XXXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

Transkrypt

1 XXXVII OIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne ZADANIE D Nazwa zadania: Obacający się pęt swobodnie Długi cienki pęt obaca się swobodnie wokół ustalonej pionowej osi, postopadłej do niego yc. 4. Wzdłuż może się pouszać nanizane nań niewielkie ciało o masie m i ładunku q. Cały układ znajduje się w stałym, jednoodnym polu magnetycznym o indukcji B, ównoległym do osi. Zwot pola jest taki, że siła oentza działa na ciało w stonę osi obotu. Ryc.4. Dla jakich pędkości ciało to ozpocznie uch wzdłuż pęta w kieunku osi obotu?. Dla jakich pędkości ciało to będzie cały czas spoczywało względem pęta? 3. Załóżmy, że nie zachodzi ani pzypadek ani, tzn. ciało początkowo nieuchome znajdujące się pzy osi obotu ozpoczyna uch wzdłuż pęta w kieunku od osi obotu. Jaka będzie pędkość kątowa pęta w chwili, gdy ciało osiągnie zeową pędkość względem pęta? W jakiej odległości R od osi obotu będzie wtedy znajdować się ozważane ciało? Czy po osiągnięciu odległości R ciało pozostanie tam na stale? Pzyjmujemy, że tacia w układzie nie ma i że pouszający się ładunek nie pomieniuje. Pzyjmujemy też, że pęt jest dostatecznie długi. Moment bezwładności pęta względem ozważanej osi obotu wynosi I. ROZWIĄZANIE ZADANIA D Pędkość ciała v ozkładamy na składowe (yc. 5): postopadłą do pęta v ( v = ), ównoległą do pęta v Na ciało działa siła oentza ówna qv B = qv B + qv B F II F Ta składowa siły oentza jest postopadła do pęta

2 Watość składowej siły oentza skieowanej wzdłuż pęta ku osi wynosi F II = qb W uchu po okęgu siła dośodkowa w odległości od śodka wynosi F d = m Jeżeli Mamy Zatem F < F to ciało zacznie pouszać się ku śodkowi pęta (ku osi obotu). II d F = q B > m = II F d def qb < = m Widzimy, że ciało zacznie się pouszać ku śodkowi pęta dla ( qb m) < = / Ryc.5 Jeżeli F II = F to ciało będzie pouszało się po okęgu pozostając w spoczynku względem pęta. Pzypadek ten zachodzi, gdy ( qb m) = = / Jeżeli F II < Fd to zajdzie pzypadek 3, tzn. ciało ozpocznie uch w kieunku od osi obotu. Pzypadek ten ma miejsce dla < Pzypadkiem tym, zgodnie z teścią zadania zajmiemy się szczegółowo. Siła oentza qv ( t ) B w każdej chwili t jest postopadła do v ( t ), a zatem jaj moc F v jest ówna zeu. Jej paca w dowolnym odcinku czasu jest więc też ówna zeu. Wynika stąd, że całkowita enegia mechaniczna układu zachowuje się. Bioąc pod uwagę fakt, że w układzie nie występuje enegia potencjalna stwiedzamy, że zachowuje się całkowita enegia kinetyczna układu (wniosek ten dotyczy nie tylko pzypadku 3, ma on ogólny chaakte).

3 Wobec powyższego: gdzie I + m + mv = I I - enegia kinetyczna uchu obotowego pęta w chwili t, m - enegia kinetyczna ciała w uchu po okęgu w chwili t, mv - enegia kinetyczna ciała w uchu wzdłuż pęta, I - enegia kinetyczna układu na początku, ówna enegii kinetycznej uchu obotowego pęta (na początku ciało jest tuż pzy osi obotu i ma zaniedbywana pędkość). Składowa momentu pędu układu wzdłuż osi obotu nie jest zachowana, gdyż siła F dostacza układowi momentu pędu, któy w bilansie momentu pędu należy uwzględnić. Moment siły postopadłej do pęta wynosi qbv W ciągu czasu dt pzyost momentu pędu związany z działaniem tej siły wynosi d : stąd d = qbv dt qbd = = d d = d Zatem pzyost momentu pędu związany z działaniem składowej siły oentza postopadłej do pęta wynosi = qb qb = m (uwzględniono tu fakt, że = dla = ).

4 Bilans momentu pędu: I + m = I + m + gdzie I - moment pędu pęta w chwili t m - moment pędu ciała w chwili t m - moment pędu dołożony pzez składową siły oentza -moment pędu ciała na początku (leży ono paktycznie na osi obotu) W pzypadku 3 inteesuje nas sytuacja, gdy v =. Z zachowania enegii i bilansu momentu pędu dostajemy dwa ównania na dwie niewiadome R i : I + mr = I I + mr = I + mr Rozwiązując powyższy układ ównań dostajemy = R = ( ) I m Podany wyżej układ ównań ma jeszcze jedno ozwiązanie: =. Rozwiązanie to odpowiada sytuacji początkowej, gdy ciało znajduje się na osi obotu. Po osiągnięciu odległości R od osi obotu, ze względu na waunek < zachodzący w ozważanych pzypadkach, będziemy mieli < co oznacza, że ciało w odległości R nie pozostanie w spoczynku na stale lecz po chwilowym spoczynku ozpocznie uch w kieunku osi obotu. Dalsza analiza uchu wykacza poza teści zadania. Wydaje się jednak celowe, by czytelnik zechciał ją pzepowadzić samodzielnie i znalazł stan układu po badzo długim czasie. Dla ułatwienia zwacamy uwagę, że stan układu nie będzie się zmieniać okesowo jak na piewszy zut oka mogłoby się wydawać.

5 Pzy spawdzaniu ozwiązań stosowano następujące kyteia: ) odpowiedź na punkt ) odpowiedź na punkt 3) okeślenie kieunku siły oentza 4) zastosowanie pawa zachowania enegii 5) sfomułowanie bilansu momentu pędu 6) obliczenia (ułożenie ównań) 7) wyznaczenie końcowej pędkości kątowej 8) wyznaczenie R 9) stwiedzenie, co będzie się działo po zatzymaniu ciała w odległości R azem Część ozwiązań odbiegała od podanego wyżej; niektózy zawodnicy stosowali ównania uchu zamiast kozystać z zasady zachowania enegii i bilansu momentu pędu. Oczywiście, o ile nie było błędów, to niezależnie od stosowanej metody zawsze było można osiągnąć pełną, tj. maksymalna liczbę punktów. Podstawowymi błędami były: - niezauważanie, że siła oentza ma składową postopadła do pęta - zakładanie, że moment pędu jest zachowany. Histogam wyników pzedstawiono na yc Ryc. 6 Histogam wyników uzyskanych w zadaniu

6 Źódło: Zadanie pochodzi z czasopisma Fizyka w Szkole Komitet Okegowy Olimpiady Fizycznej w Szczecinie