SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

Transkrypt

1 Załącznik nr do Uchwały Senatu nr 30/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Rachunek różniczkowy i całkowy I Kod przedmiotu/ modułu* Wydział (nazwa jednostki prowadzącej kierunek) Nazwa jednostki realizującej przedmiot Kierunek studiów Poziom kształcenia Profil Forma studiów Wydział Matematyczno - Przyrodniczy Matematyka studia pierwszego stopnia ogólnoakademicki stacjonarne Rok i semestr studiów rok I, semestr 1, 2 Rodzaj przedmiotu Koordynator przedmiot podstawowy i kierunkowy dla kierunku matematyka prof. dr hab. Wiesław Śliwa Imię i nazwisko osoby prowadzącej / osób prof. dr hab. Wiesław Śliwa prowadzących * - zgodnie z ustaleniami na wydziale 1.2.Formy zajęć dydaktycznych, wymiar godzin i punktów ECTS Wykł. Ćw. Konw. Lab. Sem. ZP Prakt. Inne ( jakie?) Liczba pkt ECTS 0 (60+60) 0 (60+60) 22 (11+11) 1.3. Sposób realizacji zajęć zajęcia w formie tradycyjnej zajęcia realizowane z wykorzystaniem metod i technik kształcenia na odległość 1.. Forma zaliczenia przedmiotu/ modułu ( z toku) ( egzamin, zaliczenie z oceną, zaliczenie bez oceny) ZALICZENIE Z OCENĄ; EGZAMIN DWUCZĘŚCIOWY - PISEMNY Z ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ I USTNY Z TEORII 2.WYMAGANIA WSTĘPNE Znajomość liczb wymiernych i działań algebraicznych na nich. Umiejętność rozwiązywania równań i nierówności z jedną niewiadomą i przeprowadzania przekształceń równoważnych. 3. CELE, EFEKTY KSZTAŁCENIA, TREŚCI PROGRAMOWE I STOSOWANE METODY DYDAKTYCZNE 3.1. Cele przedmiotu/modułu Zapoznanie studentów z aksjomatyką, konstrukcją i własnościami zbioru liczb rzeczywistych, z pojęciem C1 kresu dolnego i górnego oraz z pojęciem funkcji i jej podstawowymi własnościami. C2 Zapoznanie studentów z definicjami, przykładami i twierdzeniami dotyczącymi ciągów i szeregów liczbowych, z kryteriami zbieżności i z metodami badania zbieżności ciągów i szeregów liczbowych.

2 C3 C C5 Zapoznanie studentów z podstawami teorii funkcji rzeczywistych jednej zmiennej z granicami funkcji, z ciągłością i różniczkowalnością funkcji oraz z zastosowaniami pochodnej do badania przebiegu zmienności funkcji. Zapoznanie studentów z całką nieoznaczoną (funkcją pierwotną) i metodami jej obliczania, z całką Riemanna funkcji rzeczywistej jednej zmiennej i z jej zastosowaniami w geometrii i w fizyce oraz z całką niewłaściwą. Zapoznanie studentów z ciągami i szeregami funkcyjnymi, w tym z szeregami potęgowymi i szeregami Fouriera oraz z kryteriami zbieżności punktowej i jednostajnej szeregów funkcyjnych. 3.2 EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA PRZEDMIOTU/ MODUŁU ( WYPEŁNIA KOORDYNATOR) EK ( efekt kształcenia) EK_01 EK_02 EK_03 EK_0 EK_05 EK_06 EK_07 Treść efektu kształcenia zdefiniowanego dla przedmiotu (modułu) Zna aksjomatykę, konstrukcję i własności zbioru liczb rzeczywistych; zna definicje i własności kresu dolnego i górnego; zna konsekwencje aksjomatu kresu górnego. Zna definicję funkcji; umie badać podstawowe własności funkcji; potrafi składać funkcje i wyznaczać funkcje odwrotne. Zna definicję ciągu liczbowego i podstawowe pojęcia z nim związane. Zna podstawowe twierdzenia dotyczące zbieżności ciągów i ich granic. Zna działania algebraiczne na ciągach i ich granicach. Zna definicję liczby Eulera e ( jako granicy pewnego ciągu). Potrafi udowodnić zbieżność elementarnych ciągów i obliczyć ich granice. Zna definicję szeregu liczbowego i podstawowe pojęcia z nim związane. Zna kryteria zbieżności szeregów i umie je stosować do badania zbieżności różnych szeregów (o wyrazach dodatnich, naprzemiennych i dowolnych). Zna działania algebraiczne na szeregach i ich sumach. Wie kiedy zmiana kolejności wyrazów szeregu nie ma wpływa na jego zbieżność i sumę. Zna definicję granicy funkcji. Zna własności granic funkcji oraz podstawowe twierdzenia dotyczące granic funkcji. Umie obliczać granice elementarnych funkcji. Zna definicję ciągłości funkcji (punktowej i jednostajnej). Wie, że operacje algebraiczne na funkcjach ciągłych prowadzą do funkcji ciągłych. Zna twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej i złożonej. Zna własności funkcji ciągłej na zbiorze spójnym i na zbiorze zwartym. Potrafi udowodnić ciągłość elementarnych funkcji. Zna pojęcie pochodnej funkcji oraz własności funkcji różniczkowalnych. Potrafi badać różniczkowalność elementarnych funkcji. Umie obliczać pochodne pierwszego i wyższych rzędów. Zna twierdzenia o wartości średniej i ich konsekwencje. Potrafi stosować rachunek różniczkowy do badania przebiegu zmienności funkcji. Zna regułę de l Hopitala i potrafi ją używać do obliczania granic funkcji. Zna podstawowe metody obliczania całek nieoznaczonych (przez części oraz przez podstawienie). Potrafi obliczać całki nieoznaczone z funkcji wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych. Zna definicję i podstawowe własności całki Riemanna; zna podstawowe twierdzenia o całkowalności funkcji w sensie Riemanna. Zna związek miedzy całką Riemanna, a całką nieoznaczoną (funkcją pierwotną). Potrafi stosować całkę Riemanna do rozwiazywania problemów geometrycznych i Odniesienie do efektów kierunkowych (KEK) K_U02; K_U07; K_U08; K_K01; K_U02; K_K01; K_U02; K_K01; K_U02; K_U07; K_U08; K_K01; K_U02; K_U07; K_U08; K_U09; K_K01; K_U02; K_U10; K_K01; K_U02; K_U10; K_K01;

3 EK_08 EK_09 EK_10 EK_11 fizycznych. Zna definicje całek niewłaściwych różnego typu i ich podstawowe własności. Zna kryteria zbieżności całek niewłaściwych i potrafi je stosować; zna najważniejsze przykłady całek niewłaściwych i ich zastosowania do badania zbieżności szeregów liczbowych. Zna definicje zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych. Zna podstawowe twierdzenia o ciągłości, całkowalności i różniczkowalności granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu funkcyjnego. Zna kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych i umie je stosować. Zna definicję i własności szeregu potęgowego. Potrafi rozwijać funkcje w szereg potęgowy; zna rozwinięcia w szereg potęgowy podstawowych funkcji. Zna twierdzenia o różniczkowalności i całkowalności szeregów potęgowych. Zna definicję szeregu Fouriera. Umie rozwijać funkcje w szereg Fouriera. Zna twierdzenie o zbieżności punktowej szeregu Fouriera. Potrafi formułować pytania służące lepszemu zrozumieniu pojęć, przykładów i twierdzeń (i ich dowodów) z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego oraz wyrażać własne opinie na temat jego podstawowych zagadnień. Znajduje zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego w różnych dziedzinach życia i wiedzy. Zna ograniczenia własnej wiedzy i własnych zdolności; rozumie potrzebę dalszego kształcenia się. Samodzielnie wyszukuje w literaturze i w Internecie informacje dotyczące rachunku różniczkowego i całkowego. K_U02; K_K01; K_U23; ; K_K06 K_U01; K_U09 K_U26; K_K01; K_K TREŚCI PROGRAMOWE (wypełnia koordynator) A. Problematyka wykładu Treści merytoryczne Zbiory liczbowe Aksjomatyka i konstrukcja zbioru R wszystkich liczb rzeczywistych. Kresy ograniczonych podzbiorów zbioru R. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Definicja. Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres funkcji. Podstawowe własności funkcji. Funkcje elementarne. Funkcje złożone. Funkcje odwrotne. Przykłady. Ciągi liczbowe Definicje i własności ciągów zbieżnych, ograniczonych i monotonicznych. Ciągi Cauchy'ego. Własności arytmetyczne granicy ciągu. Liczba e jako granica ciągu liczbowego. Monotoniczność granicy. Granice niewłaściwe i wyrażenia nieoznaczone. Podciągi. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Granice częściowe ciągów. Szeregi liczbowe Zbieżność i rozbieżność szeregów. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych. Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregów. Twierdzenia Leibniza i Abela. Działania na szeregach zbieżnych. Granica funkcji Granica funkcji w punkcie i w nieskończoności (definicje Heinego i Cauchy'ego). Granice jednostronne. Własności granic funkcji w punkcie. Asymptoty wykresu funkcji. Przykłady. Ciągłość funkcji Ciągłość funkcji w punkcie oraz na zbiorze. Nieciągłości. Ciągłość funkcji elementarnych. Ciągłość punktowa i ciągłość jednostajna funkcji. Liczba godzin 8

