DODATEK 6. Pole elektryczne nieskończenie długiego walca z równomiernie rozłożonym w nim ładunkiem objętościowym. Φ = = = = = π

Transkrypt

1 DODATEK 6 Pole elektycne nieskońcenie długiego walca ównomienie ołożonym w nim ładunkiem objętościowym Nieskońcenie długi walec o pomieniu jest ównomienie naładowany ładunkiem objętościowym o stałej gęstości + = const. Całkowity ładunek Q walca wynosi Q = V =. Pole elektycne jest symetycne, adialne i wektoy natężenia pola elektycnego E na całej powiechni są postopadłe do niej, co ilustuje ys. D6.. Linie sił pola elektycnego są ównież postopadle do pobocnicy walca, gdyż na podstawach nie istnieją składowe nomalne wektoa natężenia pola elektycnego E = E n =. Natężenie pola elektycnego E i potencjał są funkcjami tylko jednej miennej pomienia, cyli odległości od osi walca. Stumień wektoa natężenia pola Φ wynaca się pe powiechnię Gaussa S G o długości l i pomieniu, aówno wewnąt ( < ), jak i na ewnąt walca ( > ), gdie wektoy natężenia pola E na danej powiechni są wsędie jednakowe, cyli watość natężenia pola elektycnego jest stała E = E n = const. ys. D6.. Nieskońcenie długi walec ównomienie omiesconym ładunkiem objętościowym Powiechnia Gaussa wynosi = πl, (D6.) gdie jest pomieniem sfeycnej powiechni Gaussa współśodkowej walcem o pomieniu naładowanym ładunkiem objętościowym. Całkowity ładunek Q awaty w objętości V stefy o długości l jest ówny Q = V = π l. (D6.) Na ewnąt powiechni walca ( > ) stumień Φ wektoa natężenia pola E pe powiechnię Gaussa S G wynosi E ds E ds E ds E E l. (D6.3) Φ = = = = = π Z definicji stumień ten jest także ówny Φ Q V = = = π l εε εε εε, (D6.4) gdie Q jest całkowitym ładunkiem ołożonym ównomienie w wydielonej objętości V walca.

2 Poównując woy (D6.3) i (D6.4) otymuje się wó na natężenie pola elektycnego na ewnąt walca Q E = =. (D6.5) πεε l εε Na powiechni walca = natężenie pola elektycnego jest Q E = =. (D6.6) πεε l εε Ponieważ d E = gad i E =, (D6.7) d atem potencjał w polu elektycnym ładunku objętościowego > jest całką natężenia pola elektycnego wyażonego woem (D6.5) i jest opisany woem d E d = ln C εε εε + (D6.8) dokładnością do stałej całkowania C. Stałą całkowania można wynacyć waunku ciągłości potencjału na powiechni ganicnej walca, cyli py pejściu wnęta do ewnęta walca. Wewnąt powiechni walca ( < ) ładunek Q* jest cęścią całkowitego ładunku w stefie o długości l i objętości V. Ładunek ten wynosi π l Q * = Q = Q. (D6.9) π l Stumień wektoa natężenia pola elektycnego Φ wynosi E ds E ds E ds E E l (D6.a) Φ = = = = = π i Q * Q Φ = =. (D6.b) εε εε Stąd wynika, że wewnąt walca natężenie pola elektycnego E jest opisane woem Q E = = (D6.) πεε l εε Potencjał wewnąt walca mienia się godnie e woem E d C εε. (D6.) d = + Stałą całkowania C wynaca się waunku begowego = = i C =, (D6.3) ponieważ = jest Q* = wó (D6.9) i nie może tam istnieć potencjał. Potencjał wewnąt walca jest atem wyażony woem

