Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Transkrypt

1 Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016

2 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,..., x m, y 0, y 1,..., y n będą takimi punktami, że a = x 0 x 1 x m = b, c = y 0 y 1 y n = d. Oznaczmy przez K ij = x i 1, x i y j 1, y j oraz P = {K ij : i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n}. Zbiór P nazywamy podziałem prostokąta K.

3 Definicja cd Sumą dolną funkcji f na prostokącie K dla podziału P nazywamy liczbę m n s(f, P) = inf f (K ij ) K ij, i=1 j=1 sumą górną funkcji f na prostokącie dla podziału P nazywamy liczbę m n S(f, P) = sup f (K ij ) K ij, i=1 j=1 gdzie K ij = (x i x i 1 ) (y j y j 1 ).

4 Definicja cd Całką dolną funkcji f na prostokącie K nazywamy liczbę f (x, y)dxdy = sup s(f, P), P K całką górną funkcji f na prostokącie K nazywamy liczbę K f (x, y)dxdy = inf P S(f, P).

5 Definicja cd Mówimy, że funkcja f : K R jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie K wtedy i tylko wtedy, gdy K f (x, y)dxdy = K f (x, y)dxdy. Wspólną wartość tych całek nazywamy całką Riemanna funkcji f na prostokącie K i oznaczamy symbolem f (x, y)dxdy. K

6 Interpretacja geometryczna Z definicji wynika, że dla funkcji ograniczonej i nieujemnej f : K R, gdzie K R 2, całkę f (x, y)dxdy możemy interpretować jako objętość bryły K A = { (x, y, z) R 3 : (x, y) K 0 z f (x, y) }.

7 Twierdzenie Jeśli funkcja f : K R, gdzie K = a, b c, d, jest ciągła, to f jest całkowalna na K. Ponadto K f (x, y)dxdy = ˆ b (ˆ d ) = f (x, y)dy dx = a c ˆ d c (ˆ b ) f (x, y)dx dy. a

8 Całki po prawej stronie nazywamy całkami iterowanymi. Zapisywać je będziemy odpowiednio w postaci ˆ b (ˆ d ) ˆ b ˆ d f (x, y)dy dx = dx f (x, y)dy, a c a c ˆ d (ˆ b ) ˆ d ˆ b f (x, y)dx dy = dy f (x, y)dx. c a c a

9 Przykład Przykład Obliczymy całkę gdzie K = 0, 1 0, 3. Rozwiązanie K K (x + y)dxdx = (x + y) dxdy, ˆ 1 0 dx ˆ 3 1 (x + y) dy = 5.

10 Definicja Niech A K będzie zbiorem niepustym. Funkcję ograniczoną f : A R nazywamy całkowalną na zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja g(x, y) = { f (x, y) dla (x, y) A, 0 dla (x, y) K A jest całkowalna na zbiorze K. Przyjmujemy wówczas f (x, y)dxdy = g(x, y)dxdy. A K

11 Zbiory normalne Definicja Mówimy, że zbiór A R 2 jest normalny względem drugiej osi współrzędnych wtedy i tylko wtedy, gdy A = {(x, y) : a x b g (x) y h (x)}, gdzie g, h są funkcjami ciągłymi. Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pierwszej osi współrzędnych. Zbiór A nazywamy normalnym, jeśli jest normalny względem pierwszej lub drugiej osi współrzędnych.

12 Twierdzenie Jeśli A = {(x, y) : a x b g (x) y h (x)}, tzn. A jest normalny względem pierwszej osi współrzędnych, funkcja f jest ciągła na A, to f jest całkowalna na A oraz A ˆb ˆh(x) f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy. a g(x) Analogiczne twierdzenie zachodzi dla zbioru normalnego względem drugiej osi współrzędnych.

13 Przykład Przykład Obliczymy całkę A f (x, y) dxdy, gdzie A = { (x, y) R 2 : 0 x 1 x 2 y x }, f (x, y) = (x y). Rozwiązanie Mamy ˆ 1 0 dx ˆ x x 2 (x y) dy = ˆ 1 0 ( 1 2 x 2 x x 4 ) dx = 1 60.