4 Własności funkcji ciągłych w przedziale domkniętym i ograniczonym. Różniczkowalność funkcji 1 Pochodna funkcji w punkcie. Definicja i interpretacje. Twierdzenia o pochodnych i reguły różniczkowania. Ciągłość, a różniczkowalność. Pochodne funkcji elementarnych. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego) i ich zastosowania. Reguły de l'hopitala. Pochodna jako funkcja. Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora. Zastosowania Badanie przebiegu zmienności funkcji 8 Monotoniczność funkcji. Ekstrema lokalne funkcji, wartość największa i najmniejsza funkcji. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Zastosowania. Całka nieoznaczona 1 Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona definicja, własności. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Całkowanie funkcji wymiernych, niewymiernych, trygonometrycznych. Całka Riemanna 10 Całka Riemanna (całka oznaczona). Własności i interpretacja geometryczna całki. Metody obliczania. Zastosowania rachunku całkowego do geometrii i mechaniki. Całki niewłaściwe 6 Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych. Kryteria zbieżności. Kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych. Ciągi i szeregi funkcyjne Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Własności funkcyjne granicy ciągu (szeregu) funkcyjnego zbieżnego jednostajnie(różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych). Szeregi potęgowe. Promień zbieżności szeregów potęgowych. Rozwinięcie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina. Szeregi Fouriera Rozwijanie funkcji 2 -okresowych w szereg Fouriera. Przykłady i zastosowania. Suma godzin 0 B. Problematyka ćwiczeń audytoryjnych, konwersatoryjnych, laboratoryjnych, zajęć praktycznych Treści merytoryczne Zbiory liczbowe: aksjomatyka Peano liczb naturalnych; zasada indukcji matematycznej; kresy podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych; własności wartości bezwzględnej. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej: dziedzina funkcji, podstawowe własności funkcji; funkcje elementarne i złożone; funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne; funkcje trygonometryczne i cyklometryczne Ciągi liczbowe: definicja i przykłady wyznaczania granic ciągów liczbowych; własności arytmetyczne granic ciągów; twierdzenia o trzech ciągach, o ciągach monotonicznych i ograniczonych; ciągowa definicja liczby e; granice częściowe. Szeregi liczbowe: definicja zbieżnego i rozbieżnego szeregu liczbowego; warunek konieczny zbieżności i warunek Cauchy'ego; kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych; zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregów o wyrazach dowolnych; działania na szeregach zbieżnych; zastosowania. Liczba godzin 8

