GEOMETRIA PŁASZCZYZNY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "GEOMETRIA PŁASZCZYZNY"

Transkrypt

1 GEOMETRIA PŁASZCZYZNY. Oblicz pole tapezu ównoamiennego, któego podstawy mają długość cm i 0 cm, a pzekątne są do siebie postopadłe.. Dany jest kwadat ABCD. Punkty E i F są śodkami boków BC i CD. Wiedząc, Ŝe AEo AF = oblicz pole kwadatu.. W tójkącie postokątnym wysokość dzieli pzeciwpostokątną na odcinki o długościach i. Oblicz pole tego tójkąta.. Boki kwadatu skócono o 0 %. O ile pocent zmniejszyło się pole kwadatu.. Znajdź pole kwadatu wpisanego w okąg o pomieniu R. 6. Znajdź obwód okęgu opisanego na kwadacie o polu P. 7. Znajdź kąty ombu, któego kótsza pzekątna jest ówna bokowi. 8. Znajdź stosunek pzypostokątnych w tójkącie postokątnym jeŝeli wysokość i śodkowa wychodzące z wiezchołka kąta postego mają do siebie jak 0 : 9. W tapezie, któego podstawy mają długość a i b, miay katów pzy większej podstawie są ówne 0 i. Oblicz pole tego tapezu. 0. Dane są długości b i c dwóch boków tójkąta ostokątnego. Pole tego tójkąta jest ówne bc. Znajdź długość tzeciego boku tego tójkąta.. W tójkącie ównoamiennym ABC, w któym AC = BC kąt pzy podstawie ma miaę α. Znajdź długość wysokości CD jeśli wiadomo, Ŝe AC + CD = d.. Obliczyć długość boków tójkąta postokątnego wiedząc, Ŝe twozą one ciąg aytmetyczny, a pole tego tójkąta jest ówne 6.. W tapezie ównoamiennym o podstawach a =0 i b =0 oaz kącie ostym ównym α=0 połączono odcinkami śodki sąsiednich boków. Obliczyć pole czwookąta, któego bokami są te odcinki. Obliczyć długość boku ombu znając jego pole P i stosunek długości pzekątnych n m.. Obliczyć długość okęgu opisanego na tójkącie o bokach długości,,. 6. Obliczyć długość pomienia okęgu wpisanego w wycinek koła o kącie śodkowym 60 i polu P. 7. W tójkącie postokątnym ABC dane są długości pzypostokątnych AB = a oaz AC = b. Dwusieczna kąta postego pzecina pzeciwpostokątną w punkcie D. Oblicz długość odcinka AD. 8. Obwód ombu jest ówny, a suma pzekątnych 8. Oblicz pole i wysokość ombu. 9. W okęgu o śednicy 0 cm kąt śodkowy α ma miaę0. Obliczyć długość cięciwy odpowiadającej temu kątowi. 0. W tójkąt ównoamienny o obwodzie 6 wpisano okąg, któego pomień jest ówny długości wysokości popowadzonej do podstawy tego tójkąta. Obliczyć długości 7 boków tójkąta.. Obliczyć długość pomienia okęgu opisanego na tójkącie postokątnym, i oaz długość pomienia okęgu wpisanego w ten tójkąt.. Obliczyć pomień okęgu wpisanego w tójkąt ównoboczny o polu P.. W okąg o pomieniu = wpisano tójkąt postokątny, któego jedna postokątna jest dwa azy dłuŝsza od dugiej. Obliczyć obwód tego postokąta.

