Wykład 2: Szeregi Fouriera

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową o okresie (tzn. f(t + ) = f(t) dla każdego t R) oraz całkowalną na przedziale [, ]. Definiujemy ciągi (a n ), (b n ): Szereg postaci a = a n = b n = f(t)dt, ( ) t f(t) cos dt, ( ) t f(t) sin dt, n =,,... a + ( ( ) ( )) t t a n cos + b n sin n= nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f(t). Uwaga. Jeżeli f(t) jest funkcją parzystą na przedziale [, ], to b n = dla każdego n =,,... i w szeregu Fouriera tej funkcji nie występują sinusy. Jeżeli f(t) jest funkcją nieparzystą na przedziale [, ], to a n = dla każdego n =,,,... i w szeregu Fouriera tej funkcji nie występują cosinusy i wyraz początkowy.

2 wierdzenie: Załóżmy, że f(t) określona na R, ograniczona, okresowa o okresie spełnia warunki Dirichleta tzn. () przedział [, ] można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że f(t) jest ciągła i monotoniczna na wnętrzu każdego z nich; () dla każdego t mamy f(t ) + f(t+) f(t) =, gdzie granice f(t±) = lim f(x) są właściwe. x t± Wtedy dla każdego t mamy f(t) = a + n= ( a n cos ( ) ( )) t t + b n sin gdzie po prawej stronie równości znajduje się szereg Fouriera funkcji f. Uwaga. Warunek () jest spełniony w każdym punkcie ciągłości funkcji f. W punktach nieciągłości oznacza on, że zakładamy występowanie jedynie nieciągłości pierwszego rodzaju i że jako wartość funkcji w takim punkcie przyjmujemy średnią arytmetyczną granic jednostronnych. eza twierdzenia zachodzi także, gdy przyjmiemy inne założenia o funkcji f, np. zamiast () założyc można, że f jest kawałkami klasy C (ciągła lub nieciągła).

3 Zespolony szereg Fouriera: Inna postać szeregu Fouriera to gdzie f(t) = c n = n= πt in c n e, πt in f(t)e dt. (Symbol e ix oznacza liczbę zespoloną cos x + i sin x w tzw. postaci wykładniczej.) Zauważmy, że c = a, c n = a n ib n oraz c n = a n + ib n dla n. Interpretacja: t - czas f(t) - sygnał okresowy (c n ) - widmo sygnału f ( ) ( ) t t cos, sin to funkcje okresowe o okresie n. Mają ν = n w odcinku [, ], czyli częstotliwość ν Hz (ν okresów na sekundę). okresów 3

4 Przykład : Sygnał o przebiegu prostokątnym, okresowy o okresie : dla < t < f(t) = dla < t < dla t =,,. Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta. Na przedziale [, ] jest to funkcja nieparzysta. Zatem a n = dla każdego n =,,.... Obliczamy b n : b n = ( ) t f(t) sin dt = = ( cos()) = ( ( )n ) = ) dt = ( t sin { 4 dla n = k dla n = k ( ) ( t cos ), k =,,... = Zatem sygnał prostokątny rozwija się w następujący szereg Fouriera: f(t) = ( ) n ( ) t sin = 4 ( ) (k )πt π n= n π k= k sin sygnal o przebiegu prostokatnym.5 3 ilosc skladnikow N= ilosc skladnikow N=,, ilosc skladnikow N= 4

5 Przykład : Sygnał trójkątny, okresowy o okresie : { t dla < t f(t) = t dla t <. Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta. Na przedziale [, ] jest to funkcja parzysta. Zatem b n = dla każdego n =,,.... Obliczamy a n : a = f(t)dt = tdt = ( ) t f(t) cos dt = a n = = ( ) ( ) t cos ( ) t t cos dt = = (( )n ) n π = ( ) ( ) t t sin { 4 n π dla n = k dla n = k, k =,,... Zatem sygnał trójkątny rozwija się w następujący szereg Fouriera: f(t) = + ( ) n ( ) t cos = π n= n 4 ( ) (k )πt π k= (k ) cos ( ) t sin dt = sygnal trojkatny ilosc skladnikow N= ilosc skladnikow N= ilosc skladnikow N= 5

6 Przykład 3: Sygnał o przebiegu piłowym, okresowy o okresie : f(t) = Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta. { t dla < t < dla t =,. Na przedziale [, ] jest to funkcja nieparzysta. Zatem a n = dla każdego n =,,.... Obliczamy b n : b n = ( t f(t) sin = ( ) n + ( t sin ) dt = ( t t sin ) = ) dt = ( )n+ ( ) ( ) t t cos + ( ) t cos dt = Zatem sygnał piłowy rozwija się w następujący szereg Fouriera: f(t) = ( ) n+ ( ) t sin π n= n sygnal o przebiegu pilowym ilosc skladnikow N= ilosc skladnikow N=, ilosc skladnikow N= 6