Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Transkrypt

1 Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4. Współrzędne biegunowe..5. Zastosowania całek podwójnych w geometrii. A1 efinicja (podział prostokąta).1. Całka podwójna po prostokącie Wykład Podziałem prostokąta {( x, y) : a x b, c y d} nazywamy zbiór złożony z prostokątów { 1,,, n }, które całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza tzn. n k j 1..., mes 0 dla k j Stosowane oznaczenia: xk, y, - wymiary prostokąta k, gdzie 1 k n; k dk ( xk ) ( yk ) długość przekątnej prostokąta k, gdzie 1 k n; ( ) max{ d :1 k n} - średnica podziału ; k x1 y1 x y xn yn {(, ),(, ),,(, )}, gdzie ( xk, y k ) k dla 1 k n zbiór punktów pośrednich podziału. A efinicja (całka podwójna po prostokącie) 1

2 Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie. Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie definiujemy wzorem: n f ( x, y) dxdy lim f ( x, y )( x )( y ) ( ) 0 k 1 k k k k o ile po prawej stronie granica jest właściwa i nie zależy od sposoby podziału prostokąta, ani od sposobu wyboru punktów pośrednich. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna po prostokącie. A Uwaga. Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie oznaczamy także symbolem f ( x, y) dxdy. A+B3 Fakt (o całkowaniu funkcji ciągłych) Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna. A4 Twierdzenia (o liniowości całki) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostokącie, to: 1) ( f ( x, y) g( x, y)) dxdy f ( x, y) dxdy g( x, y) dxdy, ) ( f ( x, y) g( x, y)) dxdy f ( x, y) dxdy g( x, y) dxdy,, gdzie const 3) ( cf ( x, y)) dxdy c f ( x, y) dxdy c. A+B5 Twierdzenie (o addytywności całki względem obszaru całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie, to dla dowolnego podziału tego prostokąta na prostokąty 1,, które są rozłączne, zachodzi f ( x, y) dxdy f ( x, y) dxdy f ( x, y) dxdy, 1 gdzie, mes 0 (mes=measure=pole). 1 1 A+B6 Twierdzenia (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie [ a, b] [ c, d], to : b d d b f ( x, y) dxdy [ f ( x, y) dy] dx [ f ( x, y) dx] dy [ a, b] [ c, d ] a c c a

3 przy czym będziemy pisali umownie zamiast odpowiednio b d d b dx f ( x, y) dy i dy f ( x, y) dx a c c a b d d b [ f ( x, y) dy] dx i [ f ( x, y) dx] dy. a c c a A7 Przykład. Obliczyć podane całki iterowane: l ln x x y a) dx ( x y x) dy, b) dy ( x y x) dx, c) dx e dy A8 Przykład. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych prostokątach: a xy dxdy b x y dxdy ), [0,1] [ 1,1], ) sin( ),, 0,. A9 Fakt ( całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych) Jeżeli funkcja f jest funkcją o rozdzielonych zmiennych postaci f(x,y)=g(x)h(y), gdzie funkcje g i f są ciągłe odpowiednio na przedziałach [a,b] i [c,d], to f ( x, y) dxdy g( x) dx h( y) dy. [ a, b] [ c, d ] a c A10 Przykład. Podaną całkę zamienić na sumy lub iloczyny całek pojedynczych: e x y dxdy, [0,1] [0,]... Całka podwójna po obszarach normalnych A11 efinicja (obszary normalne względem osi układu) a) Obszar nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox, jeżeli można przedstawić go w postaci {( x, y) : g( x) y h( x), a x b}, gdzie funkcje g i h są ciągłe na [ ab, ]; b d 3

4 b) Obszar nazywamy obszarem normalnym względem osi Oy, jeżeli można przedstawić go w postaci {( x, y) : p( y) x q( y), c y d}, gdzie funkcje p i q są ciągłe na [, ]. cd A+B1 Twierdzenia (całki iterowane po obszarach normalnych) a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze: {( x, y) : g( x) y h( x), a x b}, normalnym względem osi Ox, to h( x) f ( x, y) dxdy [ f ( x, y) dy] dx a g( x) b) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze: {( x, y) : p( y) x q( y), c y d}, normalnym względem osi Oy, to b q( y) f ( x, y) dxdy [ f ( x, y) dx] dy. c p( y) A13 Uwaga Całki iterowane będziemy też zapisywać odpowiednio w postaci d 4

