Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Transkrypt

1 Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 = 0 y 0 z 0 ) D Wtedy: x (P f 0 + h y 0 z 0 ) f 0 y 0 z 0 ) 0) = lim h 0 h y (P f 0 y 0 + h z 0 ) f 0 y 0 z 0 ) 0) = lim h 0 h z (P f 0 y 0 z 0 + h) f 0 y 0 z 0 ) 0) = lim h 0 h Twierdzenie gdzie x i (f ± g)(p 0 ) = (P 0 ) ± g (P 0 ) x i x i x i (f g)(p 0 ) = (P 0 ) g(p 0 ) + f(p 0 ) g (P 0 ) x i x i x i x i f (P 0 ) = g x i (P 0 ) g(p 0 ) f(p 0 ) g g (P 0 ) oznacza pochodn cz stkow funkcji po i-tej zmiennej x i (P 0 ) Zadanie Obliczy pochodne cz stkowe pierwszego rz du nast puj cych funkcji: a) f y) = x + 5xy y 3 b) f y) = (5x 4 y + ) 4 c) f y z) = x y + y z z x d) f y z) = xy e) f y z) = x 5 y 0 x 3 sin(z) + y e z f) f y) = x e y g) f y) = ax by h) f y) = x +y 3 x +y i) f y z) = (3x y + z 4 ) 0 j) f y) = arctg x y k) f y) = ln ( x + y ) l) f y) = ln + ln(y)) m) f y) = (ln)) sin(y) n) f y z) = x + y + z o) f y z) = (sin)) yz p) f y z) = +y +z )

2 Zadanie Zbada czy istniej pochodne cz stkowe pierwszego rz du nast puj cych funkcji w podanych punktach: a) f(m n) = cos(am bn) a b R w punkcie (π 0) b) f y) = ln + y ) w ( ) c) f y) = (x) 3y w ( ) d) f y z) = xy + yz + z) w ( ) e) f y) = x + y x + y w (3 4) Zadanie 3 Korzystaj c z denicji zbada czy istniej pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f y) = 3 x 3 y 3 0 y 0 ) = (0 0) b) f y z) = 5 xy(z ) 0 y 0 z 0 ) = (0 0 ) c) f y z) = x 3 +y x +y +z dla y z) (0 0 0) 0 dla y z) = (0 0 0) 0 y 0 z 0 ) = (0 0 0) x d) f y) = + y dla xy = 0 dla xy 0 0 y 0 ) = (0 0) x dla y = 0 e) f y) = y dla x = 0 0 y 0 ) = (0 0) w pozostaªych punktach Twierdzenie (Schwarza) Je»eli funkcja f = f x x n ) ma w pewnym obszarze ci gªe pochodne cz stkowe mieszane drugiego rz du to w ka»dym punkcie tego obszaru zachodzi f x i x j = f x i x j f x j x i oraz f x j x i i < j Zadanie 4 Obliczy wszystkie pochodne cz stkowe drugiego rz du podanych funkcji i sprawdzi czy pochodne cz stkowe mieszane s równe: a) f y) = sin + y ) b) f y z) = e 3x+4y cos(5z) c) f y) = xe xy d) f y) = xy + x y 3 e) f y z) = e xyz f) f y z) = e x ln(y) + sin(y)ln) g) f y) = x +y +z h) f y z) = ln + y 4 + z 6 + ) Zadanie 5 Zbada czy równo± f xy (0 0) = f yx (0 0) jest speªniona dla funkcji: a) f y) = b) f y) = 3 x 6 8y 3 xy y ) x +y dla y) (0 0) 0 dla y) = (0 0) c) f y) = x y 3 x +y dla y) (0 0) 0 dla y) = (0 0) d) f y) = arcsin ( x y ) x

3 Zadanie 6 Uzasadni»e nie istnieje funkcja f : R R dla której: a) x = siny) b) = cosy) y f xy = xexy f = ye xy y Denicja Równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = f y) w punkcie 0 y 0 z 0 ) = 0 y 0 f 0 y 0 )) nale» cym do tego wykresu ma posta : z z 0 = x 0 y 0 ) x 0 ) + y 0 y 0 )(y y 0 ) Zadanie 7 Napisa równania pªaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: a) z = 9 x y ( 3 ) b) z = yln( + x y y ) ( z 0 ) c) z = arcsin) arccos(y) ( 3 ) d) z = x y ( 4 6) Denicja 3 (Pochodna Frécheta) Niech D R n b dzie obszarem oraz f : D R k f = (f f f k ) f i : D R Niech x D - normy w R n R k Mówimy»e f jest ró»niczkowalna w x wtedy i tylko wtedy gdy istnieje odwzorowanie liniowe A : R n R k speªniaj ce f + h) f) Ah lim = 0 h 0 h A nazywamy pochodn f w punkcie x (pochodn Frécheta) Uwaga Dla n = k = mamy A = [a b] oraz f + h y + h ) f y) (a h + b h ) lim = 0 (h h ) (00) h + h Stwierdzenie Je»eli odwzorowanie w powy»szej denicji istnieje to jego macierz (w bazie kanonicznej) wygl da nast puj co: x ) x ) x n ) A = Df x x n ) = x ) x ) x n ) k x ) k x ) k x n ) Zadanie 8 Wyznaczy pochodn Frécheta odwzorowania: a) f : R R f y) = x + y w dowolnym punkcie 0 y 0 ) R b) f : R R f) = x 3 w dowolnym punkcie x 0 R 3

4 Zadanie 9 Korzystaj c z denicji zbada ró»niczkowalno± podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f y) = x y 0 y 0 ) = ( ) b) f y) = 3 xy 0 y 0 ) = (0 0) xy dla y) (0 0) c) f y) = x +y 0 dla y) = (0 0) 0 y 0 ) = (0 0) d) f y z) = x 4 + y 4 + z 4 0 y 0 z 0 ) = (0 0 0) e) f y) = + y )sin dla y) (0 0) x +y 0 dla y) = (0 0) 0 y 0 ) = (0 0) Zadanie 0 Niech f : R R b dzie dana wzorem f y) = + y )sin dla x + y > 0 x +y 0 dla x + y = 0 Sprawdzi czy f jest: a) funkcj ci gª b) funkcj ró»niczkowaln c) funkcj klasy C Zadanie Sprawdzi czy: [ ] 0 a) macierz A = jest macierz pochodnej funkcji f : R R f x x 3 ) = + x x x 3 ) w punkcie 0 y 0 z 0 ) = ( 3); [ ] 3 b) macierz B = jest macierz pochodnej g : R 0 R g x ) = 3x x ) w punkcie 0 y 0 ) = ( ) Wniosek Wzór na przybli»on warto± funkcji dwóch zmiennych ma posta : f 0 + x y 0 + y) f 0 y 0 ) + x 0 y 0 ) x + y 0 y 0 ) y Zadanie Wykorzystuj c ró»niczk funkcji obliczy przybli»one warto±ci podanych wyra»e«: a) arctg09 40 b) (0) 30 c) (098)0 (0) 0 d) (0) (0997) e) 3 (93) 3 + (405) 3 + (499) 3 Twierdzenie 3 Reguªa ró»niczkowania funkcji zªo»onych dla z = f(u v) u = u y) v = v y) : z x = u u x + v v x z y = u u y + v v y 4

5 Zadanie 3 Wykorzystuj c reguª ró»niczkowania funkcji zªo»onych obliczy pochodne cz stkowe pierwszego rz du wzgl dem x i y podanych funkcji: a) z = f(u v) = e uv u = ln x + y v = arctg ( y x) b) z = f(u v) = ln u v+ u = xsin(y) v = xcos(y) c) z = f(u v w) = u v( u w) u = x y v = x y w = x y d) z = f(u v w) = arcsin u v+w u = e x y v = x + y w = xy Zadanie 4 Wykorzystuj c reguªy ró»niczkowania funkcji zªo»onych wyprowadzi wzór na pochodne cz stkowe drugiego rz du wzgl dem x i y funkcji f Denicja 4 (Pochodna kierunkowa) Niech D R n b dzie obszarem oraz f : D R k x IntD oraz 0 v R n Pochodn kierunkow funkcji f w kierunku wektora v nazywamy granic v ) = f + tv) f) vf) = lim t 0 t o ile ta granica istnieje i jest sko«czona Zadanie 5 Korzystaj c z denicji obliczy pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: a) f y) = x + y 0 y 0 ) = (0 0) v = b) f y) = x + y 0 y 0 ) = (0 0) v = [ ] 3 [ c) f y) = x y 0 y 0 ) = ( ) v = [ ] d) f y) = x 0 y 0 ) = (0 0) v = [ 0] v = [ 0] e) f y) = 3 xy 0 y 0 ) = ( 0) v = [ 3 ] ] Denicja 5 (Gradient funkcji) Niech D R n b dzie obszarem oraz f : D R b dzie funkcj skalarn Je»eli istniej wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du funkcji f w punkcie P IntD to wektor [ grad f(p ) = f(p ) = ] x x x n nazywamy gradientem f w punkcie P Twierdzenie 4 Je»eli wszystkie pochodne funkcji f s ci gªe w punkcie x to zachodzi wzór: ) = f) v v 5

6 Zadanie 6 Obliczy gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: [ a) f y) = sin)cos(y) 0 y 0 ) = (0 π) v = ] 3 b) f y) = x + y 0 y 0 ) = ( 3 4) v = [ 3 5 3] c) f y) = x + y + xy + 0 y 0 ) = ( ) v = [3 ] d) f y z) = z x z+y 0 y 0 z 0 ) = ( 0 3) v = [ ] [ e) f y z) = e xyz 0 y 0 z 0 ) = ( ) v = 3 ] Denicja 6 (Pochodna Gáteaux) Je»eli dla ka»dego v R n \0} istnieje ) oraz odwzorowanie T : R n R k okre±lone wzorem T (v) = v ) v 0 0 v = 0 v jest liniowe to odwzorowanie T nazywamy pochodn Gáteaux (lub sªab pochodn ) funkcji f w punkcie x Twierdzenie 5 Je±li f jest ró»niczkowalna w sensie Frécheta w punkcie x to posiada w tym punkcie pochodn Gáteaux oraz dla ka»dego v zachodzi Av = T (v) Zadanie 7 Wyznaczy pochodn Gáteaux odwzorowa«z zadania 8 i porówna wyniki Zadanie 8 Pokaza»e funkcja f : R R dana wzorem x x y dla y) 0 f y) = x +y 0 dla y) = 0 posiada pochodn kierunkow w (0 0) ale nie posiada pochodnej Gáteaux w (0 0) Zadanie 9 Pokaza»e funkcja f : R R dana wzorem x 3 y dla y) 0 f y) = x 4 +y 4 0 dla y) = 0 w punkcie (0 0) posiada pochodn Gáteaux ale nie posiada pochodnej Frécheta (tzn w (0 0) jest sªabo ró»niczkowalna ale nie jest ró»niczkowalna) Zadanie 0 Pokaza»e funkcja f : R R dana wzorem a) dla y = x x 0 f y) = 0 dla y x 0 dla y) = 0 b) f y) = x 3 y x 6 +y dla y) 0 0 dla y) = 0 posiada pochodn Gáteaux (jest sªabo ró»niczkowalna) w (0 0) ale nie jest ci gªa w (0 0) 6

7 Denicja 7 Wyra»enie D f 0 )(( x y) ( x y)) = f x 0) x + f xy 0) x y + f y 0) y nazywamy ró»niczk zupeªn drugiego rz du Macierz Hessego (Hesjan) jest macierz postaci: [ H 0 ) = f x i x j 0 ) ] n ij= = f x 0 ) f x x 0 ) f x nx 0 ) f x x 0 ) f x f x x n 0 ) f x x n 0 ) 0 ) f x nx 0 ) f x n 0 ) Zadanie Wyznaczy Hesjan w punkcie (0 ) dla funkcji f : R R: a) f y) = x + 5x + y b) f y) = x + y + y 3 c) f y) = x + xy + 5xy Twierdzenie 6 (Wzór Taylora) Niech f : U R klasy C n U R n Wtedy f jest n-krotnie ró»niczkowalna oraz je±li x x+h U a tak»e odcinek ª cz cy x i x+h zawiera si w U to n razy }} f + h) = f) + Df)(h)! + D f)(hh)! + + Dn f)( h h) θ (0;) n razy }} h h) + Dn f+θh)( n! (n )! + Zadanie Napisa wzór Taylora z reszt R n dla podanych funkcji w otoczeniu wskazanych punktów: a) f y) = x + xy + 3y 6x y 4 punkt ( ) b) f y) = sin + y) punkt (π π) n = c) f y) = e x sin(y) punkt (0 0) n = 3 d) f y) = sin + y ) punkt (0 0) n = 3 e) f y) = + y) 3 punkt ( ) n = 4 Bibliograa: J Bana± S W drychowicz Zbiór zada«z analizy matematycznej WNT Warszawa 00 R Duda Wprowadzenie do topologii cz I PWN Warszawa G M Fichtenholz Rachunek ró»niczkowy i caªkowy (tom ) PWN Warszawa W Krysicki L Wªodarski Analiza matematyczna w zadaniach cz I i II PWN Warszawa F Leja Rachunek ró»niczkowy i caªkowy ze wst pem do równa«ró»niczkowych PWN Warszawa W Rudin Podstawy analizy matematycznej PWN Warszawa 00 7 R Rudnicki Wykªady z analizy matematycznej PWN Warszawa 00 7