Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Transkrypt

1 Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y. Funkcja f : X R przyjmuje w punkcie a D f, je»eli istnieje δ > 0 taka,»e dla ka»dego x D f : d(x, a) < δ f(x) f(a) i nazywamy je minimum lokalnym; d(x, a) < δ f(x) f(a) i nazywamy je maksimum lokalnym; d(x, a) < δ f(x) > f(a) i nazywamy je ±cisªym minimum lokalnym; d(x, a) < δ f(x) < f(a) i nazywamy je ±cisªym maksimum lokalnym. Minimum nazywamy globalnym, gdy f osi ga w a kres dolny warto±ci, a maksimum globalnym, gdy osi ga w a kres górny warto±ci. Twierdzenie 1. (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Je±li f : R n R ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne i jest w tym punkcie ró»niczkowalna to wszystkie pochodne cz stkowe tej funkcji w tym punkcie s równe zero, a co za tym idzie tak»e pochodna Df(x 0 ) jest równa zero. Taki punkt x 0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f. Punkt x 0 nazywamy punktem krytycznym, je»eli f nie jest w nim ró»niczkowalna albo jest w tym punkcie ró»niczkowalna i pochodna jest równa zero. Twierdzenie 2. Niech x i, i = 1, 2,..., k b d punktami stacjonarnymi funkcji f : R n R. Wtedy: a) je±li D 2 f(x i ) okre±la form kwadratow dodatnio okre±lon, to f ma min lokalne w x i, b) je±li D 2 f(x i ) okre±la form kwadratow ujemnie okre±lon, to f ma max lokalne w x i, c) je±li ta forma jest nieokre±lona, to f nie ma ekstremum w x i. 1

2 Zadanie 1. Korzystaj c z powy»szego twierdzenia znale¹ ekstrema podanych funkcji: a) f(x, y) = x 2 + y 2, b) f(x, y) = x 2 y 2, c) f(x, y) = x 2 + y 3, d) f(x, y) = x 2 + y 4, e) f(x, y) = x 2, f) f(x, y) = 1 x 2 + y 2. Twierdzenie 3 (Sylvestera). Niech f : R n R. Oznaczamy wyznaczniki od W 1 do W n, a 11 a a 1k a 21 a a 2k gdzie W k =....., a ij (x) = 2 f. x i x j (x), 1 k n. a k1 a k2... a kk i) macierz A(P ) = [a ij (P )] nxn jest dodatnio okre±lona, gdy W i (P ) > 0, 1 i n. ii) macierz A(P ) = [a ij (P )] nxn jest ujemnie okre±lona, gdy W i (P ) < 0, 1 i = 2k + 1 n oraz W i (P ) > 0, 1 i = 2k n. iii) w pozostaªych przypadkach macierz jest nieokre±lona. Wniosek 1. Niech f : U R klasy C 2, U R 2, P U. Je±li: 2 f (P ) 2 f x i) f(p ) = 0 oraz W 2 (P ) = 2 x y (P ) 2 f y x (P ) 2 f (P ) > 0 y 2 to f ma w punkcie P ekstremum lokalne. Je»eli a) W 1 (P ) = 2 f x 2 (P )>0 to jest to minimum lokalne, b) W 1 (P ) = 2 f x 2 (P )<0 to jest to maksimum lokalne. ii) W 2 (P ) < 0 to f nie ma ekstremum w P, iii) W 2 (P ) = 0 to kryterium nie rozstrzyga, czy f ma ekstremum w P. Zadanie 2. Znale¹ ekstrema lokalne podanych funkcji: a) f(x, y) = x 8 y 4, b) f(x, y) = xy, c) f(x, y) = (2x + y 2 )e x, d) f(x, y) = 3(x 1) 2 + 4(y + 2) 2, e) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy, f) f(x, y) = x 3 + 3xy 2 51x 24y, g) f(x, y) = e (x2 +y 2 +2x), h) f(x, y) = 2x 4 3y 7, i) f(x, y) = 2 3x 2 + 4y 2, j) f(x, y) = (x y + 1) 2 + (2x + y 4) 2. Punkty krytyczne: a) (0, 0), b) (0, 0), c) ( 1, 0), d) (1, 2), e) (0, 0), (1, 1), f) ( 4, 1), ( 1, 4), (1, 4), (4, 1), g) ( 1, 0), h) (0, 0), j)(1, 2). Zadanie 3. Znale¹ ekstrema lokalne podanych funkcji: a) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy 3x + 2z, b) f(x, y, z) = y 3 + z 3 x 2 + 3y 2 6z 2, c) f(x, y, z) = 2x 2 + y 2 + z 2 + 3yz + z, 2

