Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Transkrypt

1 Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie) Funkcja f : X R jest ciągła w punkcie, x 0 X wtedy i tylko wtedy, gdy: lim x x 0 f x = f x 0

2 Obrazowo: funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli nie przerywa się w tym punkcie Funkcja ciągła w punkcie Funkcja nieciągła w punkcie Niech f x = 3 x 2 oraz f 2 =1. Sprawdźmy czy funkcja jest ciągłą w x 0 = 2 3 lim x 2 x 2 = Więc nasza funkcja nie jest ciągła w x 0 = 2 lim 3 x 2 x 2 = zaś + f 2 =1

3 Definicja (warunek Heinego) Funkcja f : X R jest ciągła w punkcie, x 0 X jeśli: {x n } n=1 X lim n x n =x 0 lim n f x n = f x 0

4 Definicja (warunek Cauchy'ego) Funkcja f : X R jest ciągła w punkcie, x 0 X jeśli: x X x x 0 f x f x 0

5 Przykład Korzystając z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanej funkcji na R. f x =2x 3 3x 5 x 0 R {x n } n=1 X lim n x n =x lim 2 x n 3 x n 5 =2 x 0 3 x 0 5 n Niech x 0 będzie dowolną liczbą rzeczywistą oraz niech {x n } będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do x 0 wówczas: 3 lim 2 x n 3 x n 5 =2 lim n n x n 3 3 lim n 3 x n lim 5 =2 x 0 3 x 0 5 n

6 Przykład Korzystając z definicji Couchy'ego uzasadnić ciągłość podanej funkcji w x 0 =1. f x ={ 5x 2 5,dla x 1 x 1 10,dla x=1 x X x 1 5x x 1 Weźmy, szukamy takiego żeby: 5 x2 1 5x x 1 x 1 5 x 1 x 1 10 x 1 5 x x 1 x 1 5 Weźmy = 5, więc nasza funkcja jest ciągła w x 0 =1

7 Twierdzenie Funkcja f : X R jest ciągła w punkcie x 0 X spełnia warunek Heinego w punkcie x 0 X Definicja Funkcja f : X R jest lewostronnie/prawostronnie ciągła w punkcie x 0 X jeśli: lim x x 0 f x = f x 0, lim x x 0 + f x = f x 0

8 Definicja Funkcja f : X R jest ciągła, jeśli funkcja f jest ciągła w każdym punkcie x 0 X. W przypadku funkcji wielu zmiennych mamy: Definicja Niech X, d X, Y, d Y będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie ciągłe w punkcie x 0 X, jeśli: f : X Y jest x X d X x, x 0 d Y f x, f x 0

9 Definicja Funkcja f : X R jest ciągła jednostajnie, jeśli: x 1, x 2 X x 1 x 2 f x 1 f x 2

10 Funkcje niejednostajnie ciągłe

11 Twierdzenie Jeżeli funkcja jest ciągła jednostajnie, to jest ciągła. Przykład Funkcja f : X R, gdzie X =R {0 }, f x = 1 x jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Twierdzenie Jeśli funkcje f : X R, g : X R są ciągłe wówczas: f : X R, gdzie R f g : X R, f ±g : X R, f / g : X R, gdzie g x 0 dla każdego x są ciągłe Twierdzenie Jeśli f :[a,b] R jest ciągła, to jest ciągła jednostajnie na [a,b].

12 Twierdzenie Złożenie funkcji ciągłych f : X R, g :Y R, jest funkcją ciągłą: h x =g f x = g f x Twierdzenie (Weierstrassa) Jeśli funkcja f :[a,b] R jest ciągła na przedziale domkniętym, to jest ograniczona. Ponadto osiąga w przedziale [a,b] kres dolny m i kres górny M. Kres górny najmniejsze z ograniczeń górnych M =sup A a A A M, a A M a Kres dolny największe z ograniczeń dolnych m=inf A a A a m, a A m a

13 Ograniczoność funkcji ciągłej Osiąganie kresów przez funkcję ciągłą

14 Twierdzenie (własność Darboux) Jeśli funkcja f :[a,b] R jest ciągła oraz f a y f b lub f b y f a, to istnieje c [a,b] takie, że f c = y (f ma własność Darboux gdy osiąga wszystkie pośrednie punkty przedziału f a, f b )

15 Twierdzenie Jeśli funkcja f :[a,b] R jest ciągła i f a f b, to istnieje x 0 [a,b] takie, że f x 0 =0

16 Przykład Uzasadnić z tw. Darboux że równanie ln x 2x=1 ma w przedziale [ 1 2 jedno rozwiązanie., 1] dokładnie Rozważmy funkcje: f x =ln x 2x 1 Dalej : f 1 2 =ln =ln 2 1 = ln 2 i f 1 =ln =0 1 =1 Na mocy własności Darboux istnieje miejsce zerowe c funkcji f x takie ze c [ 1 2, 1] Dalej wykażemy ze funkcja f x jest ściśle monotoniczna na przedziale [0, ] W tym celu zbadamy znak pochodnej: f ' x = 1 x 2 1 Dla każdego x [0, ] zachodzi Zatem funkcja f x jest rosnąca na przedziale [0, ] Stad na mocy własności Darboux oraz ścisłej monotoniczności funkcji f x wykazaliśmy ze istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania ln x 2x 1

17 Twierdzenie Jeśli funkcja f :[a,b] R jest ciągła i różnowartościowa, to jest ściśle monotoniczna. Twierdzenie Jeśli funkcja f :[a,b] R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f 1 f : [a,b] [a,b] też jest ciągła. f x = y f 1 y =x Definicja Funkcja f : X R spełnia warunek Lipschitza (ze stałą L), jeśli: L 0 x 1, x 2 X f x 1 f x 2 L x 1 x 2 X, d X, Y, d Y - przestrzenie metryczne L 0 x 1, x 2 X d Y f x 1, f x 2 L d X x 1, x 2

18 Twierdzenie Jeśli funkcja f : X R spełnia warunek Lipschitza, to f jest ciągła(jednostajnie ciągła)