SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Transkrypt

1 SIMR 06/07, Analiza, wykład, Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę rzeczywistą. Elementy przestrzeni wektorowej nazywamy wektorami. Definicja: Przestrzenią wektorową nazywamy trójkę (V, +, ), gdzie V - zbiór + : V V V : R V V są działaniami spełniającymi warunki:. Istnieje wektor 0 V taki, że (u V ) u + 0 = u : wektor zerowy. (u V )! (v V ) u + v = 0 : wektor v jest tylko jeden i oznaczmy go v = u 3. (u, v V ) u + v = v + u : przemienność 4. (u, v, w V ) u + (v + w) = (u + v) + w : łączność 5. (u V ) u = u 6. (u, v V ) ( λ R) λ (u + v) = λ u + λ v : rozdzielność 7. (λ, r R) (u V ) λ (r u) = (λr) u 8. (λ, r R) (u V ) (λ + r) u = λ u + r u : rozdzielność Przykłady przestrzeni wektorowych. V = R 3 działania są określone w następujący sposób: u = (u, u, u 3 ) V, v = (v, v, v 3 ) V, λ R u + v = (u + v, u + v, u 3 + v 3 ) λ u = (λu, λu, λu 3 ) Analogicznie można zdefiniować przestrzeń R k o dowolnym wymiarze skończonym.. Przestrzeń V = R k. W R k działania na wektorach są określone w następujacy sposób: x = (x, x,..., x k ) R k, x = (x, x,..., x k ) R k, λ R x + y = (x + y, x + y,..., x k + y k ) λ x = (λx, λx,..., λx k ) 3. Przestrzeń V = M m n macierzy o wyrazach rzeczywistych. Działania na macierzach są określone w zwykły sposób. 4. V = C, działania są określone w sposób naturalny: u, v C, u = u + iu, v = v + iv, u, u, v, v R, λ R u + v = (u + v ) = i(u + v ) λ u = λu + iλu

2 5. Przestrzeń ciągów o wyrazach rzeczywistych: V = {( x n )n N, x n R }. Działania na ciągach (wektorach ) są określone w następujacy sposób: x = (x, x, x 3... ), y = (y, y, y 3... ) R k, λ R x + y = (x + y, x + y, x 3 + y 3,... ) λ x = (λx, λx, λx 3,... ) 6. Przestrzeń funkcji f : D R : o dowolnej dziedzinie o wartościach rzeczywistych. Działania określamy następująco: u = u(x), v = v(x), λ R (u + v)(x) = u(x) + v(x), (x D) (λu)(x) = λu(x), (x D) Liniowo niezależny układ wektorów Definicja: Niech dana będzie przestrzeń wektorowa V. Układ wektorów u i V, i I nazywamy liniowo niezależnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego skończonego podzbioru {i, i,... i n } zbioru indeksów I i dla dowolnych liczb rzeczywistych λ, λ,... λ n zachodzi implikacja: λ u i + λ u i +... λ n u in = 0 = λ = λ =... λ n = 0 Uwaga: Implikacja ta oznacza, że jedyną zerową kombinacją liniową wektorów układu jest kombinacja liniowa z zerowymi współczynnikami. Twierdzenie: Układ wektorów nie jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją indeksy {i, i,... i n } I i liczby rzeczywiste λ, λ,... λ n takie, że: u n = λ u i + λ u i +... λ n u in czyli jeden z wektorów układu jest liniową kombinacją pozostałych wektorów. Baza przestrzeni wektorowej Definicja: Bazą przestrzeni wektorowej nazywamy maksymalny liniowo niezależny układ wektorów tej przestrzeni. Uwaga: Układ maksymalny to znaczy taki, że jeżeli dołączymy do układu dowolny wektor, to układ ten przestanie być liniowo niezależny. Twierdzenie: Układ wektorów e i, i =,,... n jest bazą przestrzeni wektorowej V wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wektora u V istnieją liczby rzeczywiste x, x,... x n takie, że: u = x e + x e +... x n e n oraz współczynniki x i są wyznaczone jednoznacznie przez wektor u. Uwaga: Baza tworzy układ współrzędnych w przestrzeni wektorowej, jej elementy są wektorami jednostkowymi osi układu współrzędnych, a liczby x i współrzędnymi wektora u w tym układzie współrzędnych. Stosujemy również oznaczenie: u = (x, x,... x n ) B. Wektory jednostkowe nie muszą mieć długości nie muszą być też do siebie prostopadłe. Samo pojęcie długości wektora i prostopadłości wektorów nie zostało jeszcze zdefiniowane, więc nie możemy go używać. Twierdzenie: Każda przestrzeń wektorowa ma bazę. Twierdzenie: Każdy układ wektorów liniowo niezależny można rozszerzyć do bazy. Definicja: Wymiar przestrzeni wektorowej jest to liczba elementów bazy tej przestrzeni (moc zbioru elementów). Wymiar przestrzeni V oznaczamy dim V Uwaga: W przestrzeni wektorowej może być wiele różnych baz, jednak wszystkie mają taką samą liczbę elementów (taką samą moc). Przestrzeń wektorowa może mieć wymiar skończony lub nieskończony. Twierdzenie: W przestrzeni wektorowej skończenie wymiarowej o wymiarze k każdy układ k wektorów liniowo niezależnych jest bazą tej przestrzeni.

