KINEMATYKA. Pojęcia podstawowe

Transkrypt

1 KINEMTYK Pojęcia podstawowe Kinematka jest diałem mechaniki ajmującm się badaniem uchu ciał be uwględniania pcn wwołującch ten uch. Jej celem jest opis tego uchu. Ruchem nawam mianę położenia ciała w odniesieniu do innch ciał wanch ciałami odniesienia. Mówiąc o uchu ciała musim awse pamiętać o ciele odniesienia (układie odniesienia nim wiąanm). Pkładowo: samochód Ziemia, Ziemia Słońce, Słońce (układ słonecn) gwiad stałe. Dla óżnch ciał odniesienia inn jest uch. Mówiąc o spocnku ciała mam na mśli spocnek wględem okeślonego ciała odniesienia. Z punktu widenia kinematki a układ odniesienia możem pjąć każde ciało lub układ ciał. W agadnieniach technicnch układem odniesienia jest peważnie Ziemia, taktowana jako układ nieuchom.

2 KINEMTYK punktu (mateialnego) bł stwnej (,, ) Ruch płaski Ruch pestenn obotow postępow dowoln pegub ' ' kulist ' ' postępow dowoln Podiał kinematki e wględów ddaktcnch ' ' ' '

3 Kinematka punktu Pe punkt będiem oumieli ciało, któego uch możem w upełności opisać uchem jednego, dowolnie wbanego punktu tego ciała. a) punkt (uch punktów są ówne) b) nie możem taktować jako punktu mateialnego (uch punktów są óżne) Pkład ciał modelowanch a pomocą: a) punktu, b) bł Położenie punktu w tójwmiaowej pesteni Euklidesa (E 3 ) opisujem a pomocą: 1) wektoa wodącego, 2) współędnch postokątnch, 3) współędnch natualnch, 4) współędnch biegunowch, 5) innch współędnch (np. walcowch).

4 Toem punktu nawam linię, będącą miejscem geometcnm chwilowch położeń pousającego się w pesteni punktu. Położeniem pocątkowm punktu nawam to miejsce na toe, w któm oważan punkt najduje się w chwili t = t 0, gdie t 0 jest chwilą pocątkową. Pędkością punktu jest wielkość, będąca miaą mian jego położenia w jednostce casu. Pspieseniem punktu jest wielkość, będąca miaą mian jego pędkości w jednostce casu. W kinematce bada się ależności pomięd współędnmi punktu, mieniającmi się w casie, a jego pędkością i pspieseniem.

5

6 pis uchu a pomocą wektoa wodącego Wektoem wodącm jest wekto o pocątku w punkcie odniesienia, a końcu w miejscu, gdie w danej chwili najduje się oważan punkt. Roważm tea punkt, któego położenie opisuje wekto wodąc o składowch: gdie t jest casem. = ( t ), = ( t), ( t) =, (3.1) pis uchu punktu a pomocą wektoa wodącego Równania (3.1) nawam ównaniami uchu (RR). Są one jednoceśnie paametcnmi ównaniami tou (PRT). Wstac ównań uchu wugować paamet, któm jest cas t, ab otmać ównanie tou. Położenie. Jeżeli pocątek wektoa wodącego, opisującego położenie punktu, pjmiem w pocątku układu odniesienia, wówcas jego współędne są ówne: = ( t ), Położenie punktu we współędnch wektoowch = ( t), (3.2) = ( t), a wekto wodąc możem apisać = ( t) i + ( t) j + ( t) k. (3.3)

7 Pędkość. Roważm tea dwa położenia punktu, jedno w chwili t i dugie w chwili t +. (t) ( t ) (t+) (t+) s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t, t, t = (t+) = ( (t+), (t+), (t+)) Pędkość śednią punktu wnacam ależności ś =. (3.4) Wekto ś ma kieunek i wot godn wektoem Pędkość punktu we współędnch wektoowch, a jego watość ależ od pjętego pediału casu t. b wnacć pędkość chwilową (ścisłą), dla danej chwili casu t, należ oblicć ganicę (3.4), p 0 d = lim = = &. (3.5) 0 dt Wekto pędkości jest awse stcn do tou, w punkcie, w któm najduje się oważan punkt. Podstawiając (3.3) do (3.5) otmujem wiąek pomięd położeniem a pędkością punktu = & = i + j + k, (3.5) gdie składowe wektoa są ówne: = &, = &, = &. (3.7) Składowe wektoa są pędkościami punktu w kieunku osi,, Watość wektoa licm e wou = + +. (3.8) i k Wekto pędkości punktu j to

8 Pspiesenie. Podobnie jak pędkość śednią, możem oblicć śednie pspiesenie punktu, któe jest mianą wektoa pędkości w jednostce casu. blicam je ależności a ś ( t + ) ( t) = =. (3.9) Zaówno watość jak i pośednio kieunek wektoa a ś ależ od pjętego pediału casu t. b oblicć pspiesenie chwilowe (ścisłe) dla casu t pechodim pspieseniem śednim (3.9) do ganic, p 0 d a = lim = = = = 0 dt Podstawiając (3.3) do (3.10) otmujem & &&. (3.10) a = & = a i + a j + a k, (3.11) gdie składowe wektoa a licm e woów a = & = &&, a = & = &&, a = = natomiast watość wektoa pspiesenia a a a a & &&, (3.12) = + +. (3.13) Należ podkeślić, że wekto pspiesenia na ogół nie jest stcn do tou.