2 . Obliczyć stosunek pola sześciokąta foemnego wpisanego w okąg o pomieniu, do pola tójkąta ównobocznego opisanego na tym okęgu.. Dane są tzy okęgi zewnętznie styczne względem siebie i paami styczne. Oblicz długość pomienia okęgu wpisanego w tójkąt wyznaczony pzez śodki tych tzech okęgów, jeŝeli ich pomienie są ówne odpowiednio =, =, =. 6. Oblicz długość kaŝdej z tzech wysokości tójkąta o bokach,, Tapez opisany na okęgu o pomieniu cm ma dwa kąty o miaach 90 i. Znaleźć długość boku tapezu i jego pole. 8. Znaleźć kąty tójkąta o bokach a=, b=, c=. 9. Miay łukowe kątów tójkąta postokątnego twozą ciąg aytmetyczny, a jego obwód jest ówny +. Obliczyć długość boków tójkąta. 0. W tapez ównoamienny o polu S wpisano czwookąt tak, Ŝe jego wiezchołki są śodkami boków tapezu. Jaki to czwookąt? Obliczyć jego pole.. DłuŜsza podstawa tapezu ównoamiennego ma długość cm, a jego obwód jest ówny 8cm. Wyazić pole tego tapezu jako funkcję długości amienia tapezu. Znaleźć dziedzinę i zbió watości tej funkcji.. W tójkącie ównoamiennym o amieniu a=0 cm jeden z kątów ma miaę 0. Obliczyć pole tego tapezu.. Obliczyć pomienie okęgów wpisanego i opisanego na tójkącie ównoamiennym o amieniu długości i kącie i kącie pzy podstawie 6 Π.. W tapezie postokątnym w któy moŝna wpisać okąg. Jedna z podstaw ma długość a, duga zaś jest tzy azy dłuŝsza. Obliczyć pole tapezu.. W tapez moŝna wpisać okąg i opisać na nim okąg. Jedna z podstaw jest ówna a, duga jest cztey azy dłuŝsza. Obliczyć pole tapezu. 6. Suma kątów wewnętznych w wielokącie wypukłym jest ówna 0. Ile wiezchołków ma ten wielokąt? 7. RóŜnica pól dwóch kwadatów jest ówna, a óŝnica obwodów wynosi. Jakie są długości boków tych kwadatów? 8. Długości boków tójkąta postokątnego twozą ciąg aytmetyczny. Jakie są długości pzypostokątnych, jeśli pzeciwpostokątna ma długość 0cm. 9. Kótsza pzypostokątna tójkąta postokątnego ma długość. Jakie są długości pozostałych boków, jeśli długości wszystkich boków twozą ciąg aytmetyczny. 0. W tójkącie postokątnym, któego długość pzypostokątnych są ówne i wpisano koło. Obliczyć pole tego koła.. W tójkącie ABC kąt pzy wiezchołku A jest dwa azy mniejszy od kąta pzy wiezchołku B. Długość boku AB jest ówna c, a długość AC jest ówna b. Oblicz długość a boku BC.. Tapez ównoamienny o polu 8 cm i kącie pzy dłuŝszej podstawie 0 jest opisany na kole. Oblicz pole koła, długość boków tapezu oaz długość jego pzekątnych.. Dwa okęgi o pomieniach =cm, =9m są styczne zewnętznie. Oblicz pole oaz obwód figuy oganiczonej tymi okęgami i ich wspólną styczną zewnętzną. Na okęgu o śednicy d opisano tapez ównoamienny, któego podstawy mają odpowiednio długości a i b. Wykazać, Ŝe ab=d. Pomień okęgu wpisanego w tójkąt postokątny ma długość. Obliczyć długość boków tójkąta, wiedząc, Ŝe są one liczbami całkowitymi. 6. Oblicz pole tójkąta postokątnego o pzeciwpostokątnej 0, jeŝeli wiadomo, Ŝe pomień okęgu wpisanego w ten tójkąt jest ówny.

