POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y

Transkrypt

1 POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi prestreni wektor diałającej w nim sił wiąanej tm polem: F(r): r=(,, ) F=[F, F, F ] POTENCJALNE POLE SIŁ Pole sił F(r) nawam potencjalnm polem sił, jeśli istnieje takie pole skalarne V(r), nawane potencjałem, dla którego to pole sił jest gradientem, tj.: F(r) = grad V (r) [F, F,F ] = [ V, V, V ] Gradient pola skalarnego V onacam cęsto pre V, gdie operator, nawan nablą, definiowan jest następująco: = [,, ] Możem w łatw sposób określić warunek koniecn istnienia potencjału dla danego pola sił. Jeśli bowiem potencjał istnieje i różnickujem dowolną składową pola sił na kierunku różnm od tej składowej, np. = 2 V, = 2 V wted, ponieważ pochodne miesane musą bć sobie równe, nieależnie od kolejności różnickowania, odpowiednie pochodne składowch sił musą bć sobie równe. Jeśli powtórm to roumowanie dla każdej par składowch otrmam warunek koniecn istnienia potencjału: { F = = = rot F(r) = df. [,, ] =[ ; ;] Poa tm wmagam ocwiście, ab pole to bło prnajmniej jednokrotnie różnickowalne. Pole wektorowe rot F, definiowane jak wżej, nawam rotacją pola wektorowego F i onacam je niekied jako F - recwiście, mnożąc wektorowo operator nabla danm polem wektorowm otrmam jego rotację. Pole F, którego rotacja jest równa ero, nawam polem bewirowm. Zatem, jeśli pole sił jest polem potencjalnm, to jest również polem bewirowm. Można udowodnić, że warunek ten jest również warunkiem wstarcającm, tj. Pole sił jest potencjalne (istnieje jego potencjał) wted i tlko wted, gd jest polem bewirowm (jego rotacja jest erowa)

2 WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ 1. Praca wkonana pre potencjalne pole sił nie ależ od drogi, na której wkonwana jest praca, ale jednie od pocątkowego i końcowego położenia punktu V d + V d + V d = L AB C F d + F d + F d C C d V = V (B) V (A) 2. W scególności, praca wkonana w potencjalnm polu sił na krwej amkniętej (punkt końcow drogi pokrwa się punktem pocątkowm) jest erowa. 3. Stąd wnika, że praca wkonana na drode łącącej dwa punkt, w którch wartość potencjału jest taka sama V =const., taka praca jest równa. Zbiór wsstkich punktów, dla którch potencjał prjmuje pewną ustaloną wartość tworą pewną ciągłą powierchnię ałożliśm bowiem, że pole sił jest co najmniej jednokrotnie różnickowalne, atem potencjał jest nie tlko ciągł, ale i dwukrotnie różnickowaln. Powierchnie w prestreni o stałej wartości potencjału nawam powierchniami ekwipotencjalnmi. π V =const ={(,, ): V (,, )=const.} Różnm ustalonm wartościom potencjału odpowiadają różne powierchnie ekwipotencjalne. Jeśli punkt pocątkow i końcow krwej, na której wkonwano pracę leż na tej samej powierchni ekwipotencjalnej, to praca wkonana na tej krwej jest równa. 4. Z definicji gradientu wnika, że jest to wektor prostopadł do powierchni opisanej różnickowaną funkcją, atem linie pola sił są awse prostopadłe do powierchni ekwipotencjalnch. F=grad V F π V =const. 5. Z potencjalnm polem sił wiąana jest pewna forma energii, nawana energią potencjalną ciało najdujące się danm punkcie pola siła posiada wiąaną nim energię, która może bć potencjalnie wkorstana (prekstałcona) na energię kinetcną jego ruchu. Wartość tej energii jest preciwna do wartości potencjału: E p = V 6. W potencjalnm polu sił obowiąuje asada achowania energii mechanicnej, mianowicie: wartość całkowitej energii mechanicnej układu, tj. suma energii kinetcnej i energii potencjalnej jest stała w casie d d t [ E k (t )+E p (t)] =