3 d) f(x, y, z) = x 3 + xy + y 2 2xz + 2z 2 + 3y 1, e) f(x, y, z) = x 4 y 3 + 2z 3 2x 2 + 6y 2 3z 2, f) f(x, y, z) = x 2 + y 3 xz. Punkty krytyczne: a) (2, 1, 1), b) (0, 0, 0), (0, 2, 0), (4, 0, 0), (4, 2, 0), c) (0, 0.6, 0.4), d) ( 0.5, 1.25, 0.25), (1, 2, 0.5), e) (0, 0, 0), (0, 0, ±1), (0, 4, 0), (0, 4, ±1), (1, 0, 0), (1, 0, ±1), (1, 4, 0), (1, 4, ±1), f) (0, 0, 0). Zadanie 4. Znale¹ najmniejsze i najwi ksze warto±ci podanych funkcji na wskazanych zbiorach: a) f(x, y) = xy, x + y = 0, b) f(x, y) = (x + y) 2, x + y = 1, c) f(x, y) = x 2 + y 2, x + y 2, d) f(x, y) = (x2 1)(y 2 1) x 2 +y 2 +2 R 2, e) f(x, y) = x 4 + y 4, x 2 + y 2 9, f) f(x, y) = x 2 2y 2, x 2 + y 2 36, g) f(x, y) = x 2 y 8x 4y, ((0, 0), (0, 4), (4, 0)), h) f(x, y) = xy 2 + 4xy 4x, 3 x 3, 3 y 0. Zadanie 5. Pudeªko zapaªek o obj to±ci V = 24cm 3 ma si skªada z ramki i szuadki. Jakie powinny by jego wymiary, aby zu»y jak najmniej kartonu? W obliczeniach pomin grubo± kartonu i zakªadki do sklejania. Zadanie 6. Firma produkuje 2 wyroby w cenach P 1 = 60, P 2 = 30 z wielko±ci produkcji Q 1, Q 2. Funkcja kosztów wygl da nast puj co: C(Q 1, Q 2 ) = 2Q Q 1Q 2 + 2Q 2 2. Znale¹ wielko± produkcji, przy której zysk b dzie najwi kszy. Zadanie 7. Na pªaszczy¹nie a) x + 2y = 3z + 6, b) x + 2y 2z + 3 = 0, c) Ax + By + Cz + D = 0 znale¹ punkt le» cy najbli»ej punktu A) (0, 0, 0), B) (1, 0, 0). 3