3 7. W połowę tójkąta ównobocznego o boku wpisano okąg. Jaka jest odległość śodka okęgu od wiezchołka kąta postego. 8. W tójkącie ównoamiennym napzeciw podstawy o długości leŝy kąt 6 Π. Jaka jest odległość śodka okęgu opisanego na tym tójkącie od jego podstawy? 9. Wysokość tapezu jest ówna, a jedno z amion ma długość. Na tapezie tym moŝna opisać okąg i moŝna w niego wpisać okąg. Oblicz obwód tapezu. 0. Oblicz pole tapezu o podstawach a i b jeŝeli wiadomo, Ŝe na tym tapezie moŝna opisać okąg i moŝna w niego wpisać okąg.. Jedną z podstaw tapezu wpisano w okąg o pomieniu i jest śednicą tego okęgu. Dla jednego z kątów tego tapezu zachodzi związek cosα =. Obliczyć pole tego tapezu.. W tójkącie postokątnym mniejsza pzypostokątna ma długość. Posta pzechodząca pzez wiezchołek kata postego twozy z tą pzypostokątną kąt 0 i dzieli pzeciwpostokątną w stosunku :. Znaleźć pozostałe długości boków tójkąta.. W tójkącie ABC dane są: kąt α =60, bok AB = oaz pomień okęgu opisanego na tójkącie R=. Znaleźć długości pozostałych boków i miay kątów tójkąta.. Dany jest czwookąt o polu ównym 0. Znaleźć pole czwookąta, któego bokami są odcinki łączące śodki boków danego czwookąta.. W tójkącie ABC długość boku AB jest ówna 7, a suma długości pozostałych boków jest ówna. Obliczyć długość boków BC i AC jeśli CAo CB =0 6. Na okęgu o pomieniu opisano tapez ównoamienny, któego jedna z podstaw ma długość. Obliczyć odległości śodka okęgu od wiezchołków tapezu. 7. Tapez ównoamienny ma podstawy długości a i a. Jakiej długości powinna być wysokość tapezu, aby w ten tapez moŝna było wpisać okąg? 8. W okąg o śednicy AB=R wpisano dugi okąg, styczny wewnętznie do danego okęgu w punkcie A. Okąg widać z punktu B pod kątem 60. Obliczyć odległość śodka okęgu wpisanego od punktu B. 9. Wykazać, Ŝe w tójkącie postokątnym o pzypostokątnych a i b oaz pzeciwpostokątnej c, pomień okęgu wpisanego wyaŝa się wzoem = ( a + b c) 60. Sfomułować twiedzenie sinusów i podać tego twiedzenia w pzypadku tójkąta ostokątnego. 6. Sfomułować i udowodnić twiedzenie cosinusów 6. Jaką własność ma czwookąt wpisany w okąg. Udowodnić tę własność. 6. W tójkącie ostokątnym ABC z wiezchołków A i C opuszczono wysokości AD i CE na boki BC i AB. Wykazać, Ŝe te tójkąty ABC i BDE są podobne. 6. Wykazać, Ŝe pole dowolnego czwookąta wypukłego jest ówne połowie iloczynu jego pzekątnych pomnoŝonego pzez sinus kąta między nimi. 6. Podać i udowodnić związek pomiędzy wysokością h tójkąta postokątnego popowadzoną z wiezchołka kata postego oaz odcinkami x i y, na któe wysokość ta dzieli pzeciwpostokątną. 66. Udowodnić, Ŝe suma kątów wewnętznych tójkąta jest ówna katowi półpełnemu. 67. Wykazać, Ŝe jeŝeli kąty tójkąta spełniają waunek sinγ = cosαsinβ to tójkąt jest ównoamienny.

