23. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA

Transkrypt

1 . CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Płat powiechniow o ównaniach paametcnch: ( ) ( ) ( ) () gdie oba jet obaem eglanm nawam płatem gładkim (płatem eglanm) gd w każdm pnkcie tego płata itnieje płacna tcna do płata mieniająca ię w poób ciągł wa e mianą pnkt tcności. Płat dan ównaniami paametcnmi możem apiać w natępjącej potaci wektoowej: ( ) [ ( ) ( ) ( )] () Niech f() będie fnkcją okeśloną i ciągłą na płacie gładkim okeślonm ównaniami paametcnmi jak wżej. Powiechnię dielim na n dowolnch cęści k o polach i w każdej nich wbieam dowoln pnkt A ) k k... n. Roważm ciąg m całkowch fnkcji f() k( k k n n f k ( k k k ) k.

2 dla któego lim d gdie d n jet makmalną śednicą n n obaów... n. Jeżeli itnieje ganica lim n f n k ( k k k ) k nieależna od dokonanego podiał i od wbo pnktów A k to nawam ją całką powiechniową nieoientowaną fnkcji f() na powiechni i onacam df f ( ) d tn. f ( ) d lim ( k k k ) k n f n k P pjętch ałożeniach można wkaać że f ( ) d f [ ( ) ( ) ( ) ] dd gdie [ ] [ ] dłgość wektoa. a onaca W cególności gd powiechnia dana jet w potaci jawnej: g() () to powż wó pjmie potać: [ g( ) ] ( g ) ( g ) dd f ( ) d f..

3 Pkład Oblicć całkę powiechniową nieoientowaną ( ) d gdie powiechnia jet cęścią tożka dla i >. Rowiąanie Z ównania mam gdie mienne i należą do koła o ównani. Wkotam wó [ g( ) ] ( g ) ( g ) dd f ( ) d f Ponieważ ównanie powiechni jet w potaci jawnej więc i oa. tąd ( ) d ( ) dd Pechodąc do wpółędnch biegnowch co ϕ in ϕ gdie ϕ π mam π ( ) dd ϕ π d d π.

4 . Pkład Oblicć całkę powiechniową nieoientowaną d gdie jet cęścią płacn najdjącą ię w piewm oktancie. Rowiąanie Powiechnia ma ównanie kąd aś dla i mam oganicenia. tąd. Wkotam wó [ ] ( ) ( ) dd g g g f d f ) ( ) ( Otmjem ( ) dd d d d d Pkład Oblicć całkę powiechniową nieoientowaną d R gdie jet powiechnią półkli R.

5 .. Intepetacja geometcna całki powiechniowej nieoientowanej Całka d pedtawia pole płata. Pkład Oblicć pole powiechni jaką e fe 5 wcina walec. Rowiąanie Możem oważć pole połow tej powiechni dla > bowiem powiechnia jet metcna wględem płacn OXY. Góna cęść powiechni dana jet ównaniem jawnm 5 gdie mienne i należą do koła o ównani. Wted i 5 5 oa Zatem.5

6 d 5 dd. 5 Pechodąc do wpółędnch biegnowch co ϕ in ϕ gdie ϕ π mam [ ] 5 ( 5 5) dϕ 5 d 5π π 5 π... Intepetacja ficna całki powiechniowej nieoientowanej Jeżeli fnkcja ρ() jet gętością powiechniową ma płata to. Maę płata pedtawia całka m ρ ( ) d.. Moment tatcne oa bewładności płata wględem odpowiednich oi i płacn kład pedtawione ą w tabeli: Moment wględem tatcne płata Bewładności płata płacn OXY M ( ) d ρ B ρ( ) d.6

7 płacn OXZ płacn OYZ M ( ) d oi OX oi OY ρ M ( ) d ρ M ρ( ) d M ρ( ) d oi OZ pnkt () M ρ( ) d B ρ( ) d V B ρ( ) ddd ( ) ( ) ( ) M ρ( ) d B ρ( ) d B ρ( ) d B ρ( ) d ( ) B ρ( ) d. Wpółędne śodka ciężkości dane ą woami: M m M m M m. Jeżeli fnkcja δ ( ) jet gętością powiechniową ładnk ołożonego na płacie to całka W δ ( ) d pedtawia całkowit ładnek elektcn ołożon na płacie. Pkład Oblicć moment tatcn wględem pnkt ( ) jednoodnej półfe R dla >. Rowiąanie.7

8 Oblicam całkę M ρ d gdie ρ cont. onaca gętość powiechniową fe. Równania paametcne fe można apiać w potaci: Rco co Rin co p cm π π :. Rin Ab wnacć M ρ d e wo f ( ) d f [ ( ) ( ) ( ) ] dd oblicam [ ] [ ] : i tąd R R [ in co Rco co ] [ Rco in Rin in Rco ] R i j k in co co co co in in in co [ co co in co in co ] R co.. Ponieważ R atem.8

9 M π π π ρ R co dd ρr d co d πρr [ in ] πρ R... Zadania.. Oblicć całkę powiechniową: a) d b) d c) d ( ) gd jet tójkątem wciętm płacn pe płacn kład... Oblicć całkę powiechniową: a) ( ) 6 d gd jet cęścią płacn 6 dla > > > b) ( R ) R dla < < c) d gd jet powiechnią bocną walca d gd jet powiechnią walca hipebolicnego leżącą nad kwadatem < < < < d) d gd jet powiechnią bocną tożka dla < <..9

10 .. Oblicć pole powiechni wciętej walcem R powiechni: a) b) c) d) R dla >... Oblicć pole powiechni: a) walca R wciętej płacnami i b) danej ównaniami paametcnmi coϕ inϕ ϕ π ϕ c) danej ównaniami paametcnmi ( b acoϕ) co θ ( b acoϕ) inθ ainϕ ϕ π θ π a b tałe..5. Oblicć maę powiechni walca R dla < < H któej gętość powiechniowa w każdm pnkcie jet odwotnie popocjonalna do kwadat odległości tego pnkt od pocątk kład wpółędnch..6. la jednoodnej półfe R > oblicć: a) maę b) śodek ciężkości c) moment bewładności wględem oi OZ..