3 Przykład: Przestrzeń V = R 3 jest przestrzenią wektorową 3-wymiarową. Jej bazą jest np. następujący układ wektorów: e = (, 0, 0), e = (0,, 0), e 3 = (0, 0, ) Przykład: Przestrzeń V = R k jest przestrzenią k-wymiarową. Jej bazą jest np. następujący układ wektorów: e = (, 0, 0,..., 0), e = (0,, 0,..., 0), e 3 = (0, 0,,..., 0), e k = (0, 0, 0,..., ) Przykład: Przestrzeń wszystkich ciągów rzeczywistych jest przestrzenią wektorową nieskończeniewymiarową. Przykład: V = R 3. e = (, ), e = (, ) tworzą bazę B przestrzeni V. Znaleźć współrzędne wektora u = (5, ) w tej bazie. x e + x e = u x (, ) + x (, ) = (5, ) { x + x = 5 x x = 3x = 3 = x = = x = 3 Wektor u ma w bazie B współrzędne: u = (3, ) B x odejmujemy równania 3 3 u e e x Przykład: Sprawdzić czy wektory u = (,, ), u = (,, ), u 3 = (,, ) tworzą bazę w przestrzeni R 3. Jeśli tak, znaleźć współrzędne wektora v = (4,, 3) w tej bazie. Sprawdzamy liniową niezależność wektorów rozwiązując równanie: λ u + λ u + λ 3 u 3 = (0, 0, 0) (λ + λ + λ 3, λ + λ + λ 3, λ λ + λ 3 ) = (0, 0, 0) λ + λ + λ 3 = 0 λ + λ + λ 3 = 0 λ λ + λ 3 = 0 Układ ten ma tylko rozwiązanie zerowe (λ = λ = λ 3 = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy układu równań A = 0 A = = = 0 Ponieważ układ równań ma tylko rozwiązanie zerowe, więc układ wektorów u, u, u 3 jest liniowo niezależny. Ponieważ wymiar przestrzenie R 3 jest równy 3, a w układzie sa 3 wektory, więc układ 3

4 wektorów B = (u, u, u 3 ) jest bazą przestrzeni R 3 Znajdujemy współrzędne wektora v w tej bazie: x u + x u + x 3 u 3 = v x + x + x 3 = 4 x + x + x 3 = x x + x 3 = 3 Układ równań rozwiązujemy metodą Cramera. 4 4 A = = ; A = A 3 = = 3 Stąd: x = =, x = =, x 3 = = Wektor v ma w bazie B współrzędne: v = (,, ) B Przekształcenie liniowe = ; Definicja: Niech U, V będą przestrzeniami wektorowymi. Funkcję f : U V nazywamy przekształceniem liniowym (operatorem liniowym) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki: (u, u U) f(u + u ) = f(u ) + f(u ) (u U, λ R) f(λu) = λf(u) Macierz przekształcenia linowego Niech U i V będą skończenie wymiarowe: dim U = n, dim V = m. Ustalamy bazy : B : u, u,... u n - baza U, B : v, v,... v m - baza V. Niech x U oraz x = x u + x u +... x n u n. Niech y V oraz y = y v + y v +... y m v m. Niech X i Y będą macierzami kolumnowymi: X =. x x x n y y, Y =. y m Wtedy istnieje macierz F m n taka, że: y = f(x) Y = F X Uwaga : Pierwszą kolumnę macierzy F tworzą współrzędne f(u ) w bazie B, drugą f(u ) w bazie B i.t.d. x Uwaga : Często stosuje się zapis: X = [x, x,..., x n T x zamiast X =. Wtedy równanie: Y = F X wygląda tak: [y, y,..., y m T = F [x, x,..., x n T Uwaga 3: Elementy macierzy F zależą nie tylko od przekształcenia, ale i od wyboru baz B i B. Przykład: Niech V będzie przestrzenią wektorową wielomianów stopnia co najwyżej 3 : V = {W (x) = a 3 x 3 + a x + a x + a 0 }. Niech f : V V będzie operacją różniczkowania f(v) = v. Jest to przekształcenie liniowe. Znaleźć odpowiadającą mu macierz w bazach B = B : u =, u = x, u 3 = x 3, u 4 = x 3. Korzystając z tej macierzy obliczyć (x 3 x + 3x + 5) Pierwsza kolumna macierzy F jest równa: f(u ) = = 0 = (0, 0, 0, 0) Druga kolumna macierzy F jest równa: f(u ) = x = = (, 0, 0, 0) Trzecia kolumna macierzy F jest równa: f(u 3 ) = (x ) = x = (0,, 0, 0) Czwarta kolumna macierzy F jest równa: f(u 4 ) = (x 3 ) = 3x 3 = (0, 0, 3, 0) x n 4

