Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2 +y 2 4 1 2 y 2 d j y z = + y 2 + z 3 e k y = siny f l y z = arcsin 2 + y 2 + z 2 4 Zadanie 2 Znaleźć poziomice wykresów podanych funkcji a następnie użyć ich do naszkicowania tych wykresów: a f y = 2 + y 2 b g y = siny c h y = 9 2 y 2 d j y = e y e k y = 3 2 + y 2 f l y = 4 2 y 2 g m y = 1 2 2 + 4y y 2 h n y = 8 4 2y Zadanie 3 Podać wzory na możliwe złożenia podanych funkcji: 1 f y z = y 3 z g y = y 1 h y = 2 y + 2y Definicja 1 Funkcję f : X Y nazywamy: a iniekcją/funkcją różnowartościową 1 1 jeżeli 1 n D f 1 2 f 1 f 2 b surjekcją na jeżeli y Y X f = y c bijekcją/funkcją wzajemnie jednoznaczną jeżeli jest 1 1 i na Zadanie 4 Określić na jakich zbiorach działa podana funkcja a następnie zbadać czy jest ona 1 1 i na : a f y = 3 2y 2 b f y z = 2 y z 1 c f y z = z 2z 0 d g y z = 2 y 5 1
Definicja 2 Ciąg a k} = k=1 ak 1 ak 2 ak n R n jest zbieżny do a = a 1 a 2 a n w R n d jeżeli ε>0 N N k>n da k a < ε co oznaczamy k ak = a Zadanie 5 Zbadać z definicji czy podany punkt jest granicą ciągu: a a = 0 0 a k = 1 k 1 k d b = 0 1 0 b k = 1 k 2 1 1 k b a = 0 1 2 a k = 3 k 1 1 k 2 2 + 1 k k c a = 1 0 a k 4 + 1 + k = k 4 1 + 1 k e b = 1 1 1 b k = f b = 1 2 3 b k = k 2 + 1 k 2 1 1 k 3 1 + 2 k 3 k 3 + 4 k 3 k2 + k k 3 3k + 1 k Twierdzenie 1 Zbieżność w R 2 : Ciąg P n } = n y n jest zbieżny do punktu P 0 = 0 y 0 n = 0 y n = y 0 Zbieżność w R k : Ciąg n } n=1 = n 1 n 2 n k Rk jest zbieżny do = 1 2 k w R k d e i 12k} ciąg n i }jest zbieżny do i Zadanie 6 Zbadać czy podane ciągi punktów na płaszczyźnie lub w przestrzeni są zbieżne Dla ciągu zbieżnego wskazać jego granicę: n 1 a n 1 n sinn 1 n 1 b 2 cos 2 n 2n c n 4n 1 d 1n 3 e arcsin n 2 1 n n 2 ln + 1 n + 1 f n n 1 + 1 n sin2πn n 2 n 2 n + 1 πn 2 + 1 g arcsin n 2 sin + 2n + 1 2n π h 1 n sin n n 2 Zadanie 7 Naszkicować na płaszczyźnie kilka początkowych wyrazów ciągów i wskazać krzywe do których należą wyrazy tych ciągów: a n y n = b n y n = n 1 n n 2 n 4 3n 2 + 1 c n y n = 2 n 3 n d n y n = nπ 2cos 6 nπ 2sin 6 2
Definicja 3 Granica funkcji w R n Niech A R n f : A R k będzie funkcją n zmiennych o wartościach wektorowych tzn R k f 1 2 n = f 1 1 2 n f 2 1 2 n f k 1 2 n f i : A R Niech będzie punktem skupienia zbioru A w R n g R k jest granicą f w punkcie H n} A\} n = fn = g C ε>0 δ>0 0 < d < δ d f g < ε Uwaga 1 Granicę funkcji w R oraz w R 2 definiujemy następująco: f = g n} S0 n = 0 f 0 n = g f y = g ny n} S 0 y 0 n y n = 0 y 0 f n y n = g y 0 y 0 Zadanie 8 Obliczyć granice podanych funkcji: 1 a 2 + y 2 sin y b y 10 c d e f g cos π 2 + y 2 1 + 2 + y 2 1 2 +y 2 3 2 + y 2 25 2 y 2 5 2 + y 2 1 cos 2 + y 2 2 + y 2 yln 2 + y 2 h i j y k l m 2 y 2 2 + y 2 e 1 2 +y 2 2 + y 2 + y 2 y + y 2 1 cos 2 + y 2 2 + y 2 2 1 cos 2 2 + y 2 2 + y 2 2 siny Zadanie 9 Pokazać że podane funkcje nie posiadają granicy: a b c + y y 2 + y 2 y 3 2 + 2y 2 d y 11 e y π0 + y 2 2 + y 2 2 sin 2 y 2 f g 2 y 4 + y 2 3 y h i 4 + y 4 2 + y podpowiedź: n y n = 0 1 n n y n = n+1 n 1 n 2 y 2 + y 3 podpowiedź: n y n = 1 n 0 n y n = 1 n 3 n+1 n 3
Twierdzenie 2 granice iterowane Niech f = f y będzie określona w obszarze M zawierającym A B takim że a jest punktem skupienia A b jest punktem skupienia B oraz a b jest punktem skupienia M Jeśli istnieje granica podwójna g = a y ab f y to istnieje też grania iterowana f y = g y b a Zadanie 10 Obliczyć następujące granice iterowane: a 0 y 0 b y 0 0 c 0 y 0 siny siny y 3 + 2y Zadanie 11 Niech f y = + ysin Pokazać że: 1 cos f y oraz dla każdego y istnieje skończona d y 0 0 e 0 y 0 f y 0 0 y 3 + 2y + y + y 1 y g y = a granica podwójna funkcji f w 0 0 istnieje a granica iterowana - nie b granica iterowana funkcji g w 0 0 istnieje a granica podwójna - nie Uzasadnić czy jest to sprzeczne z powyższym twierdzeniem 2 y 2 2 y 2 y 2 Definicja 4 Ciągłość funkcji - R n Niech f : X d Y d 0 X Mówimy że funkcja f jest ciągła w 0 H n} X n = 0 f n = f 0 C ε>0 δ>0 X d 0 < δ d f f 0 < ε C ε>0 δ>0 X K 0 δ f Kf 0 ε U Y U OY f 1 U OX Zadanie 12 Zbadać ciągłość funkcji korzystając z definicji: a f y = + y + 1 b f y = 2017 Zadanie 13 Zbadać ciągłość podanych funkcji Jeżeli nie są ciągłe podać zbiór punktów nieciągłości: a f y = y 2 +y 2 dla y 0 0 0 dla y = 0 0 b f y = 4 y 4 4 +y 4 dla y 0 0 0 dla y = 0 0 4
c f y = d f y = e f y = f f y = y 2 2 +y 4 dla y 0 0 0 dla y = 0 0 + y dla > 0 2 + y 2 dla 0 sin dla y 0 1 dla y < 0 +y 2 y 2 dla y 2 dla = y g f y = h f y = i f y = 1 2 + y 2 dla 2 + y 2 < 1 2 + y 2 1 dla 2 + y 2 1 1 2 y 2 dla 2 + y 2 1 0 dla 2 + y 2 > 1 2 + y 2 dla 0 2 dla < 0 j f y z = y + 1 2 + z 2 1 k f y = sin 2 + y 2 Zadanie 14 Uzupełnić wzór funkcji tak aby otrzymana funkcja była ciągła w R 2 : 0 dla 0 y R a f y = 1 dla > 1 y R dla 0 < 1 y R + y dla 0 y R b f y = siny dla 1 y R dla 0 < < 1 y R + y dla 2 + y 2 < 1 c f y = e + e y dla 2 + y 2 > 2 dla 1 2 + y 2 2 1 dla < 1 d f y = 2 + 7 dla > 1 dla 1 1 e f y = 2 + y 2 dla 2 + y 2 1 2 dla 2 + y 2 4 dla 1 < 2 + y 2 < 4 Bibliografia: 1 J Banaś S Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej WNT Warszawa 2001 2 R Duda Wprowadzenie do topologii cz I PWN Warszawa 1986 3 G M Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy tom 1 PWN Warszawa 1999 4 W Krysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach cz I i II PWN Warszawa 1986 5 F Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych PWN Warszawa 1977 6 W Rudin Podstawy analizy matematycznej PWN Warszawa 2002 7 R Rudnicki Wykłady z analizy matematycznej PWN Warszawa 2010 5