5 b h( x) d q( y) dx f ( x, y) dy i dy f ( x, y) dx. a g( x) c p( y) Granice całkowania dla całek iterowanych we współrzędnych kartezjańskich będą stałe tylko dla całek podwójnych po prostokącie. A+B14 Przykład. Obliczyć podane całki podwójne: a x xy dxdy x y y x y x x ) ( ), {(, ) :, 3 }, b) xydxdy, obszar jest ograniczony prostymi y 0, y x, y x Całka podwójna po obszarach regularnych A15 efinicja (całka po obszarze regularnym na płaszczyźnie) Obszar nazywamy obszarem regularnym jeśli on jest summą skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox lub Oy): 1... n. Wtedy całka po definiuje się wzorem: A16 Uwaga f ( x, y) dxdy f ( x, y) dxdy... f ( x, y) dxdy. 1 n Całki po obszarach regularnych mają te same własności, co całki po prostokątach (liniowość, addytywność itd.). B16 Fakt (o zamianie zmiennych w całce podwójnej) x ( u, v) Niech przekształcenie odwzorowuje różnowartościowo wnętrze obszaru y ( u, v) regularnego na wnętrze obszaru regularnego, funkcji, mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym obszarze otwartym zawierającym obszar, u v funkcja f jest ciągła na obszarze oraz jakobian J J ( u, v) det tego u v przekształcenia jest różny od zera wewnątrz obszaru. Wtedy f ( x, y) dxdy f ( ( u, v), ( u, v)) J( u, v) dudv. 5

6 .4. Współrzędne biegunowe A14 efinicja (współrzędne biegunowe) Położenie punku P na płaszczyźnie można opisać parą liczb (, ), gdzie - kąt między dodatnią częścią osi Ox, i promieniem wodzącym punktu P, 0 albo, a r odległość punktu P od początku układu współrzędnych, 0 r. r Parę (, ) r nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny. A15 Fakt (zależność między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi) Współrzędne kartezjańskie (x,y) punktu płaszczyzny danego we współrzędnych biegunowych (, r) określone są wzorami. x rcos y rsin A+B15 Fakt (Jakobian przekształcenia) x x r cos r sin J r r r r y y sin r cos r det cos sin (cos sin ). A16 Twierdzenie (współrzędne biegunowe w całce podwójnej) Niech funkcja f będzie ciągła na obszarze, który jest obrazem przy przekształceniu biegunowym. Wtedy A17 Uwaga f ( x, y) dxdy f ( r cos, r sin ) r drd, Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar całkowania jest ( r, ) : 0 r ( ) r r ( ), Wtedy określony następująco: 1 1 r( ) f ( x, y) dxdy d f ( r cos, r sin ) r dr, 1 r1( ) 6

7 w szczególności, gdy obszar jest ograniczony łukami okręgów o środkach w początku układu współrzędnych wtedy (i tylko wtedy) całki iterowane we współrzędnych biegunowych będą mieli stale granice całkowania. A18 Przykład. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne: ( x y ) a) e dxdy, {( x, y) : x y }, b xydxdy x y x y y x x ), {(, ) :1 4,, 0}..5. Zastosowania całek podwójnych w geometrii A19 Fakt (pole obszaru) y Pole obszaru kartezjańskich wzorem wyraża się we współrzędnych dxdy oraz r drd we współrzędnych biegunowych. 0 x A0 Przykład Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi: a) x y, x 1; b) xy 1, x 0, y x, y x dla x 0, y 0; c) y arcsin x, x 0, y ; d) r 1 cos, 0,. A+B1 Fakt (objętość bryły) Objętość bryły V położonej nad obszarem i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji ciągłych z=f(x,y) i z=g(x,y) wyraża się wzorem V ( g( x, y) f ( x, y)) dxdy 7

8 A+B Przykład. Obliczyć objętości brył ograniczonych wskazanymi powierzchniami: a) x y z 1, z 0, x 0, y 0; b) x y z 4, x y 1; c) x y z 3, x y z. A+B3 Fakt (pole płata) Pole płata, który jest wykresem funkcji z=f(x,y), gdzie ( x, y) wzorem f f 1 dxdy. x y, wyraża się A+B4 Przykład. Obliczyć pole części powierzchni podanymi powierzchniami: z1, z. z f x y x y (, ) ) odciętej A+B5 Praca domowa. 1. Obliczyć podane całki podwójne: a) xy dxdy, gdzie obszar jest ograniczony prostymi y x, y x 4, y 0; dxdy b), gdzie obszar jest ograniczony krzywymi x y 4, y x 4, y 0, x 0. ( x y ). Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi 3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami 4. Obliczyć pole części powierzchni 8 y x x y 6, 0. z x y, z 9. odciętej powierzchnią z 0. f ( x, y) x y