Ciagi liczbowe wykład 4

Transkrypt

1 Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017

2 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciagu i oznaczamy przez a n, b n itp. Ciagi o takich wyrazach oznaczamy odpowiednio przez (a n ), (b n ) itp. Zbiór wyrazów ciagu (a n ) oznaczamy przez {a n }. Uwaga 1 Niektórzy autorzy definiujemy ciag jako funkcję określona na dowolnym podzbiorze liczb naturalnych. Uwaga 2 W ksiażce D. Wrzoska ciag o wyrazach a n, n N oznaczany jest przez {a n } n=1.

3 Sposoby określania ciagu Ciagi liczbowe możemy określać: (i) wzorem: np. a n = 3 n. (ii) opisowo a n n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π; (iii) rekurencyjnie: wyraz (n + 1) szy jest określony jako funkcja poczatkowych n wyrazu ciagu; np. ciag arytmetyczny (a n ), którego pierwszy wyraz jest równy 1 i różnica r jest równa 2, może być określony rekurencyjnie w następujacy sposób: por. [Wrz08, str. 109]. a 1 = 1, a n+1 = a n + 2

4 Ciag geometryczny Definicja Ciag (a n ) określony przez a 1 = a, a n+1 = qa n, gdzie a i q sa danymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy ciagiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a i ilorazie q. Przykład W chwili t = 1 liczebność populacji bakterii wynosi Po upływie czasu T liczebność populacji bakterii się podwaja. Przyjmujac T za jednostkę pomiaru czasu liczebność populacji a n w chwili t = n można określić wzorem: a 1 = 1000; a n+1 = 2a n.

5 Definicja Ciag (a n ) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór {a n } jest ograniczony z dołu, tj. istnieje m R takie, że dla każdego n N a n m. Definicja (ciagu ograniczonego z góry) Ciag (a n ) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {a n } jest ograniczony z góry, tj. istnieje M R takie, że dla każdego n N a n M.

6 Przykład Ciag b n = jest np. 1. n n+3 jest ograniczony z góry- ograniczeniem górnym Definicja (ciagu ograniczonego) Ciag (a n ) jest ograniczony, jeżeli zbiór {a n } jest ograniczony, tj. ma zarówno ograniczenie dolne jak i górne. Przykład Ciag a n = n n jest ograniczony. Ograniczeniem dolnym jest np. 0 a ograniczeniem górnym np. 1.

7 Definicja Ciag (a n ) jest rosnacy, jeżeli a 1 < a 2 < a 3 <..., tzn. dla każdego n N a n < a n+1. Analogicznie definiujemy ciag niemalejacy: Definicja Ciag (a n ) jest niemalejacy, jeżeli a 1 a 2 a 3..., tzn. dla każdego n N a n a n+1. Uwaga. Analogicznie definiuje się ciag malejacy i nierosnacy. Ciag nazywamy monotonicznym, jeżeli jest nierosnacy lub niemalejacy.

8 Pojęcie granicy ciagu Rozważmy ciag (a n ) określony przez a n = 1 n. Dla dowolnego ε > 0 wszystkie, z wyjatkiem co najwyżej skończonej liczby, wyrazy tego ciagu należa do epsilonowego otoczenia zera (0 ε, 0 + ε). Zamiast wszystkie z wyjatkiem co najwyżej skończonej liczby będziemy często pisać prawie wszystkie. Definicja (słowne określenie granicy właściwej ciagu) Ciag (a n ) jest zbieżny do granicy właściwej a R, jeśli w dowolnym otoczeniu epsilonowym a znajduja się prawie wszystkie wyrazy tego ciagu.

9 Pojęcie granicy ciagu c.d. Definicja (granicy właściwej ciagu) Ciag (a n ) jest zbieżny do granicy właściwej a R, co zapisujemy lim a n = a, n wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje n 0 N takie, że dla każdego n naturalnego większego niż n 0 Równość a n a < ε. lim a n = a n często jest zapisywana krócej: lim a n = a lub a n a.

10 Granica ciagu przykład Zadanie. Korzystajac z definicji granicy uzasadnij, że 1 lim n n = 0. Rozw. Mamy pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje n 0 N takie,że dla n > n 0 1 n 0 < ε. Niech ε będzie dowolna liczba dodatnia. Musimy znaleźć liczbę n 0 N taka, że dla każdego n > n 0 będzie spełniona nierówność 1 n 0 < ε. Mamy 1 n 0 = 1 n < ε wtedy i tylko wtedy, gdy n > 1 ε. Zatem za n 0 można przyjać dowolna liczbę naturalna większa niż 1 ε.

11 Granica zastosowania geometryczne Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ograniczonej prosta y = 0, prosta x = 1 i wykresem funkcji f (x) = x 2. Rozwiazanie przybliżone. Dzielimy odcinek [0, 1] na n odcinków o równej długości: [ 0, 1 ) [ 1, n n, 2 ) [ ] n 1,..., n n, 1. Suma pól prostokatów, których podstawy sa równe tym odcinkom a wysokości kwadratom ich lewych końców, oznaczana przez s n, jest sensownym przybliżeniem pola figury S. Pole figury S można zdefiniować jako lim n s n.

12 x^ x Rysunek: Przybliżony sposób obliczania pola figury S

13 Przykład geometryczny c.d. Mamy n [ 1 ( k 1 ) 2 ] s n = n = 1 (n 1)n(2n 1) n n 3 ; 6 k=1 wykorzystaliśmy równość: n 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 Obliczenie granicy ci agu (s n ) bezpośrednio z definicji raczej trudne.

14 Twierdzenie (o arytmetyce granic ciagów) Jeżeli ciag (a n ) jest zbieżny do granicy właściwej a oraz ciag (b n ) jest zbieżny do granicy właściwej b, to lim n + b n ) n = a + b, (1) lim n b n ) n = a b, (2) lim n) n = ca, gdzie c R, (3) lim nb n ) n = ab, (4) lim n a n b n = a/b, o ile b 0, (5)

15 Przykład geometryczny c.d. Korzystajac z twierdzenia o arytmetyce granic ciagów możemy obliczyć granicę ciagu (s n ) : lim s 1 (n 1)n(2n 1) n = lim n n n 3 = (6) 6 (n 1)n(2n 1) (n 1)(2n 1) = lim n 6n 3 = lim n 6n 2 = (7) = lim n 2n 2 3n + 1 6n 2 = (8) 2n 2 = lim n 6n 2 lim n = 1 3 lim n 1 2n + lim n 3n 6n 2 + lim n 1 6n 2 = (9) 1 6n 2 = 1 3. (10) Przy obliczeniach zostało wykorzystane Twierdzenie o arytmetyce granic ciagów.

16 Liczba e Rozważmy ciag e n = ( n ) n. Można sprawdzić, że: e 1 = 2; e 2 = 2,25; e 10 = 2,594; e 100 = 2,705. Fakt. Można pokazać, że ciag (e n ) jest rosnacy. Fakt. Dla każdego n zachodzi e n 3. Z powyższych faktów, oraz z twierdzenia, które mówi, że ciag rosnacy i ograniczony z góry jest zbieżny (por. G. Fichtenholz, rachunek różniczkowy i całkowy, t.1, rozdz. 34), wynika, że Twierdzenie Ciag jest zbieżny. e n = ( ) n n

17 Granicę tego ciagu będziemy oznaczać przez e (od matematyka szwajcarskiego L. Eulera ( )): ( e = lim ) n. n n Liczba e z dokładnościa do 10 cyfr po przecinku jest równa 2,