4 Twierdzenie 4. (metoda mno»ników Lagrange'a) Niech G R n b dzie zbiorem otwartym, f : G R klasy C 1, ϕ = (ϕ 1, ϕ 2,, ϕ m ) : G R m klasy C 1, 1 m < n oraz (1) f(x 0 ) 0, (2) rz[ϕ (x 0 )] = m, (3) rz[ϕ (x)] = m dla x O(x 0 ) Je±li f ma w punkcie x 0 ekstremum warunkowe (z warunkami ϕ(x) = 0) to istniej λ 1, λ 2,, λ m R (mno»niki Lagrange'a) takie,»e A) funkcja L : U R, L(x) = f(x) + m i=1 λ iϕ i (x) speªnia warunek L x i (x 0 ) = 0 dla i = 1, 2,, m. B) je±li dodatkowo f, ϕ s klasy C 2 oraz [d 2 L(x 0 )h > 0 / d 2 L(x 0 )h < 0] dla h 0 speªniaj cego warunek n ϕ i j=1 x j (x 0 )h j = 0, i = 1, 2,, m to f ma w x 0 lokalne [minimum / maksimum] warunkowe silne. Zadanie 8. Stosuj c metod mno»ników Lagrange'a znale¹ ekstrema warunkowe funkcji f (pod warunkiem g): a) f(x, y) = x + y, g(x, y) = 1 x y 2 1 a 2 = 0, a > 0, b) f(x, y) = 1 a x + 1 b y, g(x, y) = x2 + y 2 1 = 0, c) f(x, y) = xy 2, g(x, y) = x + y 1 = 0, d) f(x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = ax + by = ab, e) f(x, y) = x y, g(x, y) = tg(x) tg(y) = 0, x, y [ 0, π 2 ], f) f(x, y) = cos 2 (x) + cos 2 (y), g(x, y) = x y π 4 = 0, g) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, g(x, y, z) = x + y + z 1 = 0, h) f(x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = 1 x + 1 y + 1 z 1 = 0, i) f(x, y, z) = xyz, g(x, y, z) = x + y + z 1 = 0, j) f(x, y, z) = x + z 2, g(x, y, z) = x + y 2 z 2 = 1, k) f(x, y, z) = x + y + 2z, g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, l) f(x, y, z) = xy 3 z 3, g(x, y, z) = x + 2y + 3z a = 0, x, y, z, a > 0, m) f(x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = (x 2 + y 2 1, x 2 + z 2 1) = (0, 0), n) f(x, y, z) = xyz, g(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 1, x + y + z) = (0, 0). 4

5 Twierdzenie 5. (o pochodnej funkcji zªo»onej) Niech f : G H b dzie odzworowaniem ró»niczkowalnym w punkcie x 0, a g : H R k odzworowaniem ró»niczkowalnym w punkcie y 0, y 0 = f(x 0 ), gdzie G = O(x 0 ) R m, H = O(y 0 ) R n. G x 0 f y 0 H g f g R k Wowczas odwzorowanie g f jest ró»niczkowalne w punkcie x 0 oraz zachodzi wzór: D(g f)(x 0 ) = D(g)(y 0 ) D(f)(x 0 ) = D(g)(f(x 0 )) D(f)(x 0 ). Zadanie 9. Obliczy pochodn zªo»enia w podanym punkcie: a) F : R 2 R, F (x 1, x 2 ) = x 2 1 x3 2, T : R R2, T (t) = x 0 + th, x 0 = [1, 2] T, h = [2, 3] T, t 0 = 0, b) F : R 3 R, F (x, y, z) = 1 + x + 2y z, T : R 2 R 3, T (x, y) = (2x, x + y, y 2 ), x 0 = [0, 0] T, c) F : R 4 R 3, F (x, y, z, u) = (xy, z + u, x), T : R 2 R 4, T (x, y) = (x, 2, y 2, x y), [0, 0] T. Twierdzenie 6. (o lokalnym odwracaniu odwzorowa«) Niech f : D R n, D R n klasy C 1, x 0 D i Df(x 0 ) jest odwracalna. Wtedy istniej otwarte otoczenia D U x 0 oraz V y 0 = f(x 0 ) takie,»e zaw»enie f : U V jest dyfeomorzmem klasy C 1. Wniosek 2. Je±li f : U V, U, V R n jest dyfeomorzmem to dla ka»dego x U, y = f(x) zachodzi wzór D(f 1 )(y) = [(Df)(x)] 1. Zadanie 10. Sprawdzi, czy odwzorowanie F : R n R n, n = 2, 3 jest lokalnie odwracalne w punkcie x 0 R n. Nast pnie wyznaczy pochodn odwzorowania odwrotnego F 1 w punkcie y 0 = F (x 0 ) oraz sprawdzi, czy F jest globalnie odwracalne: a) F (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2, x x2 2 ), x 0 = (1, 0), b) F (x 1, x 2 ) = (x x2 2, x 1 + x 2 ), x 0 = (1, 0), c) F (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 2, x2 1 + x 2), x 0 = (1, 1), d) F (x 1, x 2 ) = (e x 1+x 2, x 1 x 2 ), x 0 = (0, 0), e) F (x 1, x 2 ) = (x 4 1 x3 2, 2x2 1 5x2 2 ), x 0 = (1, 1), f) F (x 1, x 2 ) = (x 1 sin(x 2 ), x 1 x 2 ), x 0 = (1, π), g) F (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, x 1 cos(x 2 )), x 0 = (1, π 2 ), 5

