4 λ 4 = 2 + λ 4)ȳ 2 + λ 5 λ 4 2 Wdać, że dla λ > 5, Q jest dodatno określona sgnaura jest, ). Ked λ = 5, macer ma rąd 2, jest degenerowana ma sgnaturę 2, ). Forma kwadratowa Q jest neokreślona ked λ 5. Ponadto, ked 4 < λ < 5 sgnatura jest 2, ). Ked λ < 4, sgnatura jest 2, ). Jeżel λ = 4, to ᾱ 22 = musm wprowadć nną manną mennch. Najperw treba defnować ȳ = + =. Wted, = ȳ + )/2 = ȳ )/2 ) wnka, że Qv) = = 2 + ȳ ) 2 /4 + ȳ 2 2 )/2 = 2 + ȳ 2 /4 2 /4 ȳ /2. Macer Q jest tera Ā = Skoro ᾱ 22 możem wprowadać mannę mennch ȳ = ȳ + ᾱ 2 ᾱ 22 = ȳ. Qv) = 2 + ȳ + ) ȳ + ) = ȳ 2. Wówcas, Q ma sgnaturę 2, ) dla λ = 4. 2

3 Zadane 2. Zdefnuj locn skalarn na espolonej prestren wektorowej ora podaj wór na metrkę ndukowaną pre locn skalarn 4 punkt). W prestren C 4 e standardowm locnem skalarnm, podaj baę ortonormalną podprestren generowanej pre wektor e :=, e 2 :=, e := 6 punktów). Rowąane: Wdać, że e = e 2 +e. prestreń V C 4 generowana pre e, e 2 e jest generowana pre e 2 e. Wówcas, ab oblcć baę ortonormalną podprestren V, wstarc ortonormalować e 2 e. Stosujem metodę Grama Schmdta: Natomast, Wdać, że ẽ, e 2 =. Wówcas, ẽ = e e = e 2. ẽ 2 = e 2 ẽ, e 2 ẽ. e, e ẽ 2 = wektor ẽ 2 ẽ tworą baę podprestren V. e 2 e 2, e 2 = e 2. 2 Zadane. Zdefnuj sprężene hermtowske endomorfmu skońcenewmarowej espolonej prestren wektorowej, ora udowodnj że wartośc własne endomorfmu samosprężonego są recwste 4 punkt). W prestren C e standardowm locnem skalarnm macer endomorfmu f EndC ) w bae kanoncnej ma postać: F := Oblc wartośc własne f punkt), ora badaj c f jest endomorfmem: a) normalnm, b) hermtowskm, c) untarnm punkt). Rowąane: Wartośc własne F są perwastkam welomanu charakterstcnego F, cl p F λ) = detf λi) = 4 + λ λ λ Zamast oblcć wnacnka to trwa dlugo można łatwo sę mlć) pamętam, że p F λ) = ) λ + ) + Tr F λ 2 + c λ + det F = λ + 9λ 2 + cλ + det F. 2). det F = det F = K+K2 K = ) 2 = = 24 = R+R2 R2 4R+R R =

4 Wdać, że c = d p dλ F λ) = λ= = 8. Też wdać, że take wra są jedne które pojawają se w p F λ) λ. Wówcas, p F λ) = ) λ + ) + Tr F λ 2 + c λ + det F = λ + 9λ 2 8λ = λ 2 )8 + λ 2 ). To spec M C)F = {9, 9, 9}. Macer F w bae kanoncnej jest hermtowska, gd F j = F j dla, j =, 2,. Z tego F = F dla =, 2,. ked macer F jest hermtowska, to element w dagonale są lcbam recwstm. Skoro F ne spełna takego warunku, F ne jest hermtowska. Ponadto, wartośc własne F ne są recwste, to też F ne może bć hermtowska. Macer F jest untarna wted tlko wted F F = I. W nasm prpadku F F = = 8I. ) F ne jest untarna. Ponadto, macere untarne mają wartośc własne λ take, że λ =. Skoro spec M C)F = {9, 9, 9}, to F ne jest untarna. Natomast, wdać ), że F = 8F. Wówcas, F F = F F = 8I F jest normalna. Zadane 4. Nech V będe dowolną espoloną prestreną wektorową wposażoną w locn skalarn. Udowodnj że, jeżel endomorfm f EndV ) posada baę ortonormalną wektorów własnch, to jest on endomorfmem normalnm 4 punkt). Nech C będe wposażona w standardow locn skalarn. Oblc spektrum, wmar podprestren własnch, ora podaj baę ortonormalną wektorów własnch endomorfmu f : C C którego macer w bae kanoncnej jest postac f BB := punktów). Rowąane: Ab naleź ć baę ortonormalną musm oblcć weloman charakterstcn. Korstając 2) mam p f λ) = λ + cλ, gde c = d p dλ F λ) = λ= 4 4 = 25. Weć, p f λ) = λ + 25λ spec M C)f BB = {, 5, 5}. Wektor własne oblcm następująco: Wektor własne wartoścą λ = to są element prestren ker f BB = ker v =,, ) T ker f BB wted tlko wted

5 Zatem = 4 + =. Wówcas, ker f BB =,, 4) T mam jeden wektor własne =,, 4) T. Wektor własne wartoścą λ = 5 to są element prestren kerf BB + 5I) = ker v =,, ) T ker f BB wted tlko wted Skoro macer po lewej strone ma wnacnk różn od era, jedno rownane układu jest lnową kombnacją nnch ne treba ropatrwać nej. Na prekład, tlko treba ropatrwać perwse trec werse = + 5 =. Z tego, = 5/4) = /5. kerf BB + 5I) = 4, 5, ) T. kerf BB + 5I) = ker v =,, ) T kerf BB 5) wted tlko wted Skoro macer po lewej strone ma wnacnk różn od era, jedno rownana układu jest lnową kombnacją nnch ne treba ropatrwać nej. Naprekład, tlko treba ropatrwać perwse trec werse = 5 =. Z tego, = 5/4) = /5. kerf BB + 5I) = 4, 5, ) T. Skoro f BB jest hermtowska, jej wektor własne w wartoścam rónm są ortogonalne. wstarc podelć każde wektor pre jego norma, ab tworć baę wektorów własnch: := 5 4, 5 := , 5 :=

Podobne dokumenty

Diagonalizacja macierzy kwadratowej

Diagonalizacja macierzy kwadratowej Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an