Matematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.
|
|
|
- Bożena Jasińska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 2017/2018
2 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa termin konsultacji będzie podany później strona na Niezbędniku: koordynator przedmiotu: dr Maria Ekes,
3 Warunki zaliczenia(dokładniej na Niezbędniku) 2 kolokwia na ćwiczeniach, w każdym 5 zadań po 6 punktów, punkty za aktywność na ćwiczeniach - od 0 do 5, według uznania prowadzącego ćwiczenia, egzamin: 5 zadań po 6 punktów każde.
4 Warunki zaliczenia(dokładniej na Niezbędniku) 2 kolokwia na ćwiczeniach, w każdym 5 zadań po 6 punktów, punkty za aktywność na ćwiczeniach - od 0 do 5, według uznania prowadzącego ćwiczenia, egzamin: 5 zadań po 6 punktów każde. liczba punktów z przedmiotu= = 1/2 kolokwia + aktywność + egzamin.
5 Warunki zaliczenia(dokładniej na Niezbędniku) liczba punktów ocena końcowa 0 30 niedostateczna (2) dostateczna (3) dostateczna plus (3,5) dobra (4) dobra plus (4,5) bardzo dobra (5)
6 Warunki zaliczenia(dokładniej na Niezbędniku) Osoby, które w trakcie zajęć nie napisały któregoś z kolokwiów z usprawiedliwionych powodów (zwolnienie lekarskie), mogą napisać to kolokwium w dodatkowym terminie, wyznaczonym przez prowadzącego zajęcia przed pierwszym terminem egzaminu.
7 Literatura Sprawy organizacyjne Podręczniki obowiązkowe J. Kłopotowski, W. Marcinkowska-Lewandowska, M. Nykowska, I. Nykowski, Matematyka dla ekonomicznych studiów zaocznych i wieczorowych, Szkoła Główna Handlowa w Warszawie M. Dędys, S. Dorosiewicz, M. Ekes, J. Kłopotowski Matematyka. e-book, Szkoła Główna Handlowa, platforma e-learningowa
8 Literatura Sprawy organizacyjne Podręczniki uzupełniające W. Dubnicki Matematyka. Definicje. Twierdzenia. Zadania, Wydawnictwo DRUKPOL S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D. Kołatkowski Matematyka. Tom I, pod redakcją naukową S. Dorosiewicza, Szkoła Główna Handlowa w Warszawie J. Laszuk Matematyka. Studium podstawowe, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej
9 Definicja ciągu liczbowego Definicja em liczbowym nazywamy dowolną funkcję a : N R, gdzie N = {1, 2, 3,...} jest zbiorem liczb naturalnych, a R zbiorem liczb rzeczywistych. Wartość a n = a(n) nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg oznaczamy symbolem {a n : n N}, lub krócej (a n ).
10 Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać:
11 Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów:
12 Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,...
13 Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,... podając wzór na n-ty wyraz ciągu:
14 Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,... podając wzór na n-ty wyraz ciągu: a n = 2n 1, n N,
15 Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,... podając wzór na n-ty wyraz ciągu: a n = 2n 1, n N, podając zależność rekurencyjną (tzn. odpowiednią liczbę początkowych wyrazów oraz ogólną zależność między wyrazem tego ciągu, a wyrazami go poprzedzającymi):
16 Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,... podając wzór na n-ty wyraz ciągu: a n = 2n 1, n N, podając zależność rekurencyjną (tzn. odpowiednią liczbę początkowych wyrazów oraz ogólną zależność między wyrazem tego ciągu, a wyrazami go poprzedzającymi): a 1 = 1, a n+1 = a n + 2 dla n 1.
17 Przykład Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem:
18 Przykład Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem: K n = K(1 + p 100 )n
19 Definicja Mówimy, że (a n ) jest ciągiem rosnącym
20 Definicja Mówimy, że (a n ) jest ciągiem rosnącym a n+1 > a n n N
21 Definicja Mówimy, że (a n ) jest ciągiem rosnącym a n+1 > a n (a n+1 a n > 0), n N
22 Definicja Mówimy, że (a n ) jest ciągiem rosnącym a n+1 > a n (a n+1 a n > 0), n N niemalejącym n N a n+1 a n, malejącym n N a n+1 < a n, nierosnącym n N a n+1 a n, stałym n N a n+1 = a n, Ciąg mający jedną z wymienionych własności nazywamy ciągiem monotonicznym.
23 Przykład Sprawdzimy, czy ciąg o wyrazie ogólnym a n = 2n n! jest ciągiem monotonicznym. W tym celu zbadamy znak wyrażenia dla n N. a n+1 a n
24 Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) jest ograniczony z góry
25 Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) jest ograniczony z góry M R n N a n M,
26 Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) jest ograniczony z góry a n M, M R n N ograniczony z dołu a n m, m R n N ograniczony m a n M. m,m R n N
27 Przykład Zbadamy, czy ciąg a n = 2n n! jest ograniczony.
28 Definicja Mówimy, że liczba g R jest granicą (właściwą) ciągu (a n ), jeśli a n g < ε ε>0 N ε N n>n ε i piszemy lim n a n = g lub a n n g lub a n g.
29 Definicja Mówimy, że liczba g R jest granicą (właściwą) ciągu (a n ), jeśli a n g < ε ε>0 N ε N n>n ε i piszemy lim a n = g lub a n g lub a n g. n n Jeśli (a n ) ma granicę g R, to mówimy, że jest zbieżny do g. Jeśli nie ma granicy (właściwej), mówimy, że jest rozbieżny.
30 Przykład Pokażemy z definicji, że lim n n 2 n = 1.
31 Przykład Pokażemy, że ciąg a n = ( 1) n nie ma granicy.
32 Twierdzenie Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.
33 Twierdzenie Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę. Twierdzenie Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
34 Twierdzenie Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę. Twierdzenie Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Twierdzenie Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
35 Twierdzenie (własności granic właściwych) Jeśli lim a n = a oraz lim b n = b, gdzie a, b R, n n to lim (a n ± b n ) = a ± b, n lim a nb n = ab, n a n lim = a n b n b, gdy b 0 i b n 0, lim a n = a. n
36 Twierdzenie (granice wybranych ciągów) a > 0 = lim n a = 1, n n n = 1, lim n lim n an = 0 a < 1, lim a n = a b > 0 = lim n b a n = b a n a n > 0 lim a n = a a > 0 = n n N lim (a n) α = a α n
37 Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą + (odp. ), jeśli a n > M (odp. a n < M) M R N M N n>n M i piszemy lim a n = + (odp. ) n lub a n + (odp. ) n lub a n + (odp. ). Jeśli (a n ) ma granicę niewłaściwą + (odp. ) to mówimy, że jest rozbieżny do + (odp. ).
38 Przykład Wykażemy, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = 3n 4 jest rozbieżny do.
39 Przykład Wykażemy, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = 3n 4 jest rozbieżny do. Przykład Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) o różnicy r R.
40 Przykład Wykażemy, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = 3n 4 jest rozbieżny do. Przykład Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) o różnicy r R. Jeśli r > 0, to a n. Jeśli r < 0, to a n.
41 Twierdzenie (własności granic niewłaściwych) Niech (a n ) i (b n ) będą ciągami liczbowymi. Jeśli a n i b n, to a n + b n, a n b n ; jeśli a n i b n, to a n + b n, a n b n ; jeśli a n i b n, to a n b n, b n a n, a n b n ; jeśli a n a, gdzie a R i b n ±, to a a n + b n ±, n b n 0; jeśli a n a, gdzie a > 0 i b n ±, to a n b n ± ; jeśli a n a, gdzie a < 0 i b n ±, to
42 Skrótowy zapis + =, =, + ( ) =, ( ) ( ) =, ( ) =, ( ) =, ( ) =, a a + (± ) = ±, ± = 0, 5 (± ) = ±, 1 2 (± ) =.
43 Przykład (y) n n lim n 2n 1 =
44 Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] = 2 1
45 Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = 2 1 ]
46 Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = ]
47 Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = ] Przykład )(3 lim n 17) = n 2(3 17n
48 Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = ] Przykład )(3 lim n 17) = [2 (3 )( 17) ] = n 2(3 17n
49 Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = ] Przykład )(3 lim n 17) = [2 (3 )( 17) ] = [2 ( ) ] = n 2(3 17n
50 Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = ] Przykład lim n 2(3 17n )(3 n 17) = [2 (3 )( 17) ] = [2 ( ) ] = [2 ] = 0.
51 Twierdzenie (o trzech ciągach) Jeśli zachodzą warunki c n a n b n, n>n 0 lim c n = lim b n = g, n n to lim a n = g. n
52 Przykład Obliczymy granice i cos( nπ) lim n n lim n n 2n + 3 n + 5 n.
53 Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0]
54 Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n =
55 Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1,
56 Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1, a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, 2 a n b n =
57 Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1, a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, 2 = n +, a n b n
58 Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1, a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, 2 = n +, a n b n a n = ( 1)n n 0, b n = 1 n 0, a n b n =
59 Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1, a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, 2 = n +, [ 0 0 a n = ( 1)n n 0, b n = 1 n 0, a n b n = ( 1) n - granica nie istnieje. ] nazywamy symbolem nieoznaczonym. a n b n
60 Symbole (wyrażenia) nieoznaczone [ ] [ + ] [ 0 0] [ ± ] ± [0 (± )] [1 ± ] [ 0 ] [0 0 ]
61 Przykład (y) Sprawy organizacyjne
62 Przykład (ważny!) Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( n) n.
63 Przykład (ważny!) Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( n) n. Pokażemy, że (a n ) jest monotoniczny i ograniczony (a więc zbieżny).
64 Przykład (c.d.) monotoniczność a n = ( n) n =
65 Przykład (c.d.) monotoniczność a n = ( n) n = = ( n 0)( 1 n) 0 + ( n 1)( 1 n) 1 + ( n 2)( 1 n) ( n n)( 1 n) n =
66 Przykład (c.d.) monotoniczność a n = ( n) n = = ( n 1 0 ( 0)( n) + n 1 1 ( 1)( n) + n 1 2 ( 2)( n) n 1 n n)( n) = = 1 + n 1 n + n(n 1) 1 1 2! n n! 2 n! 1 n = n
67 Przykład (c.d.) monotoniczność a n = ( n) n = = ( n 1 0 ( 0)( n) + n 1 1 ( 1)( n) + n 1 2 ( 2)( n) n 1 n n)( n) = = 1 + n 1 n + n(n 1) 1 1 2! n n! 2 n! 1 n = n = n 2! (1 1 n )...(1 n 1 n ) n!,
68 Przykład (c.d.) a n+1 = ( n+1) n+1 =
69 Przykład (c.d.) a n+1 = ( 1 + n+1) 1 n+1 = = ( )( n+1 1 ) 0 ( 0 n+1 + n+1 )( 1 1 ( n+1 )( 1 ) n ( n n+1 + n+1 )( 1 n+1 n+1 n+1 n+1) = ) 1 ( + n+1 )( n+1)
70 Przykład (c.d.) a n+1 = ( 1 + n+1) 1 n+1 = = ( )( n+1 1 ) 0 ( 0 n+1 + n+1 )( 1 1 ( n+1 )( 1 ) n ( n n+1 + n+1 )( 1 n+1 n+1 n+1 n+1) = ) 1 ( + n+1 )( n+1) (n +1) (n+1) + (n+1)n 1 1 2! (n+1)! (n+1) 2 (n+1)! 1 (n+1) = n+1
71 Przykład (c.d.) a n+1 = ( 1 + n+1) 1 n+1 = = ( )( n+1 1 ) 0 ( 0 n+1 + n+1 )( 1 1 ( n+1 )( 1 ) n ( n n+1 + n+1 )( 1 n+1 n+1 n+1 n+1) = ) 1 ( + n+1 )( n+1) (n +1) (n+1) + (n+1)n 1 1 2! (n+1)! (n+1) 2 (n+1)! 1 (n+1) = n n+1 2! (1 1 n+1 n 1 )...(1 n+1 ) n! + (1 1 n+1 )...(1 n n+1 ) (n+1)!.
72 Przykład (c.d.) a n = n 2! (1 1 n a n+1 = n+1 2! (1 1 n+1 )...(1 n 1 n ) n!, n 1 )...(1 n+1 ) n! + (1 1 n+1 )...(1 n n+1 ) (n+1)!.
73 Przykład (c.d.) a n = n 2! (1 1 n a n+1 = n+1 2! (1 1 n+1 )...(1 n 1 n ) n!, n 1 )...(1 n+1 ) n! + (1 1 Porównując kolejne wyrazy sum otrzymujemy a n a n+1. n+1 )...(1 n n+1 ) (n+1)!.
74 Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: Sprawy organizacyjne
75 Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N,
76 Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry:
77 Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry: a n = n 2! (1 1 n )...(1 n 1 n ) n!
78 Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry: a n = n 2! (1 1 n )...(1 n 1 n ) n! ! + 1 3! n!
79 Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry: a n = n 2! (1 1 n )...(1 n 1 n ) n! ! + 1 3! n! n 1 =
80 Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry: a n = n 2! (1 1 n )...(1 n 1 n ) n! ! + 1 3! n! n 1 = = ( 1 2 )n = 3.
81 Definicja Granicę ciągu ( n) n nazywamy liczbą Eulera i oznaczamy literą e lim n ( 1) n 1 + = e = n
82 Definicja Granicę ciągu ( n) n nazywamy liczbą Eulera i oznaczamy literą e lim n ( 1) n 1 + = e = n Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego: ln x log e x.
83 Twierdzenie Jeżeli lim n a n = lub lim n a n =, to ( 1 ) an lim 1 + = e. n a n
84 Przykład (y) Sprawy organizacyjne
Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Analiza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Ciagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel
Ciąg monotoniczny Autorzy: Katarzyna Korbel 07 Ciąg monotoniczny Autor: Katarzyna Korbel Ciągi, tak jak funkcje, mogą mieć różne własności, których znajomość może przyczynić się do dalszej analizy ich
S n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności).
Ciągi rozbieżne do Def. Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do, jeśli Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności). Można obrazowo powiedzieć,
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Analiza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I
Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,
Ciągi liczbowe. - oznacza, że a(1) = a 1, a(2) = a 2, a(n) = a n a 1, a 2, a 3, a 4,... a n a(n) a n
Ciągi liczbowe Spis treści Ciąg liczbowy Ciąg liczbowy skończony Ciąg liczbowy nieskończony Przykłady i sposoby określania ciągu, suma n początkowych wyrazów ciągu Suma n początkowych, kolejnych wyrazów
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Granice ciągów. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Granice ciągów Materiały merytoryczne do kursu N początku następnego: Przyjmiemy następujące oznaczenia: N - zbiór liczb naturalnych, N = {1, 2,..., }, Z -
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...
Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 3e Łukasz Jurczak rozszerzony 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne.
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 1 2 Kod modułu 04-A-MAT1-60-1Z 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)
Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................
jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Krzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Matematyka podstawowa V. Ciągi
Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I Mathematical analysis I Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Poziom kwalifikacji:
020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w sprawie
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Ciągi liczbowe Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny Materiały merytoryczne do kursu Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne stanowią istotne klasy ciągów zarówno
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie
EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N
Ciągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Ciągi liczbowe Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są ciągi? Ciąg skończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: 1,2,, n A Ciąg nieskończony o wartościach w zbiorze
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019 Zadanie z wykładu i ćwiczeń Dany jest ciąg rekurencyjny: x 1 = 1, x n+1 = x n 2 + 1 x n dla n 1. Ograniczoność.
Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
WYMAGANIA EDUKACYJNE. rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciel uczący Poziom matematyka 3t Zuzanna Durlak rozszerzony 1. Funkcja kwadratowa Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują):
OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne 1) Nazwa modułu : MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI 2) Kod modułu : 08-KODL-MPK 3) Rodzaj modułu : OBOWIĄZKOWY 4) Kierunek studiów: KOGNITYWISTYKA
EGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 42=4.0, 48=4.5, 54=5.0
EGZAMIN, ANALIZA A, 5.0.04 zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 4=4.0, 48=4.5, 54=5.0 Zadanie. W każdym z zadań.-.5 podaj w postaci uproszczonej) kresy zbioru oraz napisz, czy kresy należą do zbioru
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec
Strona z 403 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje,
Zajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Rok akademicki: 2018/2019 Kod: GGiG s Punkty ECTS: 9. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Nazwa modułu: Matematyka 1 Rok akademicki: 2018/2019 Kod: GGiG-1-101-s Punkty ECTS: 9 Wydział: Górnictwa i Geoinżynierii Kierunek: Górnictwo i Geologia Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia Forma
Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5.
Zadanie 1 Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Zadanie 2 Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5. Zadanie 3 Dany jest ciąg o wzorze ogólnym, gdzie. Piąty
ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski
ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Matematyka I Mathematics I Kierunek: biotechnologia Rodzaj przedmiotu: Poziom przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich I stopnia specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: wykład,
Analiza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.