6 h) F (x 1, x 2 ) = (3x 1 2x 2, x 1 + 4x 2 ), x 0 = (0, 0), i) F (x 1, x 2 ) = (x sin(x 1 x 2 ), x 1 cos(x 2 )), x 0 = (1, π), j) F (x 1, x 2 ) = (e x 1 cos(x 2 ), e x 1 sin(x 2 )), x 0 = (0, π), k) F (x 1, x 2 ) = (e 3x 1 x 2, x 1 2x 2 ), x 0 = (0, 0), l) F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 3x 2, e x 1 2x 2 ), x 0 = (0, 0), m) F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 + x 2 x 3, x 1 x 2, x 1 + x 2 + x 3 ), x 0 = (1, 1, 1). Denicja 2. Funkcj uwikªan okre±lon przez warunek F (x, y) = 0 nazywamy ka»d funkcj f = ϕ(x), speªniaj c równo± F (x, ϕ(x)) = 0 dla wszystkich x z pewnego przedziaªu I R. Podobnie okre±la si funkcj uwikªan x = ψ(y), gdzie y J R. Wówczas F x + F y y = 0 y = F x. F y Twierdzenie 7. (o funkcji uwikªanej) Niech U R n R m b dzie otwarty oraz f : U R m klasy C 1 taka,»e: (i) f(a, b) = 0 dla pewnego (a, b) U, [ (ii) det fi x j ]i=1,,n 0 j=n+1,n+2,,n+m Wówczas istniej zbiory otwarte V R n, W R m (a V, b W ) oraz funkcja g : V W taka,»e: a) x V f(x, g(x)) = 0, b) g C 1 (V ), c) x V punkt y = g(x) jest jedynym rozwi zaniem f(x, y) = 0 w zbiorze W. Twierdzenie 8. (o ekstremach funkcji uwikªanej) Niech f : U R, (x 0, y 0 ) U klasy C 2. Je±li: a) F (x 0, y 0 ) = 0, b) F x (x 0, y 0 ) = 0, F y (x 0, y 0 ) 0, c) A = 2 F x 2 (x 0,y 0 ) 0, F y (x 0,y 0 ) to funkcja uwikªana y = g(x) okre±lona przez równanie F (x, y) = 0 ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne wªa±ciwe, tzn: (I) minimum lokalne, gdy A > 0, 6

7 (II) maksium lokalne, gdy A < 0. Zadanie 11. Sprawdzi, w otoczeniu jakich punktów istnieje jednoznacznie okre±lona funkcja uwikªana: a) y = y(x) okre±lona przez F (x, y) = x 2 + 2xy y 2 = 0, b) x = x(y) okre±lona przez F (x, y) = x 2 + 2xy y 2 = 0, c) y = y(x) okre±lona przez F (x, y) = x cos(y) = 0, d) y = y(x) okre±lona przez F (x, y) = x 2 2 y 1 = 0, e) x = x(y) okre±lona przez F (x, y) = ln( x 2 + y 2 ) arctg ( y x) = 0, f) x = x(y) okre±lona przez F (x, y) = y x y + 1 = 0, g) z = z(x, y) okre±lona przez F (x, y, z) = xy + yz + zx = 0. Zadanie 12. Obliczy pierwsz (i drug ) pochodn funkcji uwikªanej y = y(x) okre±lonej: a) x 3 y xy 3 = a, a = const, b) xe y + ye x e xy = 0, c) x 2 y e 2y w punkcie e, gdy y(e) = 1, d) ye x + e y = 0, e) y 2 arctg(y) e y = 0, f) y sin(y) + x 2 = 0. Bibliograa: 1. J. Bana±, S. W drychowicz, Zbiór zada«z analizy matematycznej, WNT, Warszawa R. Duda, Wprowadzenie do topologii cz. I, PWN, Warszawa G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy (tom 1), PWN, Warszawa W. Krysicki, L. Wªodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. I i II, PWN, Warszawa F. Leja, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy ze wst pem do równa«ró»niczkowych, PWN, Warszawa W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa R. Rudnicki, Wykªady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa