Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
|
|
- Bogumił Wilk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1 Całki potrójne 1.1 Całki potrójne po prostopadłościanie Rozważmy prostopadłościan określony w przestrzeni układu OXY Z nierównościami: : a x b c y d p z q oraz funkcję trzech zmiennych f(x, y, z) określoną i ograniczoną w tym prostopadłościanie. Definicja 1.1. odziałem prostopadłościanu nazywamy zbiór n złożony z prostopadłościanów 1, 2,..., n, które całkowicie wypełniają oraz mają parami rozłączne wnętrza (tzn. (int i ) (int j ) =, dla i j). Oznaczenia stosowane w definicji całki po prostopadłościanie: x k, y k, z k - wymiary prostopadłościanu k, gdzie 1 k n; d k = ( x k ) 2 + ( y k ) 2 + ( z k ) 2 - długość przekątnej prostopadłościanu k, gdzie 1 k n; δ n = max 1kn d k - średnica podziału n ; A = {A 1 (x 1, y 1, z 1 ), A 2(x 2, y 2, z 2 ),..., A n(x n, y n, z n )}, gdzie A k(x k, y k, z k ) k dla 1 k n, A - zbiór punktów pośrednich podziału n. 1
2 Definicja 1.2 (suma całkowa funkcji po prostopadłościanie). Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie oraz niech n będzie podziałem tego prostopadłościanu, a A zbiorem punktów pośrednich. Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi n oraz punktom pośrednim A nazywamy liczbę n f(x k, y k, z k ) ( x k) ( y k ) ( z k ). k=1 Definicja 1.3 (całkowa potrójna po prostopadłościanie). Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie. Całkę potrójną funkcji f po prostopadłościanie definiujemy wzorem n f(x, y, z)dxdydz def = lim f(x δn 0 k, yk, zk) ( x k ) ( y k ) ( z k ), k=1 o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału n prostopadłościanu ani od sposobu wyboru punktów pośrednich A. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie. Uwaga 1. Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie oznaczamy też symbolem: f(x, y, z)d. Twierdzenie 1.4. Funkcja ciągła na prostopadłościanie jest na nim całkowalna. Twierdzenie 1.5 (o liniowości całki). Niech funkcje f i g będą całkowalne na prostopadłościanie oraz niech α, β R. Wtedy (αf(x, y, z) + βg(x, y, z)) dxdydz = α f(x, y, z)dxdydz + β g(x, y, z)dxdydz. Twierdzenie 1.6 (o addytywności względem obszaru całkowania). Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie, to dla dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany 1 i 2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dxdydz + f(x, y, z)dxdydz. 1 2 Twierdzenie 1.7 (o zamianie całki potrójnej na całkę iterowaną). Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie = a, b c, d p, q, to a,b c,d p,q f(x, y, z)dxdydz = b d q a c p f(x, y, z)dz dy dx. Uwaga 2. owyższe twierdzenie będzie prawdziwe także wtedy, gdy po prawej stronie równości napiszemy dowolną całkę iterowaną (jest sześć rodzajów całek iterowanych). Całkę iterowaną b d q a c p f(x, y, z)dz dy dx 2 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
3 możemy zapisywać umownie b a dx d c q dy p f(x, y, z)dz. odobną umowę możemy przyjąć dla pozostałych całek iterowanych. rzykład 1.8. Niech = 1, 1 0, 1 2, 4. Oblicz (2x y + 3z)dxdydz. 1.2 Całki potrójne po obszarach normalnych Definicja 1.9 (całka potrójna po obszarze). Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym R 3 oraz niech będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar. onadto niech f oznacza rozszerzenie funkcji f na określone wzorem: f (x, y, z) def f(x, y, z), dla (x, y, z), = 0, dla (x, y, z) \. Całkę potrójną funkcji f po obszarze definiujemy wzorem: f(x, y, z)dxdydz def = f (x, y, z)dxdydz, o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowana w obszarze Uwaga 3. Całka f (x, y, z)dxdydz nie zależy od wyboru prostopadłościanu. Definicja 1.10 (Obszary normalne względem płaszczyzn układu współrzędnych). 1 Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny XOY, jeżeli można go zapisać w postaci: = {(x, y, z) : (x, y) D xy g(x, y) z h(x, y)}, gdzie D xy jest obszarem normalnym na płaszczyźnie XOY, a funkcje g i h są ciągłe na D xy, przy czym g(x, y) < h(x, y) dla punktów (x, y) należących do wnętrza obszaru D xy ( ). ( ) D xy - rzut obszaru na płaszczyznę XOY. 3 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
