J. Szantyr Wykład 11 Równanie Naviera-Stokesa

Transkrypt

1 J. Sant Wkład Równanie Naviea-Stokesa Podstawienie ależności wnikającch model łn Newtona do ównania achowania ęd daje ównanie nane jako ównanie Naviea-Stokesa. Geoge Stokes Clade Navie Naviea-Stokesa. w v div f D λ ρ ρ W fomie skalanej ma ono ostać tech ównań: w v div v v f Dv λ ρ ρ div w w v w f Dw λ ρ ρ

2 W fomie wektoowej ównanie Naviea Stokesa ma ostać: D ρ ρf gad gad A B C D E A ędkość mian ęd element łn B- siła masowa C- siła owiechniowa ciśnienia ( λdiv ) div( [ D] ) D siła owiechniowa wiąana lekością łn, wnikająca e mian objętości element łn ściśliwego (komesji lb eksansji) E- siła owiechniowa wiąana lekością łn, wnikająca defomacji liniowej i ostaciowej element łn

3 W łnie nieściśliwm ównanie Naviea Stokesa asca się do ostaci: D ρ ρf gad div( [ D] ) Jeżeli dodatkowo ałożm, że lekość łn jest stała,to mam: D ρ ρf gad Dalsm możliwm osceniem jest ałożenie o bak lekości łn, któe owadi do ównania Elea, oisjącego ch łn nielekiego i nieściśliwego: D ρ ρf gad Leonhad Ele Równanie Naviea Stokesa może bć owiąane analitcnie tlko dla niewiel osconch adków. Wbane kład oisano niżej.

4 Pkład owiąań analitcnch ównania Naviea Stokesa dla ostch ełwów Założenie: oatjem ełw jednokienkow, tn. taki w któm vw0 cli wekto ędkości są ównoległe do siebie w każdm nkcie ola. Jeżeli łn jest nieściśliw to ównania achowania mas mam: 0 cli: (,, t ) Wted ównanie Naviea Stokesa asca się do ostaci: ρ t Ponieważ lewa stona nie ależ od, a onadto mam: 0 to: (, t) d f ( t) cli: d d d

5 Pkład : Ustalon laminan ełw omięd dwoma nieskońconmi ównoległmi łtami (ełw Poiseille a) Dane: const Wanki begowe: 0 dla h Rowiąanie Równanie Naviea Stokesa biea ostać: Po dwkotnm scałkowani otmjem: ( ) C C 0 dla -h d d

6 Stałe całkowania wnacam wanków begowch, co owadi do owiąania: ( ) ( h ) Objętościowe natężenie ełw można wnacć nastęjąco: Komenta: Q ds h ( ) d h 3 S h -ofil ędkości ma kstałt aabolicn maksimm dla 0, -im więks gadient ciśnienia tm więksa ędkość maksmalna i więkse natężenie ełw, -im więksa lekość tm mniejsa ędkość maksmalna i mniejse natężenie ełw. 3

7 Pkład : Ustalon laminan ełw e ę o stałm ekoj kołowm stawiona oiomo (adek α0) Dane: const Wanki begowe: ( R) 0 (0) < Rowiąanie Stosjem walcow kład wsółędnch, w któm lalasjan ędkości ma ostać: d d d d

8 Równanie Naviea Stokesa ma ostać: d d d d Dwkotne całkowanie wględem daje kolejno: C d d ln C C Stałe całkowania można wnacć wanków begowch: C 0 R C Co ostatecnie owadi do: ( ) ( ) R ( ) ( ) R R R d R d Q π π π

9 Komenta: oównanie do kład ałożeni hr owadi do wniosk, że tm samm gadiencie ciśnienia maksmalna ędkość ełw i objętościowe natężenie ełw w e są mniejse. Wnika to badiej intenswnego hamowania ełw w e e naężenia lekościowe. Padek nachlonej od kątem α do oiom W tm adk ównanie Naviea Stokesa msi wględniać składową sił masowej gawitacji diałającą w kienk ełw: d d g sinα d d ν Ponieważ gadient ciśnienia i składowa sił masowej odobnie oddiałwją na ełw można wowadić sadek hdalicn J: J sinα ρg

10 Wted owiąanie ma ostać: gj ( ) ( R ) πgj Q R ν 8ν Scególn adek: a skieowana ionowo W tm adk mam: J gl Ciśnienie na wlocie do : ρ b ρ gh Ciśnienie na wlocie : b Cli: ρgh Po odstawieni otmjem: πgr H Q 8ν L Dięki łatwości omia Q można ten wó żć do okeślenia wsółcnnika lekości kinematcnej ν

11 Pkład 3: Pełw w kanale otwatm d d d d Z wank begowego (): d d wanki begowe: d d 0 C h C dla: h () 0 dla 0 () Rowiąanie h co owadi do:

12 o kolejnm całkowani otmjem: h C C 0 wank begowego (), co ostatecnie owadi do: ( h) natomiast objętościowe natężenie ełw wnosi: Q h 0 ( h) d 3 h 3 Uwaga: oównwani wników skanch dla ełw w kanale otwatm tmi dla ełw Poiseille należ wiąć od wagę óżnice w jętm kładie wsółędnch.