Wykład: praca siły, pojęcie energii potencjalnej. Zasada zachowania energii.

Transkrypt

1 Wykład: paca siły, pojęcie enegii potencjalnej. Zasada zachowania enegii. Uwaga: Obazki w tym steszczeniu znajdują się stonie www: /instucto/inde.htm Pytanie: Co to jest paca? Paca siły pzemieszczającej obiekt. Pzemieszczenie postoliniowe. Pzypadek siły stałej. Jak widać nawet z tytułu tego kótkiego steszczenia w fizyce mówimy o pacy w odniesieniu do działającej siły, któa pzemieszcza jakiś obiekt. Może to być paca siły ciężkości pzy pzesuwaniu pewnej masy m na pewną odległość w obszaze, gdzie zdefiniowana jest watość tej siły ciężkości. Może być to paca siły elektostatycznej pzy pzesuwaniu ładunku na pewną odległość w obszaze, gdzie zdefiniowana jest watość tej siły elektostatycznej. Należy też zawsze zwócić uwagę czy mówimy o pacy tej siły (w naszych pzykładach gawitacyjnej czy elektostatycznej) czy też o pacy siły zewnętznej pzesuwającej dany obiekt i działającej pzeciwko siłom istniejącym w danym obszaze. Będziemy dalej mówić o pacy pewnej siły F (jest to wielkość wektoowa!), na obiekt. Pzy czym założymy, że siła ma stałą watość i pzesuwa obiekt po poziomym podłożu. Ponieważ jest nachylona do podłoża pod kątem θ (ysunek) to tylko jej składowa pozioma F Fcos θ wykonuje pacę. Paca ta wynosi: W F cos θ Δ Jest to pole pod wykesem funkcji F w zależności od położenia. (patz na ysunek obok). Pzypadek siły zmiennej. Jeśli sytuacja będzie badziej skomplikowana i siła będzie miała zmienną watość podczas pzesuwania skzyni po postej OX, wtedy wykes zależności siły od położenia wygląda na pzykład tak jak na ysunku poniżej. Paca ta jest polem pod wykesem funkcji F w zależności od położenia. Pacę tę można obliczyć sumując po kolei zaznaczone na wykesie postokątne słupki.

2 Otzymamy w wyniku: N i ( F ) i W i. Ponieważ (F ) i oznacza watość składowej -owej siły na śodku i-tego słupka o szeokości i to wynik będzie tym dokładniejszy im większe będzie N, czyli węższe pzedziały i. Ponieważ cały pzedział - N i. Ganiczne sumowanie dla N nieskończonego umożliwia dokładne policzenie pola pod kzywą. Oznaczamy je symbolem całki i piszemy: W F ( ) d G( ) G( ), gdzie G() jest nazywana funkcją piewotną funkcji F (). Funkcja G() spełnia następujący waunek: dg() funkcja podcalkowa () d W naszym konketnym pzypadku funkcja podcałkowa to składowa pozioma wektoa siły F, czyli F. Jest ona funkcją położenia co oznaczamy jako F (). Wynika stąd, że: dg() d Widać, że zmienna watość składowej F siły F może wynikać, ze zmiany watości siły pzy ustalonym kącie θ ale ównież może być to działanie stałej siły pzy zmiennym kącie jej nachylenia lub weszcie może działać zmienna co do watości siła o zmiennym kącie nachylenia. F () Pzemieszczenie po linii kzywej Ciągle dotąd ozpatywaliśmy pzemieszczenie obiektu po linii postej. Jest więc oczywiste, że można mieć do czynienia z sytuacją badziej skomplikowaną: pzemieszczaniem obiektu po linii kzywej, pzy tym siła jako wekto jest zmienna (w każdym punkcie na kzywej jej watość ulega zmianie). Na ysunku (a) obok to jest kzywoliniowy (bązowy), w danym punkcie siła F twozy ze styczną do tou kąt φ. Pzemieszczenie jest wektoem o nieskończenie małej długości stycznym do tou i oznaczonym jako d. Na ysunku (b) naysowana jest składowa styczna siły F s składowa nomalna nie wykonując pacy (dlaczego?) oaz wekto pędkości styczny do tou, czyli z definicji ównoległy do wektoa składowej stycznej siły. Elementana paca dw siły F na dodze d wyażona jest jako paca siły stycznej do tou, czyli: dw F s d F cosφ d F d, czyli jest iloczynem skalanym siły pzez elementane pzemieszczenie. Paca jest wielkością skalaną. Jeśli będziemy chcieli obliczyć pacę po dodze kzywoliniowej musimy posłużyć się nieznaną nam jeszcze całką kzywoliniową.

3 Możemy jednak uniknąć kłopotu używając zamiany zmiennej całkowania na czas. Robimy to następująco. Obliczamy pacę W pzemieszczenia po kzywoliniowym toze o początku w punkcie opisanym wektoem wodzącym i końcu w punkcie opisanym wektoem wodzącym. Paca ta: W F d ma ( ) d kzywoliniowa kzywoliniowa od do od do t t ma(t) (t). Otzymany wynik pokazuje, że całkę kzywoliniową można zamienić na całkę w dziedzinie czasu, pzy czym t odpowiada położeniu natomiast t odpowiada położeniu. Zauważ, że wszystkie zmienne są teaz wyażone pzez czas a nie jak popzednio pzez współzędne pzestzenne. [Patz wykład zut poziomy i obliczenie pacy siły ciężkości na toze paabolicznym od statu do upadku na ziemię z wysokości H]. Pojęcie enegii kinetycznej i pacy. Pytanie: Co to jest enegia kinetyczna? Jeśli siła F jest stała i ozpędza masę m od pędkości do pędkości to możemy napisać: d d m m W Fd mad m d m d md Podobne ozumowanie dla siły zmiennej co do kieunku względem pzesunięcia daje: W d d m F d m d m m d d d m m m m Siła zwiększa pzez wykonanie nad ciałem pacy jego enegię uchu enegię kinetyczną. Można okeślić enegię kinetyczną obiektu o masie m i pędkości jako pacę, któą ono może wykonać do chwili zatzymania się. Pojęcie enegii potencjalnej i siły zachowawczej. Dodatek pojęcie gadientu enegii potencjalnej. W naszych ozważaniach oganiczymy się do pzypadku dwuwymiaowego uchu na płaszczyźnie. Można to następnie natychmiast uogólnić do tzech wymiaów. Rozważmy pewne pole siły. Znaczy to, że w każdym punkcie pzestzeni okeślony jest wekto siły F(,y) działającej na pewną masę m. Chcemy policzyć pacę pzesunięcia tej masy pod działaniem siły F(,y) z punktu do po dodze A i poównać z pac pacą pzesunięcia jej po dodze B. Jeśli paca wykonana na dodze z punktu

4 do jest taka sama dla dogi A, B i wszystkich innych dóg zaczynających się w i kończących w to można to sfomułować ogólnie następująco: Jeśli paca pzemieszczenia masy m między punktami i nie zależy od dogi po któej nastąpiło pzemieszczenie to mówimy, że siła jest zachowawcza, albo potencjalna. Inne ównoważne sfomułowanie zachowawczości siły jest następujące. Jeżeli paca pzemieszczenia masy m po dodze (kzywej) zamkniętej wynosi zeo to mówimy, że siła jest zachowawcza, albo potencjalna. W naszym pzypadku paca pzemieszczenia masy m z punktu po dodze A do punktu i potem z punktu po dodze B do punktu wynosi zeo. Możemy zapisać pacę siły F(,y) na dodze elementanego pzemieszczenia d jako: dw F d Ponieważ paca siły F(,y) nie zależy od dogi, a tylko od punktu statu i końca pzemieszczenia to można okeślić funkcję skalaną, zależną tylko od współzędnych (,y). Nazywamy ją enegią potencjalną i okeślamy jej nieskończenie mały pzyost: du F d Minus został wybany ze względu na to, że ubytek enegii potencjalnej jest ówny wykonanej elementanej pacy. Jest on pzyjęty ze względów fizycznych. Dodatek Pojęcie gadientu enegii potencjalnej. Pzyost funkcji U(,y) można wyazić jako sumę pzyostów funkcji względem obydwu zmiennych niezależnych i y jako: du d + dy. y Pochodne U względem i y nazywają się pochodnymi cząstkowymi i liczymy je tak, jakby duga zmienna była stałą pzy liczeniu pochodnej cząstkowej po piewszej zmiennej. Na pzykład jeśli U6y U ( ) 6y 6y y 6y () 6y 6y 6 (y ) 6 y ( ) y U Z dugiej stony: du F d -( F d + Fydy) d + dy. y Gupując wyazy z odpowiednimi pzyostami d i dy otzymamy: U U F + d Fy dy y Ponieważ ównanie to obowiązuje dla dowolnych pzyostów d i dy to muszą znikać tożsamościowo wyażenia w nawiasach stąd otzymamy związki: F U F y U y

5 Mówimy, że siła ówna jest ujemnemu gadientowi enegii potencjalnej co zapisujemy: F U lub w postaci ozwiniętej: F i j. y Zasada zachowania enegii mechanicznej. Elementana paca dw dla siły zachowawczej może być wyażona pzez ubytek enegii potencjalnej tej siły. Czyli dw -du Wiemy, że: dw F d Stąd: d d d dw F ma dw m md Widać, że paca jest zużywana na wzost enegii kinetycznej dt masy m. Poównując: dw -du oaz dw dt dt otzymamy: -du dt Stąd zaś, d(u+t) 0 czyli zmiana sumayczna enegii potencjalnej i kinetycznej jest ówna zeu. Inaczej: Suma enegii potencjalnej i kinetycznej układu zachowawczego bez działania sił zewnętznych jest stała.