Ruch obrotowy. Wykład 6. Wrocław University of Technology

Transkrypt

1 Wykład 6 Wocław Univesity of Technology

2 Oboty - definicje Ciało sztywne to ciało któe obaca się w taki sposób, że wszystkie jego części są związane ze sobą dzięki czemu kształt ciała nie ulega zmianie. Każdy punkt tego ciała pousza się po okęgu, któego śodek leży na osi obotu i każdy punkt zakeśla w ustalonym czasie taki sam kąt. W uchu postępowym każdy punkt ciała pousza się po linii postej i doznaje w ustalonym czasie takiego samego pzemieszczenia liniowego. Kieunek obotu

3 Położenie kątowe Położeniem kątowym nazywamy kąt, jaki twozy linia zakeślająca położenie ciała na okęgu z pewnym stałym kieunkiem, wybanym za kieunek o zeowym położeniu kątowym. s, s ad : s ad : s s, s 3

4 Położenie kątowe Kąt jest tu miezony w adianach (ad). Radian jest ówny stosunkowi dwóch wielkości o wymiaze długości, jest zatem liczbą bezwymiaową. Obwód okęgu o pomieniu jest ówny π więc kąt pełny ma π adianów: pełny obót = 360 ad ad = pełnego obotu Kąt θ nie pzybiea znów watości zeo po każdym pełnym obocie linii odniesienia wokół osi obotu. Mówimy, że po dwóch pełnych obotach linii odniesienia, od zeowego położenia kątowego, położenie kątowe θ jest ówne θ = 4π ad. 4

5 Pzemieszczenie kątowe Pzesunięcie kątowe jest dodatnie, jeśli obót zachodzi w kieunku pzeciwnym do kieunku uchu wskazówek zegaa, a jest ujemne, jeśli obót zachodzi w kieunku zgodnym z kieunkiem uchu wskazówek zegaa. 5

6 Pędkość i pzyspieszenie kątowe Śednia pędkość kątowa ś t t t Śednie pzyspieszenie kątowe ś t t t Chwilowa pędkość kątowa chw lim t0 t d dt Chwilowe pzyspieszenie kątowe chw lim t0 d t dt chw chw 6

7 Pędkość i pzyspieszenie kątowe Czy są to wielkości wektoowe? REGUŁA PRAWEJ DŁONI 7

8 8 Równania uchu Ruch obotowy RUCH POSTĘPOWY RUCH OBROTOWY at v v at t v x x 0 0 x x a v v t t t 0 0

9 Związek zmiennych liniowych z kątowymi Położenie s (miaa łukowa) Pędkość ds dt d dt d dt 0 d dt v Wekto pędkości liniowej jest zawsze styczny do tou cząstki. Okes obotu T, odnoszący się zaówno do uchu każdego punktu ciała, jak i do ciała sztywnego jako całości, jest dany wzoem: T v 9

10 Związek zmiennych liniowych z kątowymi Pzyspieszenie dv dt d dt Wielkość dv/dt, stanowi tylko cześć pzyspieszenia liniowego - tę część, któa jest związana ze zmianą watości bezwzględnej v wektoa pędkości liniowej v. Ta część (składowa) pzyspieszenia liniowego jest - podobnie jak v - styczna do tou ozważanego punktu. Będziemy ją nazywać składową styczną pzyspieszenia liniowego a st punktu. a st a st Duga składowa pzyspieszenia liniowego powoduje zmianę kieunku wektoa pędkości liniowej v i nazywa się składowo adialną pzyspieszenia liniowego: a ad v 0

11 Enegia kinetyczna w uchu obotowym Ruch obotowy Enegia kinetyczna obacającego się ciała: n i i i k v m m v m v m v E v i nie jest takie samo dla wszystkich cząstek. I m m E n i i i n i i i k gdzie ω jest jednakowe dla wszystkich cząstek. Wyażenie w nawiasie infomuje, jak ozłożona jest masa obacającego się ciała wokół osi jego obotu. Wielkość tę nazywamy momentem bezwładności ciała względem danej osi obotu i oznaczamy ją symbolem I. Jest to wielkość stała dla danego ciała sztywnego i okeślonej osi obotu.

12 Enegia kinetyczna w uchu obotowym Masa bliżej osi Mały moment bezwładności Łatwo ozkęcić Masa dalej od osi Duży moment bezwładności Tudno ozkęcić

13 Moment bezwładności Moment bezwładności I n i m i i Jednostką momentu bezwładności I w układzie SI, jest kilogam azy met do kwadatu (kg m ). Jeśli ciało sztywne składa się z wielu blisko siebie położonych cząstek (czyli jest ciałem ozciągłym) wtedy: Twiedzenie Steinea I dm Jeśli znamy moment bezwładności I ŚM tego ciała względem osi ównoległej do danej osi i pzechodzącej pzez śodek masy ciała. Moment bezwładności względem osi danej jest ówny: I I ŚM mh 3

