Postać Jordana macierzy

Transkrypt

1 Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci J r () = , gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja 8.1. Macier blokową J F n n postaci J n1 ( 1 ) J n2 ( 2 ) J =..., J ( nk k) gdie n n k = n, 1,..., k F ora wsstkie niewpisane element macier J są erami, nawam macierą Jordana. Skalar 1,..., k tworące prekątną macier J są jej wartościami własnmi. Zauważm również, że każda macier diagonalna jest macierą Jordana; wmiar każdej klatki Jordana J ni tworącej prekątną tej macier jest równ jeden, tj. J ni = [ i. Onaca to, że każda macier diagonaliowalna jest podobna do pewnej macier Jordana. Prawdiwe jest również dużo ogólniejse 5

2 8.1. Macier Jordana Twierdenie 8.1. Niech A C n n będie dowolną macierą. Istnieje wówcas macier nieosobliwa P C n n taka że J n1 ( 1 ) P 1 J n2 ( 2 ) AP = J =... (8.1) J ( nk k) ora n n k = n. Macier Jordana J macier A jest wnacona w sposób jednonacn dokładnością do kolejności klatek Jordana, które tworą prekątną macier J. Ponadto, jeżeli macier A R n n ma tlko recwiste wartości własne to macier P, ustalająca podobieństwo A ora J, również może bć wbrana jako macier o elementach recwistch. Prkład 8.1. Niech A ε = [ ε 1 dla ε. Ponieważ σ (A ε ) = {, ε} atem macier A ε jest diagonaliowalna. Łatwo wkaać, że [ [ [ 1 ε ε A ε = = S 1 1 ε 1 1 ε J ε Sε 1. Onaca to, że macier J ε = [ ε jest macierą Jordana macier A ε, dla dowolnego ε. Jednak, jeżeli ε to J ε [ 2 2, podcas gd macierą Jordana macier A jest macier J = [ 1 Uwaga 8.1. Macier Jordana J wnacona dla macier A nie musi bć funkcją ciągłą elementów macier A. Onaca to trudności konstrukcją numercnie akceptowalnego algortmu wnacania, dla adanej macier A, odpowiadającą jej macier Jordana Własności macier Jordana Niech A F n n będie dowolną macierą, a J F n n jej macierą Jordana. Własność 1 Licba k klatek Jordana tworącch macier J jest równa licbie liniowo nieależnch wektorów własnch macier A. Własność 2 Licba klatek Jordana odpowiadającch wartości własnej jest równa licbie odpowiadającch jej liniowo nieależnch wektorów własnch. Suma stopni wsstkich tch klatek równa jest krotności wartości własnej jako pierwiastka wielomianu charakterstcnego macier A.,. 51

3 8.1. Macier Jordana Własność 3 Licba N (m, ) klatek Jordana stopnia m 1 odpowiadającch wartości własnej jest równa: gdie r k () = rank (A I) k. N (m, ) = r m 1 () 2r m () + r m+1 (), (8.2) Prkład 8.2. Roważm macier A R 3 3 postaci 2 1 A = 2. Ponieważ ϕ A () = det (A I) = ( 1) ( 2) 2 atem macier ma dwie wartości własne: 1 = 1, 2 = 2. Wnacm wektor własne odpowiadające tm wartościom własnm. Mam dla 1 = 1 : skąd otrmujem (,, ) = (,, t), t R\ {} ; np. v 1 = [,, 1 T ; dla 2 = 2 : 1, skąd otrmujem (,, ) = (t,, t), t R\ {} ; np. v 2 = [1,, 1 T. Dla macier A udało się więc wbrać tlko dwa liniowo nieależne wektor własne. Onaca to, na podstawie własności 1, że macier Jordana macier A składa się dwóch klatek Jordana. Na podstawie własności 2, wartości własnej 1 = 1 odpowiada jedna klatka Jordana stopnia 1, wartości własnej 2 = 2 musi więc odpowiadać jedna klatka Jordana stopnia 2. Macier Jordana macier A ma więc postać J = Do tego samego wniosku dojdiem opierając się na własności 3 (ćwicenie). Pewną niedogodnością faktoracji (tj. rokładu) Jordana A = P JP 1 jest to, że w prpadku macier recwistej posiadającej nierecwiste wartości własne jej macier Jordana jest macierą nierecwistą. W wielu agadnieniach praktcnch, onaca to koniecność posukiwania innego rokładu macier, nie tak prostego jak rokład Jordana, ale prowadącego do macier recwistch. Otwartm poostaje również ptanie o sposób konstrukcji macier P ustalającej podobieństwo pomięd macierami A ora jej mecierą Jordana J.., 52

