ver ruch bryły

Transkrypt

1 ver ruch bryły

2 ruch obrotowy najperw punkt materalny: m d v dt = F m r d v dt = r F d dt r p = r F d dt d v r v = r dt d r d v v= r dt dt def r p = J def r F = M moment pędu moment sły d J dt = M

3 układ punktów materalnych m 1 d v 1 dt = F 1 F 1,2 m 2 d v 2 dt = F 2 F 2,1 m 2 r 2 d v 2 dt = r 2 F 2 F 2,1 m 1 r 1 d v 1 dt = r 1 F 1 F 1,2 d dt [ r 1 p 1 r 2 p 2 ]= r 1 r 2 F 1,2 r 1 F 1 r 2 F 2 J = J M =0 = M d J dt = M M =0 J =const zasada zachowana momentu pędu! (zotropa przestrzen)

4 przykłady J r d J = r p J =mvrsnα =mvd J R r p p α J = mvr

5 para sł M F -F r 1,2 M = r 1,2 F sły tu odejmują sę, momenty sł dodają sę!

6 ruch bryły sztywnej bryła sztywna 6 stopn swobody ruch postępowy (translacja) obrotowy (rotacja) 0' 0 toczene bez poślzgu

7 stopne swobody położene środka masy 3 stopne orentacja os 2 stopne obrót dookoła os 1 stopeń

8 prędkość kątowa d s=d s tr d s rot v= v 0 ω r ω R ω r 0 r

9 chwlowa oś obrotu ogólne: stneje układ nercjalny, w którym ruch w danej chwl jest rotacją ω / lub translacją v tr ω dϕ 0 dϕ' 0' chwlowa oś obrotu (dϕ = dϕ )

10 ruch środka masy bryły Δm a = F wew F F wew =0 m= Δm - masa całkowta Δm a = F Δm r =m r c m a c = F środek masy m a c = F środek masy bryły sztywnej porusza sę jak punkt materalny

11 ruch obrotowy względem stałej os J = r Δm v = Δm r v z J =Δ m r ω R J z =J cos α = Δm r ω R cos α =Δm R 2 ω z ω R v J J z = J z =ω J z =ω Δm R 2 Δm R 2 α r 0 def I = Δm R 2 moment bezwładnośc J z =Iω z ne zależy od 0! J = Δm r v

12 moment pędu całkowty moment pędu obrót dookoła os symetr swobodna oś obrotu J =I ω

13 moment bezwładnośc def I = Δm R 2 welkość addytywna odległość od os obrotu I = R 2 dm= ρ R 2 dv ρ= dm dv gęstość masy I = ρ x, y, z R 2 x, y, z dxdydz

14 momenty kula: I = 2mR2 5 tarcza: I = mr2 2 tarcza: I = mr2 4 obręcz: I =mr 2

15 walec S l l 2 Ι = R 2 ρ SdR = ρ S l 2 R 2 dr dr oś obrotu l 2 = ρ S l 3 12 =m V l 2 Sl =ml 12 r << l

16 twerdzene Stenera m I =I c ml 2 R ' = l R ʘ 0 R R ʘ l 0 c równoległe ose I = m R ' 2 ={ l 2 m =ml 2 2 l m R =0 m R 2 =I C

17 energa ruchu obrotowego E k = = 1 2 ω2 E k, = 1 2 Δm v 2 = Δm R 2 = 1 2 I c ω2 1 2 Δm ω 2 R 2 w przypadku os neruchomej: E k = 1 2 I c ω mv c 2 dl= F v dt = F ω r dt = ω r F dt= ω M dt L= M ω d ω dt=d L= F t ds

18 równana ruchu m a c = F d J dt = M sły momenty zewnętrzne warunk równowag: F =0 M =0 d J dt = d dt I ω =I d ω dt =I ε M =0 Iω=const przyspeszene kątowe

19 analoga do ruchu prostolnowego Ruch prostolnowy Ruch obrotowy dookoła stałej os przesunęce x kąt prędkość v=dx/dt prędkość kątowa =d /dt przyspeszene a=dv/dt przyspeszene kątowe =d /dt masa m moment bezwładnośc I sła F=ma moment sły M =I pęd p=mv moment pędu L=I energa ketyczna E= 1 2 mv2 energa ketyczna E= 1 2 I 2

20 stała oś obrotu ω 2 ω 1 ω = 1I1 ω2i2

21 bąk J M = r F M =mgd sn α n n - kerunek α d mg d J = M d t d J J precesja: = mgd Iω

22 precesja α J dj dϕ d = dj J sn α = Mdt mgl sn α dt = J sn α J sn α = d dt = mgl J = mgl Iω nutacje...

23 α β V 2 zadane 1 d d' 2R W zadanu ze zderzającym sę kulam blardowym oblcz parametr zderzena d z jakm musało dojść zderzena. v 1 V 1 korzystając z poprzednego rozwązana, wemy, że V1 V2 są prostopadłe, węc V 1 V 2 =V 1, x V 2, x V 1, y V 2, y =0 Moment pędu układu jest zachowany. Rozpatrujemy moment pędu względem środka kul 2. Wtedy: d v 1 = d ' V 1 V 2

24 zadane 1 c.d. {v1 2 =V V 2 v 1, x =V 1, x V 2, x v 1, y =0=V 1, y V 2, y dv 1 =2R cos V 1, x V 2, x 2 V 1, y V 2, y 2 V 1, x V 2, x V 1, y V 2, y =0 dv 1 =2R cos V 1, x V 2, x 2 2 4V 1, y dv 1 =2R cos V 2 1, x V 2 2 2, x 2V 1, x V 2, x 4V 1, y dv 1 =2R cos V 2 1, x V 2 2, x 2V 1, x V 2, x dv 1 =2R cos V 1, x V 2, x =2R cos v 1 cos = d 2R sn = d 2R, = cos =sn tg = cos 1 sn d =2R cos arctg cos 1 sn

25 zadane 2 Z równ pochyłej o wyskośc h staczają sę bez ześlzgwana obręcz, walec kula o promenu R. Oblcz prędkość środka masy oraz prędkość kątową obrotu każdego z cał na końcu równ. O'' O' R O v ωr Punkt O spoczywa względem podłoża (ruch bez ześlzgwana sę), stąd: 0=v R v= R Korzystamy z zasady zachowana energ: całkowta energa potencjalna grawtacj zostaje zamenona na energę knetyczną ruchu postępowego obrotowego. mgh= 1 2 m v2 1 2 I 2

26 zadane 2 c.d. { v= R mgh= 1 2 mv I 2 2mgh=mv 2 I R 2 v2 v= 2mgh m I / R 2 obręcz walec kula v= gh v= 4 3 gh v= 10 7 gh

27 konec

28 zagadnena ruch bryły sztywnej ruch środka masy moment bezwładnośc twerdzene Stenera energa obrotu groskop zasada zachowana momentu pędu

29 glossary rotatonal moton moton about an axs unform rotaton prncpal, fxed axs angular dsplacement angular frequency angular velocty axal vector perod of revolutons dstance of the axs angular acceleraton angular mpulse moment of a vector about a pont moment of nerta, rotary nerta moment of force, torque, couple angular momentum centre of mass law of conservaton of angular momentum rgd body degrees of freedom nstantaneous axs Stener s theorem precesson nutaton gyro(scope)

30