4 68. Wykazać, Ŝe tójkąt o bokach a, a, 6a (a>0) jest ozwatokątny. 69. Udowodnić wzó na pole tójkąta P = p, gdzie p połowa obwodu tójkąta, - pomień okęgu wpisanego w tójkąt. 70. Sfomułować i udowodnić twiedzenie o podziale boku tójkąta dwusieczną kąta wewnętznego. 7. Dwa okęgi o pomieniach R i R są styczne wewnętznie w punkcie A. Pzez śodek większego okęgu popowadzono cięciwę BC styczną do mniejszego okęgu. Obliczyć pole tójkąta ABC. 7. Z wiezchołka kata ozwatego ombu opuszczono dwie postopadłe do jego boków. Długość kaŝdej postopadłej jest ówna a, zaś odległość między spodkami tych postopadłych jest ówna b. Obliczyć pole ombu. 7. Udowodnić, Ŝe odcinek łączący śodki dwóch boków tójkąta jest ównoległy do tzeciego boku i ówna się jego połowie. 7. Na okęgu opisano tapez ównoamienny o obwodzie p i pzekątnej d. Obliczyć stosunek pomienia okęgu wpisanego do pomienia okęgu opisanego na tym tapezie. 7. Obliczyć pole tapezu ównoamiennego, któego długości podstaw są a =, b =0, zaś pzekątna jest postopadła do amienia tapezu. 76. W tójkącie ABC dane są AB = 7cm, AC = 6cm, BC = cm. Wiadomo, Ŝe boki AC i BC są styczne do okęgu któego śodek leŝy na boku AB. Znaleźć długość pomienia okęgu. 77. Wysokość i śodkowa popowadzone z jednego wiezchołka kąta tójkąta dzielą ten kąt na tzy ówne części. Oblicz kąty tójkąta. 78. Dany jest tójkąt o bokach cm, cm, cm. Obliczyć długości śodkowych tego tójkąta. 79. Dany jest tójkąt ównoamienny o podstawie długości 0cm i kącie postym między amionami. Obliczyć długości śodkowych w tym tójkącie. 80. Pole tójkąta postokątnego jest ówne 6 cm. Wysokość opuszczona z wiezchołka kata postego dzieli kąt posty w skali :. Obliczyć długość śodkowych w tym tójkącie. 8. WykaŜ, Ŝe jeŝeli a, b, c, są długościami boków tójkąta ostokątnego, to a²+ b²+ c² < ( ab+ ac+ bc ). 8. WykaŜ, Ŝe tójkąty, któych wspólnym wiezchołkiem jest punkt pzecięcia się pzekątnych tapezu nie będącego ównoległobokiem, zaś boki pzeciwległe temu wiezchołkowi pokywają się z bokami nieównoległymi tego tapezu, mają ówne pola. 8. Na jednym z boków tójkąta ABC obano punkt D, pzez któy zostały popowadzone dwa odcinki ównoległe do pozostałych boków tego tójkąta. Odcinki te podzieliły tójkątna dwa tójkąty i ównoległobok. Mając dane pola P, P powstałych tójkątów obliczyć pole tójkąta ABC. 8. Na tójkącie, któego kąty mają miay α i β opisano koło. Wyznaczyć stosunek pola tego tójkąta, do pola koła opisanego na tym tójkącie. 8. Pzez punkt pzecięcia się pzekątnych tapezu ABCD o podstawach AB i CD popowadzono postą ównoległą do AD, pzecinającą podstawę AB w punkcie E oaz postą ównoległą do BC pzecinającą tę samą podstawę w punkcie R. Wykazać, Ŝe AE = RB. 86. Wykazać, Ŝe w tójkącie postokątnym suma kwadatów długości śodkowych pzypostokątnych stanowi kwadatu długości pzeciwpostokątnej.

5 87. Wykazać, Ŝe w tapezie postokątnym óŝnica kwadatów długości pzekątnych jest ówna óŝnicy kwadatów długości podstaw. 88. Ramię tójkąta ównoamiennego ma długość cm. Obliczyć długość podstawy tego tójkąta wiedząc, Ŝe odległość śodka amienia od pzeciwległego wiezchołka podstawy jest ówna cm. 89. Wykazać, Ŝe jeŝeli h jest długością wysokości tójkąta postokątnego opuszczoną na jego pzeciwpostokątną, zaś a i b są długościami pzypostokątnych to = +. h a b 90. Odcinek CB jest cięciwą koła o długości 0. Pze punkt C popowadzono styczną do tego koła, zaś pzez punkt B postą l ównoległą do tej stycznej. Obliczyć długość pomienia koła wiedząc, Ŝe odcinek będący częścią wspólną koła i postej l ma długość. 9. Długości dwóch boków tójkąta są ówne i 0. Wykazać, Ŝe długość odcinka będącego częścią wspólną i dwusiecznej jego kąta wewnętznego zawatego między bokami o podanych długościach jest mniejsza od 0/. 9. Wykazać, Ŝe jeśli α, β, γ są kątami tójkąta i sin²α= sin²β + sin²γ to ten tójkąt jest postokątny. 9. Tapez ównoamienny o pzekątnej cm i obwodzie 6 cm jest opisany na okęgu. Oblicz długość pomienia okęgu wpisanego w tapez i długość pomienia opisanego na nim. 9. Wykazać, Ŝe w tójkącie postokątnym suma pzypostokątnych ówna się sumie śednic koła opisanego na tym tójkącie i wpisanego w ten tójkąt. 9. Wykazać, Ŝę suma odległości dowolnego punktu wewnętznego tójkąta od jego wiezchołków jest większa od polowy obwodu. 96. W tójkącie ównoamiennym suma amienia i wysokości jest ówna k, kąt pzy podstawie ma miaę α. Obliczyć pole tego tójkąta. 97. Tzy okęgi o tym samym pomieniu styczne zewnętznie oganiczają tójkąt kzywoliniowy. Obliczyć pole powiezchni tego tójkąta wiedząc, Ŝe pomień okęgu opisanego na figuze utwozonej z tych tzech okęgów jest ówny R. 98. W kwadat o boku a wpisano dugi kwadat tak, Ŝe boki kwadatu wpisanego twozą π z bokami kwadatu danego odpowiednio kąty 6 i π. Obliczyć pole powiezchni wpisanego kwadatu 99. W tapezie ównoamiennym dane jest amie a i kat osty α. Pzekątna tapezu jest postopadła do amienia. Obliczyć pole tego tapezu. 00. Dany jest omb o boku a i kącie ostym α. Romb ten podzielono na tzy części o ównych polach odcinkami mającymi wspólny początek w wiezchołku kąta ostego i końce w bokach ombu. Wyznaczyć długość tych odcinków. 0. Wyznaczyć liczbę x tak, by w postokącie o bokach i x poste popowadzone z pzeciwległych wiezchołków i postopadłe do pzekątnej dzieliły ja na tzy części o ównych długościach. 0.W kwadat ABCD, któego bok ma długość 0 cm, wpisano kwadat KLMN, któego pole stanowi pola kwadatu ABCD. Obliczyć stosunek długości odcinków, na któe wiezchołki kwadatu KLMN dzielą kaŝdy bo kwadatu ABCD. 0.W tójkącie ównoamiennym między długością a podstawy i długościami h, H dwóch jego nieównych wysokości zachodzi związek: a²= h H. Wyznaczyć cosinus kata pzy podstawie tójkąta.