4 8.2. Wektor główne 8.2. Wektor główne Na potreb tego podrodiału, wektor własn v (1) F n macier A odpowiadając wartości własnej nawać będiem wektorem głównm rędu 1. Wektor główne rędu k 2 definiujem indukcjnie. Definicja 8.2. Prpuśćm, że v (k 1) F n jest wektorem głównm rędu k 1 odpowiadającm wartości własnej. Jeżeli istnieje nieerow wektor v (k) F n będąc rowiąaniem równania (A I) v (k) = v (k 1), (8.3) to wektor ten nawam wektorem głównm rędu k odpowiadającm wartości własnej Własności wektorów głównch Wmienione poniżej własności wektorów głównch umożliwią wnacanie macier Jordana J adanej macier A ora macier P ustalającej podopodobieństwo międ nimi. Dla każdej wartości własnej istnieją wektor główne rędu co najmniej 1. Wektor główne odpowiadające różnm wartościom własnm są liniowo nieależne. Wektor główne różnch rędów odpowiadające tej samej wartości własnej są liniowo nieależne. Dla wartości własnej o krotności r (krotności jako pierwiastka wielomianu charakterstcnego) istnieje dokładnie r liniowo nieależnch wektorów głównch; wśród nich są wsstkie liniowo nieależne wektor własne odpowiadające wartości własnej. Liniowo nieależne wektor główne macier A, traktowane jako kolumn pewnej macier nieosobliwej, możem ustawić w takiej kolejności, ab utworł macier P ustalającej podobieństwo pomięd macierami A ora jej macierą Jordana J, tj. P 1 AP = J. Prkład 8.3. Roważm ponownie macier A R 3 3 prkładu, tj. 2 1 A = 2. (8.4) Macier A ma dwie różne wartości własne: 1 = 1 ora 2 = 2. Wnacm dla tch wartości własnch wektor główne. Dla 1 = 1, rowiąując równanie

5 8.2. Wektor główne otrmujem: = =, R; wektor główn ręd 1 ma więc postać v (1) 1 = (,, t), t R\ {}. Ab wnacć wektor główne rędu 2 roważm, dla ustalonego t, równanie Łatwo stwierdić, że równanie to nie posiada rowiąań. Onaca to, że dla wartości własnej 1 = 1 nie istnieją wektor główne rędu k 2. Dla 2 = 2, rowiąując równanie otrmujem: =, = ; wektor główn ręd 1 ma więc postać v (1) 2 = (t,, t), t R\ {}. Ab wnacć wektor główne rędu 2, roważm, dla ustalonego t, równanie Jego rowiąaniem jest =, = t; wektor główn rędu 2 ma więc postać v (2) 2 = (r, t, r), r R. Zauważm, że postać wektora v (2) 2 ależ od sposobu wboru wektora v (1) 2. Ab wnacć wektor główne rędu 3, roważm, dla ustalonch t R\ {}, r R, równanie 1 r t r Łatwo stwierdić, że równanie to nie posiada rowiąań, a tm samm nie istnieją dla wartości własnej 2 = 2 wektor główne rędu k 3. Podsumowując, dla macier A postaci (8.4) udało się wnacć tr liniowo nieależne wektor główne: jeden odpowiadając wartości własnej 1 ora dwa odpowiadające wartości własnej 2. Prjmując na prkład t = r = 1, otrmujem v (1) 1 = (,, 1), v (1) 2 = (1,, 1), v (2) 3 = (1, 1, 1). Zauważm, że dla macier P R 3 3, której kolumnami są wektor v (1) 1, v (1) 2, v (2) 2, tj. P = [ v (1) 1, v (1) 2, v (2) 2 = t t t , 54

6 8.2. Wektor główne mam P 1 AP = = J. Macier P jest więc macierą ustalającą podobieństwo międ macierą A ora jej macierą Jordana. 55