5 Granica funkcji: definicje i wyznaczanie granic funkcji w punkcie i w 8 nieskończoności; asymptoty wykresu funkcji. Ciągłość funkcji: ciągłość funkcji w punkcie; ciągłość jednostronna; punkty 6 nieciągłości. Cztery sprawdziany pisemne w I semestrze Różniczkowalność funkcji : pochodna funkcji w punkcie; obliczanie 8 pochodnych przy użyciu reguł różniczkowania; pochodne wyższych rzędów; wzór Taylora. Wyrażenia nieoznaczone: reguła de l'hospitala i jej zastosowania. Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność funkcji; ekstrema 8 lokalne funkcji, wartość największa i najmniejsza funkcji; przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji, punkty przegięcia; sporządzanie wykresu funkcji. Całki nieoznaczone: funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, podstawowe wzory; całkowanie przez części i przez podstawienie; metody całkowania funkcji wymiernych, niewymiernych, trygonometrycznych. Całki oznaczone: metody obliczania całek oznaczonych; zastosowania całek 10 oznaczonych w geometrii i w fizyce. Całki niewłaściwe: całki niewłaściwe o granicach nieskończonych 6 definicje zbieżności i rozbieżności; całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych definicje; kryteria zbieżności całek niewłaściwych. Ciągi i szeregi funkcyjne: obszar zbieżności punktowej; zbieżność 10 jednostajna; kryteria zbieżności jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych; własności granic ciągów funkcyjnych i sum szeregów funkcyjnych zbieżnych jednostajnie ; szeregi potęgowe i ich zbieżność, rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe. Szeregi Fouriera: szeregi Fouriera dla funkcji 2 -okresowych; szeregi Fouriera względem funkcji sinus i cosinus dla funkcji 2 -okresowych. Cztery sprawdziany pisemne w II semestrze Suma godzin 0 3. METODY DYDAKTYCZNE Wykład metodą tradycyjną; Ćwiczenia metodą tradycyjną Np.: Wykład: wykład problemowy/wykład z prezentacją multimedialną/ metody kształcenia na odległość Ćwiczenia: Analiza tekstów z dyskusją/ metoda projektów( projekt badawczy, wdrożeniowy, praktyczny/ praca w grupach/rozwiązywanie zadań/ dyskusja/ metody kształcenia na odległość Laboratorium: wykonywanie doświadczeń, projektowanie doświadczeń METODY I KRYTERIA OCENY.1 Sposoby weryfikacji efektów kształcenia Symbol efektu Metody oceny efektów kształcenia (np.: kolokwium, egzamin ustny, egzamin pisemny, projekt, sprawozdanie, obserwacja w trakcie zajęć) Forma zajęć dydaktycznych ( w, ćw, ) EK_ 01 Sprawdzian pisemny nr 1; egzamin pisemny i ustny Ćwiczenia; wykład EK_ 02 Sprawdzian pisemny nr 2; egzamin pisemny i ustny Ćwiczenia; wykład

6 EK_03 Sprawdzian pisemny nr 3; egzamin pisemny i ustny Ćwiczenia; wykład EK_0 Sprawdzian pisemny nr egzamin pisemny i ustny Ćwiczenia; wykład EK_05 Sprawdzian pisemny nr 5; egzamin pisemny i ustny Ćwiczenia; wykład EK_06 Sprawdzian pisemny nr 6; egzamin pisemny i ustny Ćwiczenia; wykład EK_07 Sprawdzian pisemny nr 7; egzamin pisemny i ustny Ćwiczenia; wykład EK_08 Sprawdzian pisemny nr 8; egzamin pisemny i ustny Ćwiczenia; wykład EK_09 Obserwacja i dialog ze studentami w trakcie zajęć Ćwiczenia; wykład EK_10 Obserwacja i dialog ze studentami w trakcie zajęć Ćwiczenia; wykład EK_11 Obserwacja i dialog ze studentami w trakcie zajęć Ćwiczenia; wykład.2 Warunki zaliczenia przedmiotu (kryteria oceniania) Ćwiczenia: po każdym semestrze zaliczenie na ocenę ( sprawdziany pisemne w semestrze; punkty za aktywność na ćwiczeniach). Wykład: po każdym semestrze egzamin dwuczęściowy pisemny z rozwiązywania zadań i ustny z teorii. 5. Całkowity nakład pracy studenta potrzebny do osiągnięcia założonych efektów w godzinach oraz punktach ECTS Aktywność godziny zajęć wg planu z nauczycielem Liczba godzin/ nakład pracy studenta 20 (I s. 60ćw. +60w.; II s. 60ćw.+60w. przygotowanie do zajęć 250 (I s. 5; II s. 5) udział w konsultacjach (I s. 6; II s. 6) czas na napisanie referatu/eseju przygotowanie do egzaminu 0 (I s. 20; II s. 20) udział w egzaminie 8 (I s. ; II s. ) Inne (jakie?) SUMA GODZIN 550 (I s. 275; II s. 275) SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS 22 (I s. 11; II s. 11) 6. PRAKTYKI ZAWODOWE W RAMACH PRZEDMIOTU/ MODUŁU wymiar godzinowy zasady i formy odbywania praktyk 7. LITERATURA Literatura podstawowa:

7 1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2015 (Tom 1), 2016 (Tom 2). 3. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 20.. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, Tom 1, Cz.1 i 2, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 2011 (Cz. 1), 2002 (Cz. 2). 7. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, A. Sołtysiak, Analiza matematyczna, Cz. 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 2009 (Cz.1), 200 (Cz.2). Literatura uzupełniająca: 1. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, M.T. Nowak, J.W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, Cz. 1, 2 i 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 i 2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 20.. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, Cz. 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2015.