3 =. (D6.4) Aby wynacyć stałą całkowania C, poównuje się woy (D6.8) i (D6.4) = ln + C = (D6.5) εε skąd C = ln. (D6.6) εε Podstawiając C wou (D6.6) do (D6.8) otymuje się wyażenie na potencjał na ewnąt walca εε = ln. (D6.7) Na ys. D6. pokaano pebiegi mian natężenia pola elektycnego E i potencjału w funkcji odległości wnęta i ewnęta ównomienie naładowanego ładunkiem objętościowym walca. ys. D6.. Natężenie pola elektycnego E i potencjał w funkcji odległości od osi walca ównomienie naładowanego ładunkiem objętościowym Można pokaać, że ten sam wynik otymuje się owiąując łącnie ównania Poissona = /εε i Laplace a =. Z symetii adialnej okładu pola elektycnego i symetii osiowej okładu ładunku pestennego wynika osiowa symetia potencjału: = (). Pyjmuje się oś wdłuż osi walca i oś postopadle do osi i twoącej walca. Oś w postokątnym układie współędnych jest ównoważna osiom x i y. Dlatego stosuje się w owiąaniu tego agadnienia układ współędnych walcowych. W tym układie opeato Laplace a ma postać = = = α + +. (D6.8) α Ponieważ potencjał jest funkcją tylko pomienia, atem wyażenie (D6.8) upasca się do postaci 3

4 d d = =. (D6.9) d d Zgodnie woem (D6.9) oba ównania Poissona wó (.43) i Laplace a wó (.44) pyjmują postać d dw = d d εε d d d d = >, < <, 4 (D6.) gdie indeksy w i onacają wewnąt i ewnąt walca. Podwójne całkowanie daje owiąanie ogólne w = = A ln + B. + A ln + B, (D6.) Z waunku ciągłości potencjału na ganicy obu stef, cyli wnęta i ewnęta walca oa że potencjał wsędie powinien mieć skońconą watość wynika, że py ln, co nie ma sensu fiycnego. W osi walca ( = ) potencjał musi być ówny eo (waunek begowy), bo wobec stałości gęstości ładunku objętościowego = const w nieskońcenie długiej osi nie ma żadnego ładunku Q*, atem należy pyjąć, że współcynnik A =, co natychmiast daje ównież waunek, że B =. Waunki ciągłości potencjału i jego piewsej pochodnej na ganicy stef ( = ) dają dwa nieależne ównania dwoma niewiadomymi A i B, stanowiące kolejne waunki begowe, tw. waunki Diichleta i Neumanna. Według woów (D6.) otymuje się dwa ównania = εε = A ln + B, A. (D6.) owiąując układ ównań (D6.) otymuje się następujące postaci końcowe potencjałów wewnąt i na ewnąt walca w =, = εε < <, ln >, (D6.3) któe są tożsame otymanymi pawa Gaussa woy (D6.4) i (D6.7). óżnickując potencjały w (D6.3) otymuje się wyażenia natężeń pola elektycnego wewnąt i na ewnąt walca ównomienie omiesconym w nim ładunkiem objętościowym E w =, εε E = εε < <, >. (D6.4) Poównując oba sposoby wynacania natężenia pole elektycnego E i potencjału nieskońcenie długiego ównomienie naładowanego ładunkiem objętościowym należy stwiedić, że uyskanie woów na potencjał wewnąt i na ewnąt wymaga dobej najo-

5 mości aówno fiyki jawiska, jak i obu waunków begowych. Natomiast astosowanie pawa Gaussa spowada się w asadie do pawidłowego wynacenia stałej całkowania C we woe (D6.8) na podstawie stałej całkowania C, któą wynaca się wględnie łatwo waunku eowania się potencjału w osi walca, co jest faktem ocywistym. W owiąywaniu agadnień wiąanych oblicaniem pól elektycnych óżnych okładów ładunków wybó sposobu jest istotnym elementem decyyjnym, któy wymaga dobej najomości danego jawiska i wpawy w stosowaniu odpowiedniego apaatu matematycnego. W wielu pypadkach stosowanie pawa Gaussa jest łatwiejse niż owiąywanie ównań Poissona i Laplace a, acej aeewowane osób bado wpawnych. 5