3 WYZNACZANIE POTENCJAŁU DLA DANEGO POLA SIŁ Ponieważ pole sił jest gradientem potencjału, atem dwa potencjał różniące się o stałą dają jako swój gradient to samo pole sił. Potencjał jest atem dan niejednonacnie ab wnacć potencjał jednonacnie, musim nać jego wartość prnajmniej w jednm punkcie. Jeśli dane jest pole sił, to potencjał możem wnacć na dwa sposob: 1. Bepośrednim całkowaniem pola sił całkujem każdą e składowch wględem odpowiedniej miennej, dodając następnie stałą całkowanie ależną od miennch, wględem którch do tej por nie całkowaliśm: V = F V F d + C 1 (, ) V = F F d + C (, ) 1 = F C 1 [ F F d ] d + C 2 () V = F F d + [ ( F F d ) d ] + C ( ) 2 = F C 2 [ F F d + [ ( F F d )d ]] d +C 3 Ostatnią stałą całkowania wnacam wartości potencjału w ustalonm punkcie. 2. Oblicając pracę pr presunięciu o dowoln wektor wiem, że praca wkonana w potencjalnm polu sił ależ jednie położenia pocątkowego i końcowego. Jeśli atem nam wartość potencjału w jednm punkcie, to oblicając pracę pr presunięciu do dowolnego punktu (,, ) i dodając tę wartość uskam wór na potencjał: A=(,, ) B=(,, ) L AB = V ( B) V ( A) V (,, ) = L AB +V (,, ) λ B F d +F d +F d [ F d d λ + F d B L AB A B F d s A λ A d λ + F d d λ ] d λ Ponieważ praca nie ależ od drogi, atem możem wbrać ją dowolnie najprościej będie porusać się trema odcinkami prostmi, równoległmi do osi prjętego układu współrędnch: AP 1 :{=λ = = λ ( ; ) P 1 P 2 :{= =λ = λ ( ; ) P 2 B:{ = = =λ λ ( ; ) Ostatecnie otrmujem: L AB = L AP 1 + L P 1 P 2 + L P2 B d d λ = 1, d d λ =, d d λ = d d λ = d dλ = 1 d d λ = d d λ = d d λ =, d d λ = 1 P1 A ` B P2 V (,, ) F (λ,, )d λ + F (,λ, )d λ + F (,, λ)d λ + V (,, )

4 ZADANIE 1 Wkaż bepośrednimi rachunkami nieależność wielkości prac jaką należ wkonać w polu sił grawitacjnch F=[,, mg] pr presunięciu mas m punktu A=(,,) do punktu C=(,1,1) dla każdej trech podanch dróg. ROZWIĄZANIE: 1 3 A 5 D 2 5 C 1 B 1 Praca dana jest całką skierowaną: L F ds F d + F d +F d Krwą, na której wkonwana jest praca można sparametrować, tj. wraić każdą e współrędnch pre równanie ależne od jednego parametru określającego położenie punktu na krwej: = (λ), = (λ), = (λ). Wted całka skierowana wraża się worem L [ d F d λ +F d d λ +F d d λ ] d λ Musim oblicć pochodne każdej e współrędnch wględem parametru i na końcu wraić wsstkie współrędne pojawiające się w całce pre ten parametr. Dwie roważanch dróg składają się prostch odcinków. Każdą prostą w prestreni możem sparametrować w następując sposób: r r r r = r + λ a wektor wodąc dowolnego punktu prostej wektor wodąc ustalonego punktu prostej wektor równoległ do prostej { = +λ a = +λ a = +λ a DROGA 1 Droga nr 1 składa się dwóch odcinków prostch, onacm je AB i BC. Praca wkonana na tej drode jest sumą prac wkonanch na odcinkach (całka sum jest sumą całek). Oblicm pracę na pierwsm odcinku. W tm prpadku ODCINEK AB: r = [,, ] r = [,,] a = [,1,] Punkt pocątkow A odpowiada wartości parametru λ= Punkt końcow B odpowiada wartości parametru λ=1 Parametracja odcinka: :{ =+λ AB =+λ 1 gdie: =+λ d d λ =, d d λ =1, d d λ =, 1 Praca: L AB [() () + () (1) + ( mg) ()]d λ = λ (,1)

5 ODCINEK BC: r = [,, ] r = [,1,] a = [,,1] Punkt pocątkow B odpowiada wartości parametru λ= Punkt końcow C odpowiada wartości parametru λ=1 Parametracja odcinka: 1 Praca: L BC :{ =+λ BC =1+λ gdie: =+λ 1 d d λ =, d d λ =, d d λ =1, λ (,1) [() () + () (1) + ( mg) (1)] d λ = mg 1 d λ= 1 mg Całkowita praca L = L AB +L BC = 1 mg = 1 mg DROGA 2 Podobnie jak w prpadku pierwsej drogi również i ta składa się odcinków prostch. Pracę policm dla obdwu odcinków nieależnie. ODCINEK AD: r = [,,] a = [1,1,] Punkt pocątkow A odpowiada wartości parametru λ= Punkt końcow D odpowiada wartości parametru λ=5 Parametracja odcinka: :{ =+λ 1 BC =+λ 1 =+λ d d λ =1, d d λ =1, gdie: d d λ = λ (,5) 5 Praca: L AD [() (1) + () (1) + ( mg) ()]d λ = ODCINEK DC: r = [2,2,] a = [ 5,5,1] Punkt pocątkow A odpowiada wartości parametru λ= Punkt końcow D odpowiada wartości parametru λ=1 Parametracja odcinka: 1 Praca: L DC :{ =2+λ ( 5) BC =2+λ 5 gdie: =+λ 1 d d λ = 5, d d λ =5, d d λ =1 λ (,2) [() ( 5) + () (5) + ( mg ) (1)]d λ = 1mg 1 d λ = 1mg Całkowita praca L = L AD +L DC = 1mg = 1 mg

6 DROGA 3 Droga nr 3 to fragment okręgu w płascźnie, o środku w punkcie (,1,) i promieniu 1. Okrąg taki opisują równania: Parametracja odcinka: BC :{ = =1 1cos λ =+1sin λ gdie: λ (,π 2 ) W tm prpadku parametrem krwej jest miara łukowa kąta awartego międ osią OY a prostą łącącą dan punkt na krwej e środkiem okręgu. Praca: d d λ =, d d λ =1sin λ, d =1 cos λ d λ L AC = [() ( 5) + () (1sin λ) + ( mg ) (1cos λ)]d λ = = 1 mg cos λ d λ = 1 mg [sin λ ] = 1mg Ujemn wnik należ interpretować w ten sposób, że ab ciało mogło porusać się po krwej opisanej w adaniu koniecne jest doprowadenie dodatkowej energii do układu ponad tę, którą apewnia nam potencjalne pole sił. W ogólności ciało pod wpłwem diałania sił tego pola będie porusać się jakimś innm torem utrmanie go na ustalonej drode wmaga diałania dodatkowch sił, które ocwiście również wkonują pracę na tej drode. Ujemna wartość prac sił pola informuje nas o tm, że ruch po tak ustalonej drode możliw jest jednie w stuacji, gd dodatkowmi siłami (poa polem sił) utrmującmi na tej wmusonej trajektorii wkonam pracę w tm prpadku równą -1mg (w dżulach).

7 ZADANIE 3 Sprawdić c poniżse pole sił jest polem potencjalnm a następnie oblicć pracę pola sił wkonanej na drode amkniętej jak na rsunku ROZWIĄZANIE: F = [+, ] Wnacam rotację pola F: 4 2 = = = 1 = ( ) = = ( ) = = 1 ( ) = 2 Rotacja pola sił nie jest wektorem erowm, a atem pole to nie jest polem potencjalnm. Praca po krwej amkniętej będie w ogólności różna od. ODCINEK AB r = [,] a = [,1] Punkt pocątkow A odpowiada wartości parametru λ= Punkt końcow B odpowiada wartości parametru λ=8 Parametracja odcinka: AB :{ = gdie λ (,8) =λ d d λ =3, d d λ =1 8 Praca: L AB [(+ ) () + ( ) (1)]d λ 8 8 [(λ ) (1)]d λ λ d λ =[ λ ] = 32 ODCINEK BC Parametracja odcinka: Praca: 3π/ 4 = 64 3 π/ 4 64 π /2 3 π/ 4 L BC = AB :{ =8cos λ gdie =8sin λ λ ( π 2 ; 3π 4 ) d d λ = 8sin λ, d d λ =8cosλ [(+ ) ( 8sin λ) + ( ) (8 cosλ)]d λ = [(cos λ+sin λ) ( sin λ) + (sin λ cosλ) (cos λ)]d λ = 64 3 π/ d λ = 64 [λ ] 4 = 16 π 3π/ 4 sin 2 λ+cos 2 λ d λ =

8 ODCINEK CA r = [ 4 2,4 2] a = [1, 1] Punkt pocątkow A odpowiada wartości parametru λ= Punkt końcow B odpowiada wartości parametru λ=4 2 Parametracja odcinka: = 4 2+λ CA:{ =4 2 λ gdie λ (,4) d d λ =1, d d λ = 1 Praca: 4 2 L CA = [( + ) (1) + ( ) ( 1)]d λ = 4 2 = [(( 4 2+λ)+(4 2 λ)) (1) + (( 4 2 λ) ( 4 2+λ)) ( 1)]d λ = = [() (1) + (8 2 2 λ) ( 1)]d λ = [2 λ 8 2]d λ = [ λ λ] 4 2 = 32 Praca całkowita: L = L AB +L BC + L CA = π 32 5,265

9 ZADANIE 2 Oblic pracę wkonaną pre pole sił F = [2, 4 ; 2 ] C=(,,3) na drode anaconej na rsunku. ROWIĄZANIE: B=(3,,) A=(,4,) Oblicm pracę na każdm odcinku drogi osobno, parametrując każd odcinków nieależnie: 1. ODCINEK OA prosta równoległa do osi L = L OA + L AB +L BC r = [,, ] r = [,,] a = [,1,] Punkt pocątkow O odpowiada wartości parametru λ= Punkt końcow A odpowiada wartości parametru λ=4 Parametracja odcinka: OA:{ = =+λ = Praca: L OA d d λ =, gdie: d d λ =1, d d λ =, 4 4 [(2 ) () + ( 4 ) (1) + ( 2 ) ()]d λ λ (,4) 4 [ 4 ]d λ [ 4 λ ]d λ = [ 2 λ 2 4 ] = ODCINEK AB prosta łącąca punkt (,4,) i (3,,) r = [,, ] r = [,4,] a = [3, 4,] Punkt pocątkow A odpowiada wartości parametru λ= Punkt końcow B odpowiada wartości parametru λ=1 Parametracja odcinka: Praca: :{ =3λ AB =4 4 λ = d d λ =3, gdie λ (,1) d dλ = 4, d d λ =, 1 1 L AB [(2 ) (3) + ( 4 ) ( 4) + ( 2 ) ()]d λ 1 [ 72λ 2 +8λ+64 ]d λ = [ 24λ 3 +4 λ 2 +64λ] 1 = 44 [6 (+3 λ ) (4 4 λ) + 16(4 4 λ)]d λ =

10 3) ODCINEK BC łuk kołow w płascźnie o środku w punkcie O i promieniu 3 :{ =3cos(λ) Parametracja odcinka: BC = gdie λ (,π 2 ) =3sin(λ) d d λ = 3sin (λ) d d λ = d d λ =3cos(λ), Praca: L BC = [(2 ) ( 3sin λ) + ( 4 ) () + ( 2 ) (3 cos λ)]d λ = = t=sin λ = [2 (3 cosλ) ( 3 sin λ) + (3sin λ) 2 (3 cosλ)] d λ = 27 [sin 2 λ cosλ ]d λ = d t=cos λ d λ = 27 Praca całkowita: L = L OA + L AB +L BC = =21 t 2 t 1 t 2 t 2 d t = 27[ t3 = 9 [sin 3 λ ] 3 = 9 ]t 1

11 ZADANIE 3 Sprawdź c dane pole sił jest potencjalne. F = [ ; ; sin( ) ] Jeśli tak, to wnac potencjał pr ałożeniu, że jego wartość w punkcie (,,) jest równa. ROZWIĄZANIE: Sprawdam, c rotacja pola sił jest równa : = 8 2 = 8 2 = 8 2 ( ) = = 16 = 8 2 ( ) = = 16 ( ) = Pole sił jest bewirowe, atem jest polem potencjalnm. Potencjał wnacm stosując obdwie predstawione wceśniej metod: 1) Bepośrednie całkowanie V = F V F d + C 1 (, ) = C 1 (, ) V = F V = [ C 1 (,)] = C (, ) 1 C 1 2 d + C 2 ( ) = 2 +C 2 ( ) V = F V = [ C 2 ()] = C () 2 C 2 sin()d + C 3 = cos()+c 3 = F = sin () F Ostatecnie: V = cos()+c Stałą całkowania wnacam warunku: V (,,)= C 3 = 1 2) Na podstawie wkonanej prac V (,, ) F (λ,, )d λ + F (,λ, )d λ + F (λ,,)d λ + F (,λ,)d λ + [8λ 2 +1]d λ + [8 2 λ +2 λ] dλ + F (,,λ)d λ + = F (,, λ)d λ + V (,, ) = [sin (λ) ]d λ = = [λ ] + [λ 2 ] + [ cos(λ) λ ] = + 2 cos()

12 ZADANIE 4 Sprawdź c dane pole sił jest polem potencjalnm. F = [2 ; 2 ; 2 ] Jeśli tak, to wnac jego potencjał prjmując, że w punkcie P=(3,4,5) potencjał ma wartość 1. ROZWIĄZANIE: Sprawdam, c rotacja pola sił jest równa : = = = = ( ) = = ( ) = = ( ) = Pole sił jest bewirowe, atem jest polem potencjalnm. Potencjał jest równ V (,, ) 3 3 F (λ,4,5)d λ + 4 [2 λ 4 5]d λ + 4 F (λ,, )d λ + F (,λ, )d λ + F (,λ,5)d λ + 5 [2 λ 5 ]d λ + 5 = [λ 2 2 λ] 3 + [λ 2 5λ ] 4 + [λ 2 λ ] = F (,, λ)d λ + 1 = [2 λ ]d λ+1 = F (,, λ)d λ + V (,, ) = = [( 2 2 ) ( 51)] + [( 2 5 ) (16 2 )] + [( 2 ) (25 5 )] + 1 = =