14 Moment bezwładności Jednoodny pęt, oś do długości Cienki jednoodny pęt o masie M i długości L. Wybieamy element masy o długości dx w odległości x od osi obotu O. Stosunek dm do całej masy M jest ówny stosunkowi długości dx do całej długości L: dm M dx L dm M L dx x dm M L Lh h x dx M L x 3 3 Lh h 3 M ( L 3Lh 3h ) Pzesuwając położenie osi O można obliczyć moment bezwładności pęta względem dowolnej osi. 4

15 Moment bezwładności Pieścień Jednoodny cylinde o długości L, pomieniu wewnętznym R, i zewnętznym R. Oś obotu jest osią symetii. Wybieamy cieńkie cylindy o pomieniu, gubości d, i długości L. Objętość takiego elementu: dm dv ( Ld) dm L R R (Ld) ( R R )( R R L ) I R R 3 L d 4 M ( R R ) V ( R 4 R 4 ) L( R R ) 5

16 Moment bezwładności Momenty bezwładności był sztywnych PRĘT PŁYTA PROSTOKĄTNA PIERŚCIEŃ WALEC OBRĘCZ KULA SFERA 6

17 Moment siły Zdolność siły F do wpawiania ciała w uch obotowy zależy nie tylko od watości jej składowej stycznej F st, lecz także od tego, jak daleko od punktu O jest ona pzyłożona. Aby uwzględnić obydwa te czynniki, definiuje się wielkość M zwaną momentem siły, jako iloczyn: M F sin Moment siły można ozumieć jako miaę zdolności siły F do skęcania ciała. Jednostką momentu siły w układzie SI jest niuton azy met (N m). Uwaga: niuton azy met jest ównież jednostką pacy; moment siły i paca są to jednak zupełnie óżne wielkości, któych nie wolno ze sobą mylić - pacę wyaża się często w dżulach ( J = N m), czego nigdy nie obi się w odniesieniu do momentu siły. 7

18 II zasada dynamiki Newtona dla uchu obotowego Moment siły może spowodować obót ciała sztywnego. M wyp I Dowód: Na cząstkę działa siła F. Cząstka może pouszać się jedynie po okęgu, dlatego też jej pzyspieszenie wzdłuż tou pochodzi tylko od składowej stycznej F st, siły (tzn. składowej, któa jest styczna do tou cząstki). st a st Moment siły działającej na cząstkę jest dany wzoem F m M F st ma st m m I 8

19 Paca i enegia kinetyczna uchu obotowego Związek zmiany enegii kinetycznej ΔE k ciała z pacą W, wykonaną nad układem jest dany pzez E k E kk E kp Ik I p W Gdy uch zachodzi jedynie wzdłuż osi x, paca definiuje się: W k p Md Szybkość, z jaką jest wykonywana paca jest to moc: P dw dt M 9

20 Poównanie RUCH POSTĘPOWY RUCH OBROTOWY położenie pędkość pzyspieszenie masa II zasada dynamiki paca enegia kinetyczna moc związek pacy z enegią x v x dx dt a x dvx dt m F wyp ma W Fdx mv E k P F v W E k położenie kątowe pędkość kątowa pzyspieszenie kątowe moment bezwładności II zasada dynamiki paca enegia kinetyczna moc związek pacy z enegią d dt d dt I M wyp I W Md I E k P M W E 0 k

21 Toczenie się ciał s R v ŚM R Chwilowa Oś obotu P Ruch obotowy + Ruch postępowy = Toczenie

22 Enegia kinetyczna uchu obotowego Jeśli potaktujemy uch kola jako uch wyłącznie obotowy wokół osi pzechodzącej pzez punkt P, wtedy otzymamy: E k I P pzy czym ω jest pędkością kątową koła, a I P momentem bezwładności koła względem osi, pzechodzącej pzez punkt P. Z twiedzenia Steinea, czyli ównania I = I ŚM + mh dostajemy: I P I ŚM mr gdzie m jest masą koła, I ŚM jego momentem bezwładności względem osi pzechodzącej pzez śodek masy koła, a R (pomień koła) jest odległością tych dwóch osi obotu (h). E k I ŚM mr I ŚM mv ŚM

23 Toczenie się ciał po ówni pochyłej f mgsin s ma ŚM Rf s I ŚM Ciało toczy się bez poślizgu, więc możemy skozystać z ównania: stąd f ostatecznie a ŚM s a ŚM R I ŚM R a ŚM g sin I ŚM mr 3

24 Moment pędu pzeniesiona do O L( ) p psin II zasada dynamiki Newtona dl dt M 4

25 Zachowanie momentu pędu Jeśli na układ nie działa żaden wypadkowy moment siły, to ównanie pzybiea postać dl/dt = 0, co oznacza, że: L const. Całkowity moment pędu w pewnej chwili początkowej t pocz = L pocz L kon Całkowity moment pędu w pewnej chwili końcowej t kon Jeśli działający na układ wypadkowy moment siły jest ówny zeu, to całkowity moment pędu L układu nie zmienia się niezależnie od tego, jakim zmianom podlega układ. 5

26 Moment pędu oboty" L I Śuby" 6