4 2 Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny XOZ, jeżeli można go zapisać w postaci: = {(x, y, z) : (x, z) D xz p(x, z) y q(x, z)}, gdzie D xz jest obszarem normalnym na płaszczyźnie XOZ, a funkcje p i q są ciągłe na D xz, przy czym p(x, z) < q(x, z) dla punktów (x, z) należących do wnętrza obszaru D xz ( ). 3 Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny Y OZ, jeżeli można go zapisać w postaci: = {(x, y, z) : (y, z) D yz r(y, z) x s(y, z)}, gdzie D yz jest obszarem normalnym na płaszczyźnie Y OZ, a funkcje r i s są ciągłe na D yz, przy czym r(y, z) < s(y, z) dla punktów (y, z) należących do wnętrza obszaru D yz ( ). Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym = {(x, y, z) : (x, y) D xy g(x, y) z h(x, y)} normalnym względem płaszczyzny XOY, gdzie funkcje g i h są ciągłe na D xy, to h(x,y) f(x, y, z)dxdydz = D xy g(x,y) f(x, y, z)dz dxdy. Uwaga 4. rawdziwe są analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układu. Jeżeli obszar normalny względem płaszczyzny XOY można zapisać w postaci: : a x b g(x) y h(x) g(x, y) z h(x, y),. to zachodzi równość f(x, y, z)dxdydz = b h(x) a g(x) b a dx h(x,y) g(x,y) h(x) g(x) dy f(x, y, z)dz dy dx h(x,y) g(x,y) f(x, y, z)dz. rzykład Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchniami z = y 2 x 2, z = 0, x = 0, y = 1 i y = x. Oblicz (x 2 + y 2 )dxdydz. ( ) D xz - rzut obszaru na płaszczyznę XOZ. ( ) D yz - rzut obszaru na płaszczyznę Y OZ. 4 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
5 rzykład Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchniami z = y, z = 0 i y = 1 x 2. Oblicz ydxdydz. Definicja Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni. Twierdzenie Niech obszar regularny = n oraz int i int j =, dla i j oraz niech funkcja f będzie całkowalna na. Wtedy f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dxdydz + f(x, y, z)dxdydz f(x, y, z)dxdydz. 1 2 n Uwaga 5. Całki po obszarach regularnych mają te same własności co całki po prostopadłościanach, tzn. liniowość, addytywność względem obszaru całkowania. Definicja Wartością średnią funkcji f na obszarze nazywamy liczbę gdzie oznacza objętość obszaru. f śr := 1 f(x, y, z)dxdydz, Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym, to w tym obszarze istnieje punkt (x 0, y 0, z 0 ), taki że f śr = f(x 0, y 0, z 0 ). rzykład Niech = {(x, y, z) : 0 x 1 0 y x 0 z x + y}. Oblicz wartość średnią funkcji f(x, y, z) = x + y + z. rzykład W punkcie (x, y, z) prostopadłościanu = {(x, y, z) : 0 x 1 0 y 2 0 z 3} temperatura określona jest wzorem T (x, y, z) = y sin πx + z. Oblicz średnią temperaturę w tym prostopadłościanie. 5 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
6 1.3 Zamiana zmiennych w całkach potrójnych ( ) Niech Ω i będą obszarami odpowiednio w przestrzeniach UO W i XOY Z. rzekształceniem obszaru Ω w obszar nazywamy funkcję F : Ω określoną wzorem gdzie Ω. (x, y, z) = F = (ϕ, ψ, χ), F(Ω) def = {(x, y, z) : x = ϕ y = ψ z = χ Ω} - obraz zbioru Ω. Jeżeli funkcje ϕ, ψ, χ są ciągłe na obszarze Ω, to przekształcenie F nazywamy ciągłym. Jeżeli różnym punktom obszaru Ω odpowiadają różne punkty jego obrazu, to przekształcenie F nazywamy różnowartościowym. J F = ϕ u ψ u χ u ϕ ψ χ ϕ v ψ v χ v w w w - jakobian przekształcenia F Stwierdzenie Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i różnowartościowym jest również obszarem. Twierdzenie 1.21 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej). Niech przekształcenie F odwzorowuje różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego Ω na wnętrze obszaru regularnego, funkcje ϕ, ψ, χ mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar Ω, funkcja f będzie ciągła na obszarze, J F 0, dla intω. Wtedy f(x, y, z)dxdydz = Ω f(ϕ, ψ, χ) J F dudvdz Współrzędne walcowe w całkach potrójnych ołożenie punktu A(x, y, z) w przestrzeni można opisać trójką liczb (ϕ, ϱ, h), gdzie: ϕ oznacza miara kąta między rzutem promienia wodzącego punktu A na płaszczyznę XOY, a dodatnią częścią osi OX, 0 ϕ < 2π lub π < ϕ π, ϱ oznacza odległość rzutu punktu A na płaszczyznę XOY od początku układu współrzędnych, 0 ϱ <, h oznacza odległość (dodatnia dla z > 0 i ujemną dla z < 0) punktu od płaszczyzny XOY, < h <. 6 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
7 Trójkę liczb (ϕ, ϱ, h) nazywamy współrzędnymi walcowymi punktu przestrzeni. Zależność między współrzędnymi walcowymi i kartezjańskimi: x = ϱ cos ϕ W : y = ϱ sin ϕ z = h rzekształcenie W, które każdemu punktowi (ϕ, ϱ, h) przyporządkowuje punkt (x, y, z) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem walcowym. Jakobian przekształcenia walcowego J W = ϱ. Twierdzenie Niech obszar Ω we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym funkcja f będzie ciągła na obszarze, który jest obrazem obszaru Ω przy przekształceniu walcowym, tzn. = W(Ω). Wtedy f(x, y, z)dxdydz = Ω f(ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, h) ϱ dhdϱdϕ. rzykład Niech będzie obszarem ograniczonym paraboloidą z = 9 x 2 y 2 i płaszczyzną z = 0. Oblicz x 2 dxdydz. rzykład Niech będzie obszarem ograniczonym stożkiem z = 2 x 2 + y 2 i płaszczyzną z = 8. Oblicz (x 2 + y 2 )dxdydz. 7 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
8 1.3.2 Współrzędne sferyczne w całkach potrójnych ołożenie punktu A(x, y, z) w przestrzeni można opisać trójką liczb (ϕ, ψ, ϱ), gdzie: ϕ oznacza miara kąta między rzutem promienia wodzącego punktu A na płaszczyznę XOY, a dodatnią częścią osi OX, 0 ϕ < 2π lub π < ϕ π, ψ oznacza miara kąta między promieniem wodzącym punktu A, płaszczyzną XOY, π 2 ψ π 2, ϱ oznacza odległość punktu A od początku układu współrzędnych, 0 ϱ <. Trójkę liczb (ϕ, ψ, ϱ) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni. Zależność między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi: x = ϱ cos ϕ cos ψ S : y = ϱ sin ϕ cos ψ z = ϱ sin ψ rzekształcenie S, które każdemu punktowi (ϕ, ψ, ϱ) przyporządkowuje punkt (x, y, z) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem sferycznym. Jakobian przekształcenia sferycznego J W = ϱ 2 cos ψ. Twierdzenie Niech Wtedy obszar Ω we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym funkcja f będzie ciągła na obszarze, który jest obrazem obszaru Ω przy przekształceniu sferycznym, tzn. = S(Ω). f(x, y, z)dxdydz = f(ϱ cos ϕ cos ψ, ϱ sin ϕ cos ψ, ϱ sin ψ) ϱ 2 cos ψ dϱdψdϕ. Ω rzykład Niech będzie obszarem ograniczonym półsferą z = 4 x 2 y 2 i płaszczyzną z = 0. Oblicz z x y 2 + z 2 dxdydz. 8 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
9 rzykład Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchnią z = 2 1 x 2 y 2 i płaszczyzną z = 1 2. Oblicz dxdydz x 2 + y 2 + z 2. 9 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
10 1.4 Zastosowania całek potrójnych w geometrii i mechanice Objętość obszaru Objętość obszaru R 3 wyraża się wzorem: = dxdydz. Masa obszaru Masa obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy ϱ wyraża się wzorem: M = ϱ(x, y, z)dxdydz. Momenty statyczne Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy ϱ wyrażają się wzorami: MS xy = zϱ(x, y, z)dxdydz, MS xz = yϱ(x, y, z)dxdydz, MS yz = xϱ(x, y, z)dxdydz. Współrzędne środka masy Współrzędne środka masy obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy ϱ wyrażają się wzorami: Momenty bezwładności x C = MS yz M, y C = MS xz M, z C = MS xy M. Momenty bezwładności względem osi OX, OY, OZ obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy ϱ wyrażają się wzorami: I x = (y 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz, I y = (x 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz, I z = (x 2 + y 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz. Moment bezwładności względem punktu O(0, 0, 0) obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy ϱ wyraża się wzorem: I O = (x 2 + y 2 + z 2 )ϱ(x, y, z)dxdydz. 10 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoCałki potrójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Całki potrójne Całki potrójne po prostopadłościanie. Całki potrójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach potrójnych. Zastosowania całek potrójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE
WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoOkreślenie całki oznaczonej na półprostej
Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem
Bardziej szczegółowoef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza
FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch i trzech zmiennych
Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. Agata ilitowska 27 1 Całka podwójna. 1.1 Całka podwójna w prostoka cie Niech f be dzie funkcja dwóch zmiennych określona i ograniczona w prostoka cie domknie tym
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej
Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (wykład 14; )
Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej
eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo