DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ. POLE GRAWITACYJNE. wewnętrznych i zewnętrznych (

Transkrypt

1 DYNAMIKA BYŁY STYWNJ POL GAWITACYJN Defncja były stywnej Δ Była stywna to bó neskońcene ałych unktów atealnych Odlełość ędy dwoa dowolny d j unkta d j ne ulea ane od wływe dałana sł Δ j wewnętnych ewnętnych ( d j = const ) j uch były stywnej ożna łożyć uchu ostęoweo obotoweo uch ostęowy Stwedlśy już że dla dowolnej lcby cąstek ważne jest ównane (413) d F dt = W (51) Pęd całkowty były edstawy w ostac: d d = Δ v = Δ = Δ dt dt (5) Defnując śodek asy Δ Δ 1 = = = Δ ( s) ( s) d Δx Δy Δ ( s) ( s) ( s) x = y = = de = Δ onaca asę były stywnej otyay Δ = ( s ) 1

2 ównane (5) ożna wtedy asać jako a ównane (51) d = dt ( s) ( ) d d s d ( ) = = a dt dt dt ( s) ( ) ( s) a ( s) = F W (53) Fouła (53) osuje uch ostęowy były stywnej Śodek asy cała ousa sę tak jakby ousał sę unkt atealny o ase były od wływe yłożonej do neo W wyadkowej sł ewnętnych F Jeśl była wykonuje tylko uch ostęowy to ównane to okeśla także ysesene każdeo jej unktu uch obotowy były wokół neuchoej os Do osu uchu obotoweo były O ω = ω e Δ L astosujey onane już ównane (41 ): dl M dt = W Oblcyy oent ędu (54) ΔL -teo Δ eleentu były Δ :

3 Δ L =Δ v =Δ =Δ = ( ω ) ( ω ( ω )) ( ω ( )( ω )) =Δ + ω = ω( + ) = ω = ω ( + )( ω) = ω + ω = ω + ω Δ L = Δ ω ω + ω = Δ ω+δω ( ) L= Δ L = Δ ω + Δ ω (55) ównane (55) stanow że suaycny oent ędu były stywnej a składową ównolełą do os obotu ( na ysunku os ) oa składową ostoadłą do os obotu Składową wdłuż os obotu onacyy e L : L = Δ ω = I ω de I Δ to oent bewładnośc były wlęde os obotu Jeżel weźey od uwaę składową etową ównana (54) to uyskay: dl W = M dt dl d dω = ( I ω) = I = I ε dt dt dt W I ε = M (56) ównane owyżse osujące uch obotowy były stywnej wokół stałej os jest analocne do ównana a = F W dla uchu ostęoweo olę asy odywa oent bewładnośc ysesena lnoweo ysesene kątowe a wyadkowy oent sł ewnętnych sełna funkcję wyadkowej sły Dla był syetycnych obacających sę wokół os syet euje sę wya Δ achod: 3

4 W L = Iω oa Iε= M (57) de I jest oente bewładnośc wlęde os syet Moent bewładnośc d S W odóżnenu od asy ( skala ) oent bewładnośc były ależy od wybou os wlęde któej jest wynacany ( tenso ) Dla ykładu wynacyy oent bewładnośc cenkeo jednoodneo ęta o ase M dłuośc L wlęde os ostoadłej do ęta echodącej e jeo konec Onacy e ρ ęstość ęta a oneważ ρ = d / dv d = ρdv oa dv = Sd to otyay L ρ ρ V 0 = I = Δ d = dv = S d 1 3 L ρs 0 = ρsl = ( ρsl) L = ML Podobne oblcena owadą do wynacena oentów bewładnośc dla był w konfuacjach okaanych nżej M I = 1 M M I = 5 M 4

5 Twedene Stenea Py oblcanu oentów bewładnośc ydatne jest twedene Stenea: Moent bewładnośc I wlęde dowolnej os ówny jest sue oentu bewładnośc ( S ) I wlęde os ównolełej do danej echodącej e śodek asy były oa S locynu asy były kwadatu odlełośc ędy osa d d S S d Δ d+ = S I I d ( ) = S + (58) oneważ ( ( ) ) S ( S ) ( S ) I = Δ = Δ d = Δ Δ d + Δ d = = I + d ( S ) nea knetycna były stywnej obacającej sę wokół stałej os = Δ v = Δ ω = Iω (59) k Paca eleentana oentu sł ewnętnych Pokaalśy już że eleentana aca dw ówna jest yostow d ene knetycnej Dla były stywnej otyay k 5

6 1 ω ω ω ωε ωε α α W W dw = dk = d I = I d = I dt = I ωdt = Mω d = M d (510) POL GAWITACYJN Pawo owsechneo cążena ostało sfoułowane e Newtona w 1687 oku e F F Dwa unkty atealne ycąają sę wajene słą oocjonalną do locynu ch as 1 odwotne oocjonalną do kwadatu ch wajenej odlełośc : F G = e 1 1 (511) de wsółcynnk oocjonalnośc 11 N G = Stała awtacj G wyaża słę k jaką ycąają sę dwa unkty atealne o ase 1 k każdy uescone w odlełośc 1 od sebe Stałą unwesalną G o a ewsy wynacył Cavendsh w 1798 oku Pawo Newtona w ostac (51) stosuje sę też do cał łożonych jednoodnych wastw kulstych W yadku cał o badej łożonych kstałtach awo awtacj asujey w ostac óżnckowej d F Gd d 1 = e (51) d 1 e df d 1 Całkowtą słę oddaływana awtacyjneo uyskay e całkowane ównana (5) 6

7 Natężene otencjał ola awtacyjneo Pole awtacyjne cyl obsa de wystęuje oddaływane awtacyjne ożna osać a oocą: wektoa natężena ola awtacyjneo otencjału ola awtacyjneo V Defncja natężena ola : F (513) jest to stosunek sły awtacyjnej dałającej na asę óbną (sondę) e stony asy będącej źódłe ola do asy óbnej Pole nayway jednoodny jeśl unkce ola = const w każdy Defncja otencjału ola awtacyjneo: V = (514) jest to stosunek ene otencjalnej któą a asa óbna w dany unkce ola do asy óbnej Boąc od uwaę ależność onaną na oedn wykłade () = (1) W (515) 1 oa defncję otencjału któej wynka ależność = V otyać ożna ydatny wó na acę sły awtacj ędy dwoa unkta ola ( ) W1 = V (1) V () (516) Pojęca natężena otencjału ola będą óźnej ydatne y oawanu ola elektycneo 7

8 Pykład: Natężene otencjał ola w yadku as unktowych (kulstych) Dla teo sceólneo ale ważneo yadku olcyy natężene otencjał stosując odelowy układ edstawony na ysunku M e F F GM = = e (517) Jeżel M = M jest asą e a asą cała w oblżu owechn e to wou (517) wynka że N e e 10 e k GM k = = s 6 ( ) cyl = de to wekto ysesena eskeo a wó na słę awtacj na odstawe (53) yjuje ostać: F = = (518) Aby wynacyć otencjał należy oblcyć eneę otencjalną asy óbnej defncj ene otencjalnej otyay GM GM d = Fds = e ds = d cyl d GM GM = = + d C Oólne yjuje sę że jeśl sonda jest bado daleko od źódła ola to = 0 cyl 8

9 0= GM + C C = 0 uyskay wó GM = (519) Potencjał awtacyjny wya sę węc woe V GM = (50) a aca enesena e słę awtacj cała o ase unktu najdująceo sę w odlełośc od źódła ola M do unktu w odlełośc yje ostać 1 W 1 GM GM = + 1 (51) Wyażene na eneę otencjalną w ostac wou (59) ybea ostą ostać w oblżu owechn e Jeżel yjąć że asa najduje sę w odlełośc = + h h od śodka e to GM GM 1 = + C = + C ( + h) h (1 + ) wykoystując ależnośc GM 1 h h h = = h 9

10 h uyskay = (1 ) + C Jeśl dalej yjąć że ( h = 0) = 0 to ożna wynacyć C 0 0 = (1 ) + C C = stąd uyskay = h (5) Pędkośc koscne: ewsa dua Pewsa ędkość koscna v I to ędkość któą osadałby satelta kążący o obce o oenu ówny oenow e Sła awtacj stanowłaby dla teo satelty słę dośodkową co owad do ależnośc vi = stąd v I k = 8 (53) s Dua ędkość koscna v II to najnejsa ędkość cała otebna aby oło ono oddalć sę do neskońconośc asady achowana ene otyay 1 GM + = + v = + k( ) ( ) k( ) ( ) II 0 0 skąd GM GM k v = = = = v II 113 I s 10