Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

Transkrypt

1 Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja: v A = 0 m s prędkość Zenka: v Z = 5 m s W czasie: t 0 = 0 : s A t 0 ) =0; s Z t 0 ) = 0; ) t = : s A t ) =0; s Z t ) = 5; ) t =,5 : s A t ) =5; s Z t ) = 7,5 3)... 4) To postępowanie można kontynuować w nieskończoność. Czy Zenek nigdy nie złapie Andrzeja? Suma kolejnych wyrazów ciagu geometrycznego s A t k ) = )k. Czy s A t k ) dąży do nieskończoności? Mamy: bo lim k )k = 0 lim s At k ) = lim k k 0 k = 0 0 lim k )k = 0, Granica ciagu geometrycznego dla ilorazu q, ) Fakt. Niech q, ). Wtedy lim k qk = 0. Dowód. Weźmy dowolny ɛ > 0. Należy znaleźć n 0 N takie, że dla n > n 0 Mamy q n 0 < ɛ. q n 0 = q n = q n < ɛ n > log q ɛ, więc można za n 0 przyjąć najmniejszą liczbę całkowitą większą lub równą log q ɛ.

2 Szeregi nieskończone definicje Dla ciągu a n ), o wyrazach a, a, a 3,... utwórzmy następujący ciąg: s = a, s = a + a, s 3 = a + a + a 3,... Jeżeli ciąg s n ) ma granicę, to granicę tę oznaczamy symbolem a n lim s n n n= i nazywamy ją sumą szeregu nieskończonego a + a + a Przykłady Dla q, ) i a R n= nn+) = ; aq n = a q ; n= n= n = ; szereg jest rozbieżny do granicy niewłaściwej ) dokładna definicja ciągu rozbieżnego do : [Kur08, str. 3]); n= )n = nie jest zbieżny do żadnej granicy skończonej lub nieskończonej; jest rozbieżny). Przykłady c.d. Jesteśmy zainteresowani obliczeniem sumy n. 5) n= Ciąg sum częściowych jest ograniczony, ponieważ Prawdziwe jest następujące twierdzenie: n= nn+) =. Twierdzenie. Ciag niemalejacy i ograniczony z góry jest zbieżny. Stąd suma 5) jest zbieżna do pewnej granicy g. Łatwo pokazać, że g <. Używając bardziej zaawansowanych metod można udowodnić, że g = π /6 por. [Kur08, str. 3]). Liczba e Rozważmy ciąg e n = + n) n. Można sprawdzić, że: e = ; e =,5; e 0 =,594; e 00 =,705. Fakt. Można pokazać, że ciąg e n ) jest rosnący. Fakt. Dla każdego n zachodzi e n 3 Z powyższych faktów, oraz z twierdzenia, które mówi, że ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny por. G. Fichtenholz, rachunek różniczkowy i całkowy, t., rozdz.. 34), wynika, że

3 Twierdzenie. Ciag e n = + ) n n jest zbieżny. Granicę tego ciągu będziemy oznaczać przez e od matematyka szwajcarskiego L. Eulera )): e = lim + n. n n) Liczba e z dokładnością do 0 cyfr po przecinku jest równa, Liczba e inna definicja e n=0 n!. Dowód równoważności tej definicji z podaną poprzednio: ćwiczenia. Obliczanie przybliżonej wartości liczby e Oznaczmy Mamy: więc s n n k=0 k! = n. e s n = n + )! + n + )! ) n + 3)! [ = + n + )! n + + ] n + ) +... = n!n, 7) 0 < e s n < n!n. Stąd np. s 7 przybliża liczbę e z błędem mniejszym niż 0 4, ponieważ 7! 7 = 3580). Logarytm naturalny i funkcja eksponens Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy przez ln; ln x = log e x. Funkcję wykładniczą przy podstawie e nazywamy eksponens i oznaczamy exp; exp x = e x. 3

4 Funkcja eksponencjalna jako suma szeregu potęgowego Dla dowolnego x R e x = n=0 x n n! = + x + x ) Dowód można znaleźć np. w [Kur08, str. 4]. Wniosek W otoczeniu ɛ, ɛ), gdzie ɛ jest odpowiednio małą liczbą dodatnią, wykres funkcji y = e x może być przybliżony sensownie ) przez wykres funkcji y = + x. W szczególności, wykres funkcji y = e x przecina oś OY pod kątem 45 stopni; funkcja wykładnicza dla y = a x, gdzie a e, nie posiada tej własności. Uwaga Równość 8) może być wykorzystana do zdefiniowania funkcji wykładniczej dla argumentu postaci z = a+bi, gdzie a, b R, a i = jest jednostką urojoną. Szereg harmoniczny Definicja. Mówimy, że ciag a n ) jest zbieżny do, jeżeli dla każdej liczby r istnieje takie n 0, że dla n > n 0 jest a n > r. Można pokazać, że ciąg sum częściowych tzw. szereg harmoniczny) jest zbieżny do nieskończoności. Dowód ćwiczenia. s n = n k= Zastosowania do teorii prawdopodobieństwa: Zmienna o rozkładzie geometrycznym Doświadczenie losowe polega na wykonywaniu rzutów monetą aż do wypadnięcia orła po raz pierwszy). Liczbę rzutów Z jest zmienną losową dyskretną. Z niezależności zdarzeń: ) k, P Z = k) = k =,,.... Zmienna losowa Z przykład dyskretnej zmiennej losowej, dla której zbiór wartości: {,,...} nie jest skończony. k Jeśli zamiast rzutu monetą rzucalibyśmy kostką, lub innym przedmiotem, i prawdopodobieństwo otrzymania interesującego nas wyniku byłoby równe p 0, ), to liczba rzutów, która została wykonana do momentu, gdy pojawił się interesujący nas wynik, miałaby rozkład geometryczny z parametrem p. 4

5 Powiemy, że zmienna losowa W ma rozkład geometryczny z parametrem p 0, ), jeżeli P W = k) = p)p k, k =,,... Zastosowania do teorii prawdopodobieństwa: zmienna o rozkładzie Poissona Definicja. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli przyjmuje ona wartości w zbiorze {0,,,..., } oraz P X = k) = e λ λk, k = 0,,,.... k! Rozkład Poissona może być zastosowany z powodzeniem do opisu takich cech jak liczba nasion chwastów wśród nasion trawy, liczba klientów zgłaszających się dziennie do banku, liczba wypadków drogowych na placu Grunwaldzkim w danym dniu itd. Wskazówki bibliograficzne Informacje o pojęciu szeregu można znaleźć w: M. Zakrzewski, Markowe Wykłady z Matematyki: Analiza, GiS, 03, rozdz. 0. Inne przykłady zastosowań rozkładu Poissona można znaleźć w: W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t., PWN 977, rozdz. VI.5; W. Oktaba, Elementy statystyki matematycznej i metodyka doświadczalnictwa, PWN 980, s. 6; 5