6 0.W tójkącie postokątnym długość jednej pzypostokątnej jest dwa azy mniejsza od długości pzeciwpostokątnej. Obliczyć stosunek długości pomienia okęgu opisanego na tym tójkącie do długości okęgu wpisanego w ten tójkąt. 0.W tójkącie ównoamiennym podstawa ma długość a, wysokość zaś opuszczona na tę podstawę ma długość h. W tójkąt wpisano okąg i popowadzono styczną do okęgu ównoległa do podstawy. Obliczyć długość pomienia i długość odcinka stycznej zawatego w tym tójkącie. 06.W tapezie ABCD łączymy śodek M amienia AB z końcami amienia CD. Wykazać, Ŝe pole powstałego tójkąta jest połową pola tapezu. 07.W tapezie ównoamiennym jedna z podstaw jest dwa azy dłuŝsza od dugiej. Pzekątna tapezu jest dwusieczną kąta pzy podstawie. Obliczyć długości boków tapezu wiedząc, Ŝe jego pole jest ówne. 08. W tapezie opisanym na okęgu długości amion są ówne i. Odcinek łączący śodki amion dzieli tapez na części, któych pola są w stosunku :.Obliczyć długości podstaw tapezu. 09. W omb o boku długości a i kacie ostym 60º wpisano okąg. Obliczyć pole postokąta, któego wiezchołkami są punkty styczności okęgu z bokami ombu. 0. Pole tójkąta ównobocznego wpisanego w koło o pomieniu jest ówne. Obliczyć długość wysokości tego tójkąta.. Na okęgu o pomieniu = opisano tójkąt postokątny, któego pzeciwpostokątna ma długość 0. Obliczyć pole i obwód tego tójkąta.. Na okęgu o pomieniu długości opisano tapez postokątny, któego najdłuŝszy bok ma długość. Obliczyć pole tego tapezu..dwa boki tójkąta wpisanego w okąg o pomieniu maja długość oaz. Wyznaczyć długość tzeciego boku.tzy cięciwy okęgu o pomieniu twozą tójkąt w wpisany w ten okąg. Długości dwóch tych cięciw są odpowiednio ówne oaz. Wyznaczyć długość tzeciej cięciwy..w tójkącie ABC, gdzie AC = BC = 0, śodkowe popowadzone z wiezchołków A oaz B pzecinają się pod kątem postym. Obliczyć pole tójkąta. 6.Bok ombu ABCD ma długość. Punkty M i N są śodkami boków odpowiednio AB i AD. Poste zawieające odcinki BN oaz BM są postopadłe, a kąt DAB jest osty. Obliczyć pole ombu. 7.Na kwadacie opisano okąg i w ten sam okąg wpisano okąg. Pole pieścienia kołowego, któego bzeg twozą dwa okęgi jest ówne π. Oblicz pole kwadatu. 8.Na tójkącie ównobocznym opisano okąg i w ten sam tójkąt wpisano okąg. Pole powiezchni pieścienia kołowego, któego bzeg twozą okęgi jest ówne π. Obliczyć pole tójkąta. 9.W kwadat o boku a wpisano dwa okęgi o śodkach leŝących na pzekątnej kwadatu w taki sposób, Ŝe są do siebie styczne i kaŝdy z nich jest styczny do dwóch boków kwadatu. Wyznaczyć pomienie tych okęgów, jeśli ich obwody są w stosunku :. 0.Punkt D dzieli podstawę tójkąta ównobocznego w stosunku :. Obliczyć odległości punktu D od amion tego tójkąta wiedząc, Ŝe podstawa ma długość a..wiezchołek A kwadatu ABCD połączono ze śodkami E i F boków BC i CD, Wykazać, ze odcinki AE i AF dzielą pzekątną BD na tzy ówne części..na okęgu o pomieniu długości opisano tapez ównoamienny, któego jedna z podstaw ma długość.obliczyć odległości śodka okęgu od wiezchołków tapezu. 6

7 .Na okęgu o pomieniu długości opisano tójkąt postokątny, któego jeden z wiezchołków jest oddalony od śodka okęgu o 6. Obliczyć pole tego tójkąta..w ombie ABCD punkt E dzieli bok AB, gdzie AB = a w stosunku : licząc od wiezchołka a. Obliczyć pole powiezchni tego ombu, jeśli odległość punktu E od pzekątnej AC jest tzy azy mniejsza od odległości punktu E od pzekątnej BD. 7

8 ODPOWIEDZI. P=6cm. P= 6. P=. 6%. P=R 6. α=π i lub ( 9. P= )( a b ) 0. a= b + c bc d sinα. h= + sinα., i. P=. a= P( m + n) mn 6. α = Π P 6. = Π ab 7. AD= a + b 7 8. P=7, h= 9. a= , 0, 0. R= 6, =. = P 6 +. L= = 7 8

9 0 0 6.,, 7. P = 0(+ )cm 8. α = β =0 0 γ =0 0 9.,, s 0. Romb,. P = ( x) x, x (, ) P(x) (0,7 >. P = cm. R =, =. P = a. P = a 6. Pięć 7. i 8. 6cm i 8cm 9. +, ( + ) 0. P = Π c + b c. a =. P=Πcm, a=+ b=- c = c = cm, p= cm. P= ( Π) cm, L = (Π + 6 ) cm..,, 6. P = 6 7. cm L = 8 a + b 0. P= ab 60. P = 86. b = c = 7. a =, b = ( + ) γ = ac cos Π β = ac cos. P =0. ( BC = AC = 8) v ( BC = 8 AC = ) 6.x = 7. h = a, y = 9

10 8. R 9. = ( a + b c) P= d d sinα 7. R a 7., a > b b a b 7. d p 7. =, d > p > 0 R dp R = 6cm , 60, 0 78., 7, 79. CD =cm AE = BF = cm, cm, cm P = P + P P + P P 8. = P π sinα sinβ sin (α+ β) o = = R= 0

11 sin α 96. P = k ( + sinα) ( π ) 97. P = R 98. P= a²( )² a sin α 99. P = cosα 00. Odcinki są ównej długości a + cosα 0. JeŜeli 0<x< to x =, jeŝeli x> to x = 0. (+ ): 0. cos α = R 0. = + 0. a a + h h a a( = d = ; ; ; ; 08. 7; a 09. P= 6 0. h=. P= ; L= 6. P= ² P= 6. P= 7 7. P= 8. P= lub lub ( ) 9. = a R = a( a a 0. d =, d = P=, ². P= a ² a ) + h h a)

12

9. 1. KOŁO. Odcinki w okręgu i kole

9. 1. KOŁO. Odcinki w okręgu i kole 9.. KOŁO Odcinki w okęgu i kole Cięciwa okęgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okęgu d Śednica okęgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okęgu pzechodzący pzez śodek okęgu (koła) Pomień

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ODPOWIEDZI DO ARKUSZA ROZSZERZONEGO Zadanie ( pkt) A Zadanie ( pkt) C Zadanie ( pkt) A, bo sinα + cosα sinα + cosα cos sinα sin cosα + π π + π sin α π A więc musi

Bardziej szczegółowo

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH Konkusy w województwie podkapackim w oku szkolnym 08/09 KONKURS Z MTEMTYKI L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH ETP REJONOWY KLUZ OPOWIEZI Zasady pzyznawania punktów za każdą popawną odpowiedź punkt za błędną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu

9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu 9. PLANIMETIA 9.. Okąg i koło ) Odinki w okęgu i kole S Cięiw okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu d S Śedni okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu pzeodząy pzez śodek okęgu (koł)

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków?

ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków? PLANIMETRIA 2 ZADANIE 1 W rombie jedna z przekatnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekatnych pole rombu jest większe od 5cm 2? 1 ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do akusza Póbnej Matuy z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 00 W kluczu są pezentowane pzykładowe pawidłowe odpowiedzi. Należy ównież uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej

Bardziej szczegółowo

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona

Bardziej szczegółowo

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE

PLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE PLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE ZADANIE 1 Jeżeli wysokość trójkata równobocznego wynosi 2, to długość jego boku jest równa A) 6 B) 4 3 3 C) 2 3 D) 4 3 ZADANIE 2 Pole trójkata o bokach a = 4 cm

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ELEMENTARNA

GEOMETRIA ELEMENTARNA Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1. Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Bardziej szczegółowo

9. PLANIMETRIA zadania

9. PLANIMETRIA zadania Zad.9.1. Czy boki trójkąta mogą mieć długości: a),6, 10 b) 5,8, 10 9. PLANIMETRIA zadania Zad.9.. Dwa kąty trójkąta mają miary: 5, 40. Jaki to trójkąt: ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny? Zad.9..

Bardziej szczegółowo

Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =

Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V = Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6 Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok

Bardziej szczegółowo

Klasówka gr. A str. 1/3

Klasówka gr. A str. 1/3 Klasówka gr. A str. 1/3 1. Boki trójkąta ABC mają długości 9 cm, 7cm, 8 cm. Boki trójkąta podobnego A B C w skali 1 2 mają długości: A. 18 cm, 14 cm, 16 cm B. 4 1 2 cm, 3 1 2 cm, 4 cm C. 4 1 2 cm, 7 cm,

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 19 stycznia 2012 r. zawody II stopnia (rejonowe)

Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 19 stycznia 2012 r. zawody II stopnia (rejonowe) Kod ucznia:. Ilość punktów: Konkus Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 19 stycznia 2012. zawody II stopnia (ejonowe) Witamy Cię na dugim etapie Konkusu Matematycznego. Pzed pzystąpieniem

Bardziej szczegółowo

11. 3.BRYŁY OBROTOWE. Walec bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków

11. 3.BRYŁY OBROTOWE. Walec bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków ..BRYŁY OBROTOWE Wae była obotowa powstała w wyniku obotu postokąta dokoła postej zawieająej jeden z jego boków pomień podstawy waa wysokość waa twoząa waa Pzekój osiowy waa postokąt o boka i Podstawa

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12 168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =

Bardziej szczegółowo

Skrypt 33. Powtórzenie do matury:

Skrypt 33. Powtórzenie do matury: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 33 Powtórzenie do matury:

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Średnica koła jest o 4 cm dłuższa od promienia. Pole tego koła jest równe 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych

Bardziej szczegółowo

= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.

= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku. ZADANIE 1 (5 PKT) Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkata jeżeli środki jego boków maja współrzędne: P = (1, 3), Q = ( 5, 4), R = ( 6, 7). ZADANIE 2 (5 PKT) Dla jakich wartości parametru α odległość

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

MATURA Powtórka do matury z matematyki. Część VII: Planimetria ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl

MATURA Powtórka do matury z matematyki. Część VII: Planimetria ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl MATURA 2012 Powtórka do matury z matematyki Część VII: Planimetria ODPOWIEDZI Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl Witaj, otrzymałeś już siódmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych do matury

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 1pkt) Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa. Jaka jest miara kąta środkowego?

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

= a + 1. b + 1. b całkowita?

