Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Transkrypt

1 Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla dowolnych x X, y 1, y 2 Y z faktu, że (x, y 1 ), (x, y 2 ) f wynika, że y 1 = y 2. Fakt, że f X Y jest funkcją oznaczamy jako f : X Y. Niech f : X Y będzie funkcją. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Mówimy, że f jest różnowartościowa (injekcja), o ile dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Jeśli A X, to definiujemy obraz zbioru A poprzez funkcję f jako f(a) := {f(x) : x X} Y. Jeśli B Y, to definiujemy przeciwobraz zbioru B poprzez funkcję f jako f 1 (B) := {x X : f(x) B} X. Mówimy, że f jest na (surjekcja), o ile f(x) = Y, tzn. dla dowolnego y Y istnieje x X taki, że f(x) = y. Mówimy, że f jest bijekcją, o ile f jest różnowartościowa i na. Jeśli f : X Y oraz g : Y Z, to definiujemy superpozycję (złożenie) odwzorowań g f : X Z wzorem (g f)(x) = g(f(x)), x X. 1

2 Funkcja f : X Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna, tj. funkcja g : Y X taka, że g f = Id X, f g = Id Y. Funkcja odwrotna do f jest jedyna i oznaczamy ją przez f 1. Jeżeli A X, to funkcją charakterystyczną zbioru A nazywamy funkcję χ A = 1 A : X {0, 1} daną wzorem 1, gdy x A, χ A (x) = 1 A (x) := 0, gdy x / A. Zadanie 1. Zbadać, czy poniższe relacje są funkcjami: (a) R R R, (x, y) R x 2 = y 2, (b) R [0, ) [0, ), (x, y) R x 2 = y 2, (c) R N Z, (x, y) R x 2 = y 3, (d) R N Z, (x, y) R x 3 = y 2. Zadanie 2. Niech funkcja f : R Z będzie określona wzorem f(x) = [x] + 1, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x R. (b) Znaleźć: f 1 ({0}), f 1 (Z \ N), f({ 2, 2, 2 2}), f([0, )). Zadanie 3. Sprawdź, że jeśli A X, to funkcja charakterystyczna χ A jest na. Zadanie 4. Niech f : X Y i g : Y Z będą przekształceniami różnowartościowymi. Udowodnić, że g f : X Z jest także różnowartościowe. Zadanie 5. Podać przykład zbioru X i odwzorowania f : X X, które jest: (a) surjekcją i nie jest injekcją, (b) injekcją i nie jest surjekcją. Zadanie 6. Wykazać, że jeśli X jest zbiorem skończonym, to funkcja f : X X jest surjekcją dokładnie wtedy, gdy jest injekcją. Zadanie 7. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem f(x) = x 2 3x+2. Znaleźć: f({1, 2}), f([0, 1]), f([ 2, 1]), f 1 ({ 3}), f 1 ({ 4}), f 1 ((, 6]). Zadanie 8. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem f(x) = x 2 + x 2. Znaleźć: f(r), f([0, )), f 1 ({0}), f 1 (R \[0, )), f 1 ([ 1, 0]). Zadanie 9. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem f(x) = x 3 x 2 x 1. 2

3 (b) Znaleźć: f([3, )), f 1 ({0}), f 1 ({ 1, 2}), f 1 (R). Zadanie 10. Niech funkcja f : N 2 N będzie określona wzorem f((n, k)) = n + k + 1. Czy f jest injekcją? (b) Znaleźć f(n {1}) i f 1 ({0}). (c) Znaleźć f 1 (P ar), gdzie P ar jest zbiorem wszystkich liczb parzystych. Zadanie 11. Niech funkcja f : N 2 N będzie określona wzorem f((n, k)) = nk. (b) Znaleźć: f(n {2}), f 1 ({0}), f 1 (P ar), f 1 ({2 n n N}). Zadanie 12. Niech funkcja f : N 2 N będzie określona wzorem f((n, k)) = n 2 + k 2. Czy f jest injekcją? (b) Znaleźć f 1 ({0}) i f 1 ({24}). Zadanie 13. Niech funkcja f : N 2 N będzie określona wzorem f((n, k)) = max(n, k). Czy f jest injekcją? (b) Znaleźć f 1 ({k}) dla k N i f(p ar N). Zadanie 14. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem f(x) = sin x + 1. Znaleźć: f([0, 3π]), f({0, π}), f({ 1π, 1π}), f 1 ({0}), f 1 (( 1, )) Zadanie 15. Niech R[t] oznacza zbiór wszystkich wielomianów zmiennej t nad liczbami rzeczywistymi, zaś R n [t] R[t] zbiór wszystkich wielomianów stopnia n. Niech funkcja f : R[t] R[t] będzie określona wzorem f(φ) = φ 2. Znaleźć: f(r 0 [t]), f 1 ({t 2 +2t+1}), f 1 ({t 2 + 2t + 2}), f 1 (R 4 [t]). Zadanie 16. Niech funkcja f : R[t] C będzie określona wzorem f(φ) = φ(i). (a) Czy f jest injekcją? Czy f jest surjekcją? (b) Znaleźć f 1 ({0}) i f 1 (R). Zadanie 17. Niech M n (R) będzie zbiorem wszystkich macierzy kwadratowych rozmiaru n 2, zaś φ : M n (R) R funkcją taką, że φ(a) = det A. (a) Czy φ jest injekcją? Czy φ jest surjekcją? 3

4 (b) Znaleźć obraz zbioru wszystkich takich macierzy, że pierwszy element pierwszego wiersza jest równy 0. Zadanie 18. Niech funkcja f : R 2 R 2 będzie określona wzorem f((x, y)) = (x+y, x y). Czy f jest injekcją? (b) Znaleźć obraz prostej y = x + 1. (c) Znaleźć f((0, 0)) oraz f 1 ((0, 0)). Zadanie 19. Niech f : X Y będzie dowolną funkcją, zaś A, B X. Pokazać, że: (a) f(a B) = f(a) f(b), (b) f(a B) f(a) f(b) i ta inkluzja na ogół jest właściwa, (c) f(a) \ f(b) f(a \ B) i ta inkluzja na ogół jest właściwa, (d) A f 1 (f(a)), (e) jeśli A B, to f(a) f(b). Zadanie 20. Niech f : X Y będzie dowolną funkcją, zaś A, B Y. Pokazać, że: (a) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), (b) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), (c) f 1 (A) \ f 1 (B) = f 1 (A \ B), (d) jeśli A B, to f 1 (A) f 1 (B), (e) f(f 1 (A)) = A f(x). Zadanie 21. Niech f : R R będzie funkcją. W poniższych przykładach zbadać, czy f jest injekcją i czy jest surjekcją. Jeśli okaże się, że f nie jest injekcją, to wskazać takie różne x 1, x 2 R, że f(x 1 ) = f(x 2 ), a jeśli f nie jest surjekcją, obliczyć f(r). (a) f(x) = 2 x, ogólniej: f(x) = a x, dla a > 0, (b) f(x) = x 3, ogólniej: f(x) = x n, dla n N, (c) f(x) = [x], gdzie [x] jest częścią całkowitą liczby x R, 2x 1 (d) f(x) =, gdy x 1 x 1 0, gdy x = 1, 4 (e) f(x) = 2 x + x, (f) f(x) = 3 x 2 x,

5 (g) f(x) = 2x, x 2 +1 (h) f(x) = x 3 x 2, x + 1, gdy x [0, ) (i) f(x) = 2x, gdy x R \[0, ), xln x, gdy x 0 (j) f(x) = 0, gdy x = 0, (k) f(x) = x 4 5x 2 + 4, (l) f(x) = x2 x 1, (m) f(x) = sin x. Zadanie 22. Pokaż, że podane funkcje są bijekcjami i podaj ich odwrotności: (a) f : R R, f(x) = ax + b dla a 0, (b) f : R R, f(x) = a x dla a 0, (c) f : [0, ) R, f(x) = x a dla a 0. Zadanie 23. W poniższych przykładach znajdź superpozycję g f i oblicz (g f)(a), (g f)(b): (a) f : R R, f(x) = x + 1; g : R Z, g(x) = [x 1 ]; A = [0, 1), B = [0, ), 3 (b) f : N R, f(n) = n; g : R R, g(x) = x 4 x 2 ; A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {0, 1}, (c) f : Z Z, f(k) = k 2 ; g : Z R, g(x) = e x ; A = N, B = {2k k N}. Zadanie 24. Niech f : X Y będzie dowolną funkcją. Pokazać, że f(f 1 (A)) = A dla dowolnego A Y dokładnie wtedy, gdy f jest przekształceniem na. Zadanie 25. Pokaż, że podzbiory B i C zbioru A są równe dokładnie wtedy, gdy ich funkcje charakterystyczne są równe. 5