14 Przykład Przykład Obliczymy całkę f (x, y) dxdy, A gdzie A jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (0, 1), f (x, y) = x 2 y.

15 Rozwiązanie Rozwiązanie Zbiór A możemy zapisać w postaci A = {(x, y) R 2 : 0 x 2 0 y 1 } 2 x + 1, zatem A f (x, y) dxdy = = ˆ 2 dx ˆ 1 2 x ˆ 2 ˆ 1 2 x x 2 ydy = x 2 ydy dx = 2 15.

16 Przykład Przykład Obliczymy całkę A = A f (x, y) dxdy, gdzie {(x, y) R 2 : x > 0 1 x y 4 3x }, f (x, y) = x.

17 Rozwiązanie Rozwiązanie 1 = 4 3x } x { x = 1 3, {x = 1} A = { (x, y) : 1 x 1 1 y 4 3 x 3x}. A f (x, y) dxdy = ˆ 1 ˆ 4 3x x xdy dx = 4 27.

18 Podamy przykłady całek funkcji f (x, y) na nieograniczonym zbiorze normalnym. Rozważać będziemy funkcje f (x, y) które mają stały znak na tym zbiorze. Przykład Obliczymy całkę A f (x, y)dxdy, gdzie f (x, y) = e x2, A = {(x, y) R 2 : x y x}.

19 Rozwiązanie Rozwiązanie A = {(x, y) R 2 : 0 x < x y x}, zatem f (x, y)dxdy = ˆ dx ˆ x A 0 x e x2 dy = ˆ (ˆ x ) = e x2 dy dx = 1. 0 x

20 Zamiana zmiennych Twierdzenie Jeśli zbiór A R 2 jest normalny, odwzorowanie H : A H(A) R 2 jest różnowartościowe i ma ciągłą pochodną H taką, że jakobian det H (u, v) 0 poza skończoną liczbą punktów, to f (x, y) dxdy = (f H) (u, v) det H (u, v) dudv. H(A) A

21 Współrzędne biegunowe Dowolny punktu (x, y) R 2 wyznacza takie liczby r 0, ), ϕ 0, 2π), że x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Liczby r, ϕ nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu (x, y). Dla współrzędnych biegunowych tzn odwzorowania H(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) mamy wzór f (x, y) dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. H(A) A

22 Przykład Przykład Obliczymy całkę ( x 2 + y 2) dxdy, gdzie K = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4}. K

23 Rozwiązanie Rozwiązanie Dowolny punkt (x, y) płaszczyzny R 2 możemy przedstawić za pomocą współrzędnych biegunowych (r, ϕ) w postaci x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Korzystając z tego przedstawienia otrzymujemy, że K = H (A), gdzie A = {(r, ϕ) : 0 r 2 0 ϕ < 2π}, H (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ).

24 Rozwiązanie cd Jakobian odwzorowania H jest równy r, zatem stosując twierdzenie o zamianie zmiennych, otrzymujemy ( x 2 + y 2) dxdy = r 2 r drdϕ = ˆ2π ˆ2 dϕ r 3 dr = 8π. K A 0 0

25 Przykłady Przykłady Obliczyć całki: a) 1 x 2 y 2 dxdy, gdzie K = {(x 1, x 2 ) : x 2 + y 2 1} ; K b) e x2 y 2 dxdy; R 2 c) (1 + x 2 + y 2 ) 2 dxdy; R 2 d) (x 2 + y 2 ) e x2 y 2 dxdy, gdzie A = 0, ) 0, ). A

26 Przykłady Przykłady 12 Wykazać, że: a) e x2 dx = π, wskazówka: skorzystać ze wzoru b) 0 c) R 2 e x2 y 2 e x2 dx = 1 2 π, e 1 2 x2 dx = 2π. dxdy = e x2 dx e y 2 dy. R R

27 Przykłady Przykłady Obliczyć objętość zbiorów: a) A = {(x, y, z) : x 0 y 0 z 0 x + y + z 2}. b) K = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1}.