= a + 1. b + 1. b całkowita? 9 ALGEBRA Liczby wymierne Bukiet 1 1. Oblicz wartość wyrażenia 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1. 2. Znajdź liczby naturalne a, b, c i d, dla których 151 115 = a + 1 b + 1. c + 1 d 3. W podobny sposób spróbuj przekształcić

Bardziej szczegółowo

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:

KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)

Bardziej szczegółowo

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) 1. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 9 czy 3 1? 9 < 30 8 10 < 9 10 3 0 < 3 1.. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 81 czy 3 49? 81 > 80 56 10 > 43

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 2 Działania na wektoach w układzie współzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etapez.pl Stona 1 Część 1: TEST Zaznacz popawną odpowiedź (tylko jedna jest pawdziwa). Pytanie 1 Któe

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka Wskazówki Rozwiazania...

Spis treści. Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka Wskazówki Rozwiazania... Spis treści Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria... 18 Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka... 29 Wskazówki... 39 Rozwiazania... 55 Literatura... 135 Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl 9 ALGEBRA

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

10. Ruch płaski ciała sztywnego

10. Ruch płaski ciała sztywnego 0. Ruch płaski ciała sztywnego. Pędkość w uchu płaskim Metody wyznaczania pędkości w uchu płaskim y x / chwiowy śodek pędkości. naitycznie Dane:, Szukane: s / /. Na podstawie położenia chwiowego śodka

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad W niniejszym schemacie oceniania zadań otwatych są pezentowane pzykładowe popawne odpowiedzi. W tego typu ch należy

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r. Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p KRT WZORÓW MTEMTYZNY WŁSNOŚI DZIŁŃ Pwo pzemiennośi dodwni + = + Pwo łąznośi dodwni + + = ( + ) + = + ( + ) Pwo zemiennośi mnoŝeni = Pwo łąznośi mnoŝeni = ( ) = ( ) Pwo ozdzielnośi mnoŝeni względem dodwni

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) MARIUSZ WRÓBLEWSKI IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Dany jest równoległobok ABCD. Narysuj za pomocą linijki i ekierki odcinek BF prostopadły do odcinka

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 0 W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwa tych są pe zen to wa ne pzy kła do we po paw ne od po wie

Bardziej szczegółowo

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad.1 Rozwiąż trójkąt prostokątny: a) a 4, 0 b) b 8, c 1 POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad. Oblicz wartość wyrażenia cos 0 cos 45 cos0 cos 45. Zad.4 Wyznacz długości przyprostokątnych trójkąta

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Wielkopolskie Mecze Matematyczne

Wielkopolskie Mecze Matematyczne Wielkopolskie Mecze Matematyczne edycja druga 3 kwietnia 2015r. W okresie renesansu we Włoszech matematycy stworzyli ciekawą formę rywalizacji intelektualnej. Wymieniali się zadaniami, a po kilku tygodniach

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka

Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka atematyka Tomasz Zamek-Gliszczyński Matematyka Zadania powtórkowe przed maturą Zakres podstawowy Spis treści Wstęp 4 1 Liczby 5 2 Algebra 24 3 Funkcje 31 4 Ciągi 61 5 Geometria na płaszczyźnie 69 6 Trygonometria

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,

Bardziej szczegółowo

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45 METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ Klasa 1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3 ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Przekątna prostopadłościanu o wymiarach ma długość A. 2 5 B. 2 3 C. 5 2 D Zadanie 2.

Zadanie 1. Przekątna prostopadłościanu o wymiarach ma długość A. 2 5 B. 2 3 C. 5 2 D Zadanie 2. Zadanie 1. Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 3 4 5 ma długość A. 2 5 B. 2 3 C. 5 2 D. 2 15 Zadanie 2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ MARCA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczba 5, 4, 4 π jest równa A)

Bardziej szczegółowo

h a V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT :

h a V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT : pitgos..pl V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT : Wunek utwozeni tójkąt: sum ługośi wó kótszy oków musi yć większ o ługośi njłuższego oku. Śoek okęgu opisnego wyznzją symetlne oków. Śoek okęgu wpisnego wyznzją

Bardziej szczegółowo

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x 3 x 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x 3 x 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20 STEREOMETRIA - ZADANIA MATURALNE lata 2010-2017 Zadanie 1. (0-1) Maj 2010 [I. Wykorzystanie i tworzenie informacji] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x x 4 jest równe A. 94 B.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI

XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW ORAZ KLAS DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW PROWADZONYCH W SZKOŁACH INNEGO TYPU WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 ETAP

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo