m q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,

Transkrypt

1 OPIS RUCHU, DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Kzysztof Tymbe, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Konsutacje naukowe: pof. d hab. Jezy Rakowski Poznań 00/00.. Opis uchu OPIS RUCHU Rys.. m masa[ kg] pzemieszczenie w czasie Pzypuśćmy, że mamy układ jak na ysunku obok (ys..). Zgodnie z zasadą d Aembeta ównanie ównowagi można zapisać: gdzie:.. () t + () t = 0 m κ (.).. κ =, m () t + () t = 0 (.) d = dt N κ sztywność podpoy m. Rozwiązaniem jest funkcja () t = s sin t + c cost () t = Asin ( t + ϕ), pzy czym kąt ϕ-to kąt fazowy. Stałe A, ϕ wyznaczymy z dwóch waunków początkowych: np... i : 0 ) t = 0 () 0 = a. d dt 0 ) t = 0 () 0 = = 0 t= 0 Rys.. Z waunków tych otzymujemy: a = Asin π = ( 0 + ϕ) = Asinϕ Asin = a A a

2 d π = Acos( t + ϕ) 0 = A cos( 0 + ϕ) cosϕ = 0 ϕ = dt Zatem da waunków początkowych j.w otzymujemy pełne ozwiązanie postaci: π = (.) () t asin t + = a cost gdzie: a -ampituda dgań, to max. watość pzemieszczenia(wychyenia) w stosunku do położenia ównowagi, -to częstość kołowa dgań własnych (zakładamy bak czynników zabuzających, czyi nie występuje tłumienie) [ d s], jest cechą indywiduaną każdego ciała (Jest stała!) Uwaga! Nie ma związku między ampitudą a częstością kołową! Zgodnie z ozwiązaniem (wzó.) nasza kuka powóci do swego położenia po czasie odpowiadającym π. Podstawmy tą watość do naszego ozwiązania: π () t = a cos( t + π ) = cos t + = cos[ ( t + T )] gdzie T = π to okes dgań, czyi czas dzieący dwa identyczne stany ozpatywanego ciała (łatwiej można to sobie wyobazić patząc na ysunek.). Zadanie Wyznaczyć częstość kołową eementu. Powiedzmy, że mamy układ jak na ysunku (ys..) z jednym stopniem swobody. Zakładamy, że masa beki jest znikomo mała w stosunku do nałożonej masy (powstały w ten sposób błąd będzie badzo mały i nieistotny da daszych ozważań). Częstość kołowa wyażana jest wzoem: κ = (.4) m

3 Rys.. Sztywność beki wyznaczymy kozystając z pacy wituanej. W miejscu masy m pzykładamy taką siłę P, któa spowoduje jednostkowe ugięcie beki (ys..b) stąd iδ ówne będzie. Wykonujemy wykesy momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej (ys..c i d)otzymując: M M P δ = ds = P = EI EI EI Pzyównując otzymaną watość do jedynki: P EI EI = P = czyi κ = stąd szukana częstość kołowa wynosi: EI EI = (.5) m Zajmijmy się teaz beką swobodnie podpatą, któej masę spowadzimy do masy skupionej umieszczonej w śodku jej ozpiętości (ys..4). Sposób postępowania jest anaogiczny jak da beki z pzykładu piewszego. Wykonujemy wykesy momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej.

4 Rys..4 M M P δ = ds = EI EI 4 ponieważ : P = P = czyi wynosi: 4 κ = P = stąd szukana częstość kołowa pzy czym = (.6) m m = ρ A (A-poe pzekoju popzecznego beki)... Dgania własne, tłumione. Tłumienie dgań jest wynikiem działania sił opou oznaczanych jako R. Siły te działają w uchu zwanym Voigt. Zakładany w nim tłumienie ekkie (wiskotyczne) popocjonane do pędkości uch, co zapisujemy: R ~`c (

5 Na ysunku (ys..5) widzimy ciało o masie m dgające swobodnie (bez tłumienia) i podczas tłumienia dgań. a)dgania własne-układ o jednym stopniu swobody b)dgania własne tłumione Rys..5 Równanie uch z uwzgędnieniem tłumienia pzyjmuje postać: gdzie c -stała tłumienia pzy wpowadzeniu zmiennej m ( + c ( + κ ( = 0 (.7) ρ = c m ównanie pzechodzi do postaci: ( + ρ ( + ( = 0 (.8) ρ współczynnik tłumienia dgań. t Rozwiązaniem ównania uchu (wzó.8) będzie funkcja postaci: ( = Ae. Podstawiając ją do ównania otzymamy ównanie chaakteystyczne postaci: + ρ + = 0 (.9) Rozwiązując je możemy otzymać tzy pzypadki: < 0 = 4ρ 4 = 4( ρ ) > 0 = 0 Rozważamy małe tłumienia ρ < Możiwe są dwa ozwiązania: i ρ Rozwiązującą funkcją jest funkcja postaci: ρt ( = Ae sin( t + ϕ) co jest ównoważne ozwiązaniu: + i ρ (.0) ρt = e sin( c cost + c sin ) (.) ( t

6 Wykes (ys..6) poniżej obazuje funkcję ozwiązującą (wzó.0): Rys..5 gdzie: T okes dgań własnych tłumionych wynoszący: π T = a = ρ Miaą tłumienia jest to z jaką szybkością następuje edukcja ampitudy, czyi eacja między dwiema koejnymi ampitudami podobnych stanów. I tak: π i T = +.Podstawiając do funkcji ozwiązującej (.0) otzymujemy:] i ρ ( t+ T ) i+ Ae pzy założeniu, że: sin( t + e) = = ρt Ae pzy czym i λ = n + i = ρ T Sine tłumienie ρ > Możiwe są dwa ozwiązania: = e = e i+ ρt λ i i ogaytmiczny dekement mienia. ρ Funkcja ozwiązująca pzyjmuje postać: + ρ (.) ρt = e ( c ch + c sh ) (.) ( t

7 gdzie: = ρ W YKŁ ADY Z MECHANIKI BUDOWLI W tym pzypadku wykes funkcji ozwiązującej wygąda następująco (ys..6): Rys..6 W tzecim ostatnim pzypadku gdy ρ = funkcja ozwiązująca jest postaci: t = e ρ ( c t + ) (.4) ( c a jej wykes jest taki jak pzy sinym tłumieniu(ys..6).