MECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Transkrypt

1 MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu przez kwadrat odległośc tego punktu od danej płaszczyzny, os lub beguna: Jednostką jest [ I ] = kg m

3 Moment bezwładnośc układu punktów Momentem bezwładnośc układu punktów materalnych względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy sumę momentów bezwładnośc wszystkch punktów materalnych względem tej płaszczyzny, os lub beguna. n I = m r = 1

4 Moment bezwładnośc układu cągłego Momentem bezwładnośc układu cągłego (ln, powerzchn lub bryły materalnej) względem przyjętej płaszczyzny, os lub beguna nazywamy całkę rozcągnętą na całą masę układu.

5 Promeń bezwładnośc Po przekształcenu wzoru otrzymamy wzór na promeń bezwładnośc

6 Masa zredukowana na odległość r Masę m red, którą należy skupć w odległośc r od danej płaszczyzny, os lub beguna, aby jej moment bezwładnośc był równy I, nazywamy masą zredukowaną na daną odległość r. czyl

7 Geometryczny moment bezwładnośc Geometryczny moment bezwładnośc I (dla cał jednorodnych) jest lorazem masowego momentu bezwładnośc przez gęstość:

8 Moment bezwładnośc ln materalnej Po podstawenu do równana Masy elementarnej w postac: Otrzymamy wzór na moment bezwładnośc ln materalnej Gdze: ρ l jest gęstoścą lnową ln materalnej, kg/m

9 Geometryczny moment bezwładnośc ln materalnej

10 Przykład Wyznacz moment bezwładnośc cenkego jednorodnego pręta o mase m długośc l względem os Ox os centralnej Cx c. ρ l = m l Pomjając wymary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy Moment bezwładnośc względem os centralnej Cx c.

11 Moment powerzchn materalnej Po podstawenu do wzoru Masy elementarnej w postac: Otrzymamy wzór na moment bezwładnośc powerzchn materalnej Gdze: ρ s jest gęstoścą powerzchn materalnej, kg/m

12 Geometryczny moment powerzchn materalnej Jednostka J S m 4

13 Moment bryły materalnej Po podstawenu do wzoru Masy elementarnej w postac: Otrzymamy wzór na moment bezwładnośc bryły materalnej Gdze: ρ s jest gęstoścą bryły materalnej, kg/m 3

14 Moment bezwładnośc względem płaszczyzny W układze współrzędnych x, y, z dany jest układ punktów materalnych o masach m. Współrzędne 1, m, Κ, m n masy m oznaczymy x., y, z Momenty bezwładnośc względem płaszczyzn układu współrzędnych określają wzory:

15 Moment bezwładnośc względem os Moment bezwładnośc względem beguna

16 Moment bezwładnośc względem płaszczyzny W układze współrzędnych x, y, z dane jest contnuum materalne o mase m rozłożonej w sposób cągły. Wtedy momenty bezwładnośc względem płaszczyzn układu współrzędnych w sposób analogczny określają wzory:

17 Moment bezwładnośc względem os Moment bezwładnośc względem beguna

18 Zwązk pomędzy momentam Suma momentów bezwładnośc względem dwóch płaszczyzn wzajemne prostopadłych jest równa momentow bezwładnośc względem os pokrywającej sę z krawędzą przecęca sę tych płaszczyzn. Momenty bezwładnośc względem płaszczyzn można wyrazć przez momenty osowe:

19 Zwązk pomędzy momentam Begunowy moment bezwładnośc można wyrazć przez momenty osowe Begunowy moment bezwładnośc jest równy połowe sumy osowych momentów bezwładnośc względem trzech prostopadłych os przechodzących przez ten begun. Begunowy moment bezwładnośc możemy równeż wyrazć przez momenty względem płaszczyzn Moment begunowy jest sumą momentów względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez dany begun.

20 Zwązk pomędzy momentam Na płaszczyźne Oxy momenty bezwładnośc tego samego cała wyrażają sę wzoram: Względem os: Względem beguna:

21 Zwązk pomędzy momentam Zatem: Moment begunowy bezwładnośc jest sumą momentów bezwładnośc względem dwóch prostopadłych os przechodzących przez dany begun.

22 PRZYKŁAD 1 Wyznaczyć begunowy moment bezwładnośc przekroju kołowego. dr r R Elementarne pole da perścena o grubośc dρ jest równe

23 Po pomnęcu π(dρ) - welkośc małej wyższego rzędu Po podstawenu otrzymamy: Aby objąć całkowanem cały obszar A, zmenna r pownna przyberać wartośc od 0 do R: Begunowy moment bezwładnośc przekroju kołowego względem jego środka wynos: lub

24 PRZYKŁAD Oblczyć geometryczny moment bezwładnośc prostokąta o wym. b h względem os x.

25 Lp. Przekrój Moment bezwładnośc 1. Względem środka (osowy) J 0 πr = 4 πd = 3 4 W 0 Wskaźnk wytrzymałośc πr = 3 πd = J 0 = π ( D d ) 4 π D d = 16 D Względem os zaznaczonej na rysunku J J = πr 4 = π 64 4 = πd ( D d ) W W 0 πr = 4 3 = 4 π D d W = 3 D 4 4 πd J = 3 bh 1 W = bh 6

26

27

28 MOMENTY DEWIACJI Momentem dewacj punktu materalnego względem płaszczyzn wzajemne prostopadłych nazywamy loczyn masy punktu przez odległośc od danych płaszczyzn: Momenty zboczena mogą być dodatne, ujemne, w szczególnośc, równe zeru.

29 MOMENTY DEWIACJI Momentem dewacj układu punktów materalnych względem dwóch wzajemne prostopadłych płaszczyzn a b nazywamy sumę momentów dewacj poszczególnych punktów materalnych względem tych płaszczyzn. Dla układu cągłego rozcągnęta, na całą masę.

30 MOMENTY DEWIACJI W przestrzennym układze współrzędnych układ punktów materalnych ma trzy momenty dewacj: W płaskm układze współrzędnych układ materalny ma jeden moment dewacj

31 GEOMETRYCZNY MOMENT DEWIACJI Geometryczny moment dewacj jest równy lorazow masowego momentu dewacj przez gęstość bryły.

32 Transformacja równoległa momentów bezwładnośc Weźmy pod uwagę układ punktów materalnych dwe równoległe ose l, s. Moment bezwładnośc względem os l a względem os s a r Pomędzy odległoścam r zachodz zależność

33 Transformacja równoległa momentów bezwładnośc Po podstawenu otrzymujemy czyl Założymy, że oś s przechodz przez środek cężkośc układu materalnego, wtedy moment statyczny m x = 0, jest równy zero wzór przybera postać:

34 Transformacja równoległa momentów bezwładnośc Moment bezwładnośc względem dowolnej os jest równy momentow względem os równoległej przechodzącej przez środek cężkośc powększonemu o loczyn masy całkowtej układu przez kwadrat odległośc obu os. Iloczyn ma jest zawsze dodatn, stąd wnosek, że moment bezwładnośc względem prostej przechodzącej przez środek cężkośc układu jest najmnejszym ze wszystkch momentów względem prostych do nej równoległych.

35 PRZYKŁAD Geometryczny moment bezwładnośc prostokąta względem pozomej os x wynos x Oblczyć moment bezwładnośc względem podstawy.

36 Przykład 1 Wyprowadź wzór na moment bezwładnośc półkola względem os centralnej. R o z w ą z a n e: Moment bezwładnośc półkola względem os z jest równy połowe momentu bezwładnośc całego koła Stosując wzór Stenera, mamy

37 Transformacja równoległa momentów dewacj Wyznaczymy moment dewacj względem układu współrzędnych x, y, z z początkem umeszczony wśrodku cężkośc S. m Współrzędne dowolnej masy w układze x, y, z będą równe x = x + x s y = y + z = z + y z s s

38 Transformacja równoległa momentów dewacj Moment dewacj względem dwóch płaszczyzn (np. płaszczyzn zy ) będze równy xz Ale Po zapsanu analogcznych zwązków na Dyz zx otrzymamy: D

39 l Transformacja obrotowa osowych momentów bezwładnośc Dane: m, m,, oraz I I, I 1 Κ m n x, y z Dxy Należy wyznaczyć moment bezwładnośc względem os l. n I = m = 1 r Odległość r masy m od os l określona jest równanem r = ρ sn ϕ ρ (x,y,z ) Dyz Dzx

40 Transformacja obrotowa osowych momentów bezwładnośc lub r = ρ sn ϕ = ρ ρ ϕ gdze ρ = x + y + z Rzut promena ρ na oś l jest równy ρ ϕ = x α + y β + z γ Uwzględnając, że α + β + γ = 1

41 dochodzmy do równana Grupując względem nusów otrzymamy Po podstawenu do Transformacja obrotowa osowych momentów bezwładnośc ( ) ( ) ( ) α γ γ β β α β α α γ γ β α γ γ β β α γ β α x z z y y x z y x x z z y y x z y x z y x r = = + + = ( ) ( ) ( ). α γ γ β β α γ β α x z z y y x y x x z z y r = 1 n l r I m = =

42 Transformacja obrotowa osowych momentów bezwładnośc Mnożymy powyższe równane przez m, a otrzymane loczyny sumujemy. Uwzględnając,że ( m + ) y z = I ( ) x z + x = I y oraz m x y = D xy otrzymujemy ostateczne D xy I l = I α β x m ( m + ) x y = I z m y z = α + D I zx y D yz β + I γ α z m z x = D yz γ D zx β γ.

43 Transformacja obrotowa osowych momentów bezwładnośc W szczególnośc dla układu płaskego uwzględnając, że ( β = 90 α ) powyższe równane przyjmuje postać: I l = I x α + I sn α D sn α y xy

44 PRZYKŁAD 1 Dane są dwe pełne kule A B wykonane z tego samego materału. Masa kul A jest 8 razy wększa od masy kul B. Ile razy moment bezwładnośc kul A jest wększy od momentu bezwładnośc kul B? Moment bezwładnośc kul wyraża sę wzorem: I 0 = / 5 mr.

45 PRZYKŁAD 1 Poneważ obe kule są wykonane z tego samego materału, ch gęstość jest taka sama: Zatem:

46 PRZYKŁAD I x =? I y =? 1 3

47 PRZYKŁAD 1

48 PRZYKŁAD

49 PRZYKŁAD Z twerdzena Stenera:

50 Przedzał całkowana: PRZYKŁAD albo:

51 PRZYKŁAD

52 PRZYKŁAD

53 PRZYKŁAD

54 PRZYKŁAD 3 I z =? I xx =? I yy =? I zz =? I 0 =? I x =? I y =?

55 PRZYKŁAD 3 W celu oblczena I z rozpatrzmy przekrój walca z płaszczyzną 0xy:

56 PRZYKŁAD 3 Względem płaszczyzny 0xy:

57 PRZYKŁAD 4 I z =? I xx =? I yy =? I zz =? I 0 =? I x =? I y =? W celu wyznaczena I z wycnamy dwema płaszczyznam prostopadłym do os 0z elementarny walec o grubośc dz promenu r:

58 PRZYKŁAD 4 Z podobeństwa trójkątów mamy: R h Zatem: r = ( h z) r h z = R h Analogczne jak dla walca:

59 Względem płaszczyzny 0xy: PRZYKŁAD 4