1. Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym.

Transkrypt

1 Wykład 3. Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika punktu mateialnego i były sztywnej. Ruch obotowy i postępowy Większość ciał w pzyodzie to nie punkty mateialne ale ozciągłe ciała sztywne tj. obiekty, w któych odległości wzajemne punktów są stałe. Zasady dynamiki dla uchu postępowego: (ciało sztywne) 1. Ciało sztywne, na któe nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub pousza się uchem obotowym jednostajnym. 2. Wypadkowy moment siły działający na punkt mateialny jest ówny pędkości zmian momentu pędu. 3. Jeżeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siła z jakim działa ciało dugie na ciało piewsze jest ówny i pzeciwnie skieowany do momentu siły, z jakim ciało piewsze działa na dugie.

2 Kinematyka uchu obotowego Ruch postępowy i obotowy były sztywnej Ruch postępowy -Ruch postoliniowy dowolna posta pzepowadzona pzez byłę sztywną pzesuwa się ównolegle do samej siebie, wektoy pędkości wszystkich punktów były sztywnej są w danej chwili jednakowe. pzesunięcie pędkości liniowa pzyspieszenie liniowe Ruch obotowy wszystkie punkty były sztywnej pouszają się po okęgach, któych śodki leżą na jednej wspólnej postej zwanej chwilową osią obotu. pzesunięcie kątowe φ pędkość kątowa ω pzyspieszenie kątowe α Kąt φ okeśla położenie (kątowe) punktu P względem układu odniesienia. Zakł: Punkt P obacającego się ciała zatacza łuk o długości s Miaa łukowa kąta φ: φ = s/r gdzie s- dogą liniową, φ -pzesunięcie kątowe W uchu obotowym wielkością analogiczną chwilowej pędkości liniowej v jest chwilowa pędkość kątowa ω W uchu obotowym podobnie jak w uchu po okęgu ω jest też nazywana częstością kątową i jest związana z częstotliwością f elacją Podobnie jak chwilowe pzyspieszenie liniowe a zostało zdefiniowane chwilowe pzyspieszenie kątowe α Pędkość kątowa jak i pzyspieszenie kątowe są wektoami.

3 Punkt P pousza się uchem pzyspieszonym po okęgu. Ruch punktu P obacającego się ciała sztywnego opisują wektoy: pędkości liniowej v, pędkości kątowej ω, pzyspieszenia stycznego a s, pzyspieszenia nomalnego a n i pzyspieszenia kątowego α Rys Kieunki wektoów v, ω, a s, a n i α punktu P pouszającego się po okęgu wokół pionowej zależności w postaci wektoowej mają postać Z powyższych ozważań wynika, że jeżeli kąt φ jest miezony w adianach (ad) to jednostką pędkości kątowej ω jest adian na sekundę (ad/s), a pzyspieszenia kątowego α adian na sekundę do kwadatu (ad/s 2 ).

4 Ruch postępowy -Ruch postoliniowy dowolna posta pzepowadzona pzez byłę sztywną pzesuwa się ównolegle do samej siebie, wektoy pędkości wszystkich punktów były sztywnej są w danej chwili jednakowe. Pzesunięcie: s ( ) Pędkość: v=ds/dt ( Pzyspieszenie : Masa : m Siła : F = Pęd: p Enegia kinetyczna: ma = mv d v = dt dv a = dt mv E k = 2 2 Ruch obotowy wszystkie punkty były sztywnej pouszają się po okęgach, któych śodki leżą na jednej wspólnej postej zwanej chwilową osią obotu. Kąt obotu ϕ ) Pędkość kątowa : ω = α = dϕ dt Pzyspieszenie kątowe: Moment bezwładności : I Moment siły: M Moment pędu: L Enegia kinetyczna: = Iα dω dt = Iω E k 2 Iω = 2

5 Moment siły: Dla uchu obotowego wielkością, któa odgywa olę analogiczną do siły w uchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obotowy) τ. Jeżeli siła F jest pzyłożona w pewnym punkcie to moment siły τ względem tego punktu jest definiowany jako watość bezwzgledna wynosi: - amię siły, wekto - położenie punktu względem wybanego inecjalnego układu odniesienia. Moment pędu Zdefiniujmy teaz wielkość, któa w uchu obotowym odgywa olę analogiczną do pędu. Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako gdzie p jest pędem punktu mateialnego, wekto - położenie punktu względem wybanego inecjalnego układu odniesienia. Watość L wynosi Zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu:. (óżniczkując obie stony ównania otzymujemy: Ponieważ wektoy v oaz p są ównoległe to ich iloczyn wektoowy jest ówny zeu. Natomiast dugi składnik ównania jest zgodnie z wypadkowym momentem siły. Otzymujemy więc