5 Macierz przekształcenia jest więc równa: F = Wielomian: v = x 3 x + 3x + 5 = (5, 3,, ) B współrzędne w bazie B Odpowiadająca mu macierz V = [5, 3,, T Iloczyn macierzy jest równy: W = F V = = Odpowiadający macierzy W wielomian: w = 3u u +6u 3 +0u 4 = 3 x+6 x +0 x 3 = 6x x+3 Wniosek: (x 3 x + 3x + 5) = 6x x + 3 Przykład Na płaszczyźnie ( przestrzeni R ) znaleźć macierz obrotu w lewo o kąt α względem początku układu współrzędnych w bazie: e = (, 0), e = (0, ) (ta sama baza będzie używana dla argumentu i obrazu przekształcenia). Znaleźć obraz u wektora u(, 4) po obrocie o kąt α = π 4 w lewo. Obrót jest przekształceniem liniowym, odpowiada mu więc macierz. Mamy: e = f(e ) = (cos α, sin α), e = f(e ) = ( sin α, cos α) Stąd macierz [ obrotu: cos α sin α O α = sin α cos α e e x α e e 0 α x Dla α = π 4 mamy: [ O π cos π = sin π sin π cos π 4 4 Stąd: [ U = O π U = 4 = Wniosek: u = (, 3 ) [ [ 4 = [ 3 Twierdzenie Niech U, V, W będą przestrzeniami wektorowymi skończenie wymiarowymi z ustalonymi bazami. Niech f : U V, g : V W będą przekształceniami liniowymi, niech F, G będą macierzami odpowiadającymi tym przekształceniom (w ustalonych bazach). Wtedy:. złożeniu przekształceń f(g(u)) (które też jest przekształceniem liniowym) odpowiada iloczyn macierzy F G. przekształceniu odwrotnemu do f ( f ), o ile istnieje, odpowiada macierz odwrotna F 5

6 Przestrzeń unormowana Definicja: Przestrzeń wektorowa (liniowa) unormowana jest to przestrzeń wektorowa V z określoną funkcją : V R nazywaną normą (długością wektora) spełniającą warunki:. (u V ) u 0. (u V ) u = 0 u = 0 3. (λ R) (u V ) λu = λ u 4. (u, v V ) u + v u + v nierówność trójkąta W przestrzeni wektorowej unormowanej odległość między wektorami jest równa: u v Przykłady przestrzeni wektorowych unormowanych:. V = R 3, dla u = (u, u, u 3 ) V, u = u + u + +u 3 Analogicznie można zdefiniować normę w przestrzeni R k.. Przestrzeń V = C(< a, b >) - przestrzeń funkcji ciągłych o dziedzinie < a, b > i o wartościach rzeczywistych. Normą określamy następująco: u = max u(x) x <a,b> Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa. Przestrzeń R k Przestrzeń R k jest przestrzenią wektorową k - wymiarową. W R k działania na wektorach są określone w następujący sposób: x = (x, x,... x k ) R k, x = (x, x,... x k ) R k, λ R x + y = (x + y, x + y,... x k + y k ) λ x = (λx, λx,... λx k ) Norma (długość wektora) jest równa: x = x + x + + x k Odległość między elementami (wektorami) jest równa: x y = (x y ) + (x y ) + + (x k y k ) Standardową bazą tej przestrzeni jest układ k wersorów jednostkowych: e = (, 0, 0,..., 0, 0), e = (0,, 0,..., 0, 0),..., e k = (0, 0, 0,..., 0, ) W przestrzeni tej definiujemy iloczyn skalarny: x y = x y + x y + + x k y k Korzystając z niego można okreslać kąty między wektorami, a w szczególności prostopadłość: x y x y = 0 Uwaga: Elementy tej przestrzeni czasem będziemy traktować jak punkty, a czasem jak wektory. Interpretacja geometryczna: przestrzeń R - prosta przestrzeń R - płaszczyzna przestrzeń R 3 - przestrzeń trójwymiarowa 6

7 dla k > 3 interpretacja geometryczna jest bardziej skomplikowana, można natomiast bez problemów wykonywać operacje analityczne, a ich sens geometryczny interpretować przez analogię z przestrzeniami o mniejszych wymiarach. Granica ciągu w przestrzeni unormowanej Niech będzie dany ciąg (x n ), x n V elementów przestrzeni unormowanej V oraz wektor y V Definicja granicy ciągu: Wektor y jest granicą ciągu (x n ), wtedy i tylko wtedy, gdy x n y = 0 Czyli: x n = y x n y = 0 Uwaga: Symbol z lewej strony oznacza granicę ciągu w przestrzeni V, a symbol z prawej strony oznacza zwykłą granicę ciągu liczb rzeczywistych. Jeżeli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa i ustay bazę B tej przestrzeni to granice ciągów w V mają bardzo ważną własność: zbieżność takiego ciągu jest równoważna zbieżności ciągów po wszystkich współrzędnych. Zachodzi następujące twierdzenie: Twierdzenie Dany jest ciąg x n = (x n,, x n,,... x n,k ) V, oraz punkt y = (y, y,... y k ) V Wtedy x n = y x n,i = y i, dla i =,,... k ( n + 3 Przykład: Obliczyć granicę ciągu: n + 6, ) n n + R ( n + 3 n + 6, ) ( ) n n + 3 n + = n + 6, n n + = (, ) Przykład: Obliczyć granicę ciągu: n ( + n + n )n n n n 7 n n + ( + n )n n n n 7 = n n + n n ( + n )n n 7 [ = e 7

8 Elementy topologii w przestrzeni unormowanej Niech U będzie przestrzenią unormowaną. Uwaga: Elementy przestrzeni U (wektory) będziemy nazywać również punktami. Definicja: KULĄ OTWARTĄ o środku w u 0 U i promieniu r > 0 nazywamy zbiór: K(u 0, r) = {u U : u u 0 < r} Uwaga: Kulą otwartą K(u 0, r) nazywamy również OTOCZENIEM punktu u 0. Poniższe pojęcia topologiczne można definiować za pomocą otoczeń lub granic ciągów. Niech A U będzie dowolnym zbiorem w przestrzeni unormowanej U. Definicja: Punkt u U jest punktem WEWNĘTRZNYM zbioru A (r > 0) Definicja: Punkt u U jest punktem ZEWNĘTRZNYM zbioru A (r > 0) Definicja: ( Punkt u U jest punktem BRZEGOWYM ) zbioru A (r > 0) K(u, r) A K(u, r) \ A K(u, r) A K(u, r) A = Definicja: WNĘTRZE zbioru A (oznaczamy int A ) jest to zbiór punktów wewnętrznych zbioru A. Definicja: BRZEG zbioru A (oznaczamy A ) jest to zbiór punktów brzegowych zbioru A. Definicja: DOMKNIĘCIE zbioru A (oznaczamy Ā ) jest to zbiór Ā = A A Przykład: V = R, A = {(x, y) : x + y } (koło domknięte) = Wnętrze A (koło otwarte): int A = {(x, y) : x + y < } Brzeg A (okrąg): A = {(x, y) : x + y = } y y y A int A A 0 x 0 x 0 x Definicja: Zbiór A jest OTWARTY int A = A Definicja: Zbiór A jest DOMKNIĘTY Ā = A Definicja: Punkt u U jest punktem SKUPIENIA zbioru A u A \ {u} Własności pojęć topologicznych: Ā = (int A) A A jest domknięty U \ A jest otwarty A, B są otwarte = A B, A B są otwarte A, B są domknięte = A B, A B są domknięte A n są otwarte = A n są domknięte = n= A n jest otwarty n= A n jest domknięty 8