6 Zachowanie momentu pędu Dla układu n cząstek możemy zsumować momenty sił działające na poszczególne punkty mateialne gdzie L oznacza teaz całkowity moment pędu układu. Jeżeli na układ nie działa zewnętzny moment siły (lub wypadkowy moment sił zewnętznych jest ówny zeu) to całkowity moment pędu układu pozostaje stały Pzykład: Rozpatzmy teaz następujący pzykład. Rowe jedzie ze stałą pędkością gdy siła działająca pomiędzy nawiezchnią i kołem F 2. Z jaką siłą F 1 łańcuch ciągnie zębatkę jeżeli stosunek R=10? Ponieważ pędkość kątowa jest stała więc dl/dt = 0 i wypadkowy moment sił jest ówny zeu czyli skąd

7 Ruch były sztywnej obacającej się ze stałą pędkością kątową ω wokół stałej osi obotu w układzie śodka masy. Większość ciał w pzyodzie to nie punkty mateialne ale ozciągłe ciała sztywne. Zauważmy, że chociaż wszystkie punkty mają te samą pędkość kątową ω to punkty znajdujące się w óżnych odległościach od osi obotu mają óżną pędkość liniową v Pędkość i -tego punktu o masie m i wynosi v i = i ω gdzie i jest odległością od osi obotu Dwa punkty obacającej się były mają tę samą pędkość kątową, a óżne pędkości liniowe ze względu na óżne odległości od osi obotu 1 i 2 Obliczamy teaz watość momentu pędu L tego ciała Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, któy definiujemy jako dla ciągłego ozkładu masy Moment bezwładności I zależy od osi obotu.

8 Możemy teaz wyazić moment pędu popzez moment bezwładności a ponieważ więc gdzie α jest pzyspieszeniem kątowym. Obliczmy teaz enegię kinetyczną obacającego się ciała więc Analogia między wielkościami obliczonymi dla uchu obotowego z ich odpowiednikami dla uchu postępowego. Ruch postępowy Ruch obotowy moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w uchu postępowym Jednak w pzeciwieństwie do masy moment bezwładności zależy od osi, wokół któej obaca się ciało.

9 Momenty bezwładności niektóych ciał sztywnych: Ciało Obęcz, pieścień o pomieniu R, względem osi obęczy moment bezwładności I Kążek, walec względem osi walca Pęt o długości d, względem osi symetii postopadłej do pęta Pełna kula o pomieniu R, względem śednicy Czasza kulista o pomieniu R, względem śednicy

10 Obliczanie momentu bezwładności - pzykład Obliczmy moment bezwładności pęta o masie M i długości d pokazanego na ysunku poniżej. Oś obotu pzechodzi pzez śodek pęta i jest do niego postopadła (linia pzeywana). Rys. 1. Pęt o masie M i długości d obacający się względem osi pzechodzącej pzez śodek pęta (linia pzeywana) Najpiew, pęt dzielimy umownie na "nieskończenie małe" elementy o masie dm i długości dx, któe możemy taktować jak punkty mateialne (patz ysunek). Moment bezwładności takiego elementu wynosi x 2 dm, a moment bezwładności całego pęta jest, zgodnie z definicją (11.14), sumą (całką) momentów bezwładności poszczególnych elementów gdzie całkowanie pzebiega po całej długości pęta tj. w ganicach od -d/2 do d/2. Zakładając, że pęt ma stałą gęstość to masę dm możemy wyazić z postej popocji jako Podstawiając tę zależność do wzou na moment bezwładności i wykonując całkowanie otzymujemy

11 Do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twiedzeniem Steinea. Zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi, a momentem bezwładności I ś.m. tego ciała względem osi pzechodzącej pzez jego śodek masy i ównoległej do danej wyaża się zależnością: gdzie a jest odległością między osiami, a M jest masą ciała. Jakob Steine ( ) Innymi słowy: Moment bezwładności były sztywnej względem dowolnej osi obotu, ównoległej do osi pzechodzącej pzez śodek masy, jest sumą momentu bezwładności względem osi pzechodzącej pzez CM i iloczynu masy ciała pzez kwadat odległości między osiami obotu.

12 Pzykład: oblicz moment bezwładności pęta o masie M i długości d względem osi postopadłej do pęta i pzechodzącej pzez jeden z jego końców kozystając z powyższego twiedzenia i z danych w tabeli Dane: M, d, oś obotu jest postopadła do pęta i pzechodzi pzez jeden z jego końców tak jak na ysunku poniżej. Rys. 1. Dwie osie obotu pęta: 1) pzechodząca pzez śodek masy - linia niebieska, 2) pzechodząca pzez koniec pęta -linia czewona Moment bezwładności pęta względem osi pzechodzącej pzez śodek pęta (zaazem jego śodek masy) wynosi (patz tabela 11.3) Natomiast moment bezwładności względem osi obotu pzechodzącej pzez koniec pęta obliczamy z twiedzenia Steinea

13 Ruch obotowo-postępowy Ciało toczące się bez poślizgu W pzeciwieństwie do uch obotowego względem nieuchomej osi obotu w pzypadku toczenia występuje zaówno uch postępowy, jak i obotowy. Spóbujemy opisać toczenie jako złożenie uchu postępowego i obotowego. Pześledźmy uch walca o pomieniu R: Ruch postępowy + Ruch obotowy = Toczenie Toczenie (c) jako złożenie uchu postępowego (a) i obotowego (b) W uchu postępowym, ysunek (a), uch postępowy: wszystkie punkty pouszają się z takimi samymi pędkościami, ysunek (b): uch obotowy wokół śodka masy S, pzeciwległe punkty pouszają się z pzeciwnymi pędkościami, a śodek jest nieuchomy. Rysunek (c) toczenie: wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektoów z ysunków (a) i (b). Podstawa walca (punkt A styczności z podłożem) w każdej chwili spoczywa (pędkość chwilowa v A = 0). Natomiast pędkość liniowa punktów S i B jest popocjonalna do ich odległości od punktu A (punkt B w odległości 2R ma pędkość dwukotnie większą niż punkt S w odległości R).

14 Jeszcze pełniej widać to na ysunku gdzie naysowane są pędkości chwilowe kilku punktów na obwodzie toczącego się walca. Toczenie się walca jako obót wokół punktu A Widać, że pędkość każdego z tych punktów jest postopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą A i popocjonalna do odległości tego punktu od A. Takie zachowanie jest chaakteystyczne dla ciała wykonującego uch obotowy względem nieuchomej osi. Oznacza to, że opisywany walec obaca się wokół punktu A, a co za tym idzie, że możemy toczenie opisywać ównież wyłącznie jako uch obotowy ale względem osi pzechodzącej pzez punkt A styczności z powiezchnią, po któej toczy się ciało. Obliczmy teaz enegię kinetyczną walca o masie m toczącego się z pędkością v. Najpiew potaktujemy toczenie jako złożenie uchu postępowego i obotowego względem śodka masy. Enegię kinetyczną obliczamy jako sumę enegii uchu postępowego i obotowego Podstawiając watość momentu bezwładności walca odczytaną z (podanej wcześniej) oaz uwzględniając, że dla ciała toczącego się bez poślizgu ω = v/r otzymujemy

15 Powtózymy nasze obliczenia ale potaktujemy toczenie wyłącznie jako obót względem osi obotu w punkcie A zetknięcia walca z powiezchnią. Enegia kinetyczną obliczamy więc jako Moment bezwładności walca I A,względem osi A, obliczamy z twiedzenia Steinea Po podstawieniu tej watości i uwzględniając, że ω = v/r otzymujemy W obu pzypadkach otzymaliśmy ten sam ezultat. Widzimy, że Ruch ciała będący złożeniem uchu postępowego śodka masy i obotowego względem osi pzechodzącej pzez śodek masy jest ównoważny uchowi obotowemu wokół osi pzechodzącej pzez punkt styczności ciała z powiezchnią, po któej się ono toczy Inny pzykładem uchu obotowego, w któym oś obotu nie jest nieuchomą w inecjalnym układzie odniesienia jest bąk wiujący dookoła pewnej osi symetii.

16 Ruch pecesyjny (bąk) Inny pzykładem uchu obotowego, w któym oś obotu nie jest nieuchomą w inecjalnym układzie odniesienia jest bąk wiujący dookoła pewnej osi symetii. Oś wiującego bąka pousza się dookoła osi pionowej, zakeślając powiezchnię stożka. Taki uch nazywamy pecesją. W sytuacji pzedstawionej na ysunku poniżej bąk ma pędkość kątową ω dookoła swej osi. Ma ównież moment pędu L względem tej osi, któa twozy kąt θ z osią pionową. Punkt podpacia bąka znajduje się w początku inecjalnego układu odniesienia. Ruch pecesyjny bąka Siła działająca na bąk w punkcie podpacia ma zeowy moment względem punktu podpacia ponieważ amię siły jest ówne zeu. Natomiast cięża mg wytwaza względem punktu podpacia moment siły gdzie okeśla położenie śodka masy. Z iloczynu wektoowego wynika, że τ jest postopadłe do i do mg. Zauważmy, że wektoy τ, L i wiują dokoła osi pionowej z częstością pecesji ω p. Z ysunku wynika, że

17 Ponieważ L << L, to możemy napisać Z dugiej zasadę dynamiki uchu obotowego Więc Ostatecznie otzymujemy Zgodnie z ysunkiem 1 moment siły jest ówny więc ostatecznie Zwóćmy uwagę, że pędkość pecesji nie zależy od kąta θ i jest odwotnie popocjonalna do watości momentu pędu. Spóbujmy teaz podać ogólne wektoowe ównanie opisujące pecesję. Widać, że pawa stona ównania jest ówna watości iloczynu wektoowego ω p x L. Tak więc ostatecznie wyażenie wiążące pędkość kątową pecesji z momentem siły i momentem pędu ma postać

18 Zjawisko pecesji momentu magnetycznego jest podstawą óżnych technik doświadczalnych jak np. magnetyczny ezonans jądowy (MRJ), któe znalazły szeokie zastosowanie w badaniach naukowych, technice i medycynie.