22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica f(x) f(x 0 ) lim. Granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ) x x 0 x x 0 lub df (x dx 0). Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to nazywamy ją różniczkowalną. Wtedy też przyporządkowanie x f (x) nazywamy funkcją pochodną. W interpretacji geometrycznej pochodna jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0. Równaniem stycznej jest y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ).
23 Wzory na pochodne funkcji Twierdzenie 34 (c) = 0, c R (x n ) = nx n 1, n R (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tg x) 1 = (ctg x) = 1 cos 2 x sin 2 x (e x ) = e x (a x ) = a x ln a (ln x) = 1 (log x a x) = 1. (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) 1 x ln a 2. (cf(x)) = cf (x) 3. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 4. ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x), g(x) 0 g(x) g 2 (x) 5. [g(f(x)] = g (f(x))f (x) 24 Reguła de l Hospitala Twierdzenie 35 Jeśli 1. lim f(x) g(x) = 0 lub lim f(x) g(x) = ±, 2. istnieje granica lim f (x) g (x) to istnieje granica lim f(x) g(x) (może być niewłaściwa), oraz zachodzi równość f(x) lim g(x) f (x) g (x). 1. lim x 1 x 3 3x 2 + 2 x 2 + x 2 2. lim x 0 e x 1 x Reguła de l Hospitala przykłady = [ 0] H (x 3 3x 2 + 2) 3x 2 6x 0 x 1 (x 2 + x 2) x 1 2x + 1 = [ 0 0 ] H x 0 (e x 1) (x) e x x 0 1 = 1 1 = 1 = 3 3 = 1 25 Monotoniczność Twierdzenie 36 Dana jest funkcja różniczkowalna f : (a; b) R. Wtedy: 2
1. jeśli f (x) > 0 dla x (a; b), to f jest rosnąca w przedziale (a; b); 2. jeśli f (x) 0 dla x (a; b), to f jest niemalejąca w przedziale (a; b); 3. jeśli f (x) < 0 dla x (a; b), to f jest malejąca w przedziale (a; b); 4. jeśli f (x) 0 dla x (a; b), to f jest nierosnąca w przedziale (a; b); 5. jeśli f (x) = 0 dla x (a; b), to f jest stała w przedziale (a; b). Przykład Niech f(x) = x 3 + 2x + 1. Wówczas f (x) = 3x 2 + 2 > 0 dla każdego x R, więc funkcja f jest rosnąca w zbiorze R. 26 Ekstrema funkcji Definicja 37 Niech D R. Funkcja f : D R posiada minimum (maksimum) lokalne w punkcie x 0 D, jeśli istnieje taki przedział (x 0 δ; x 0 + δ) D, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ; x 0 + δ) (f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ; x 0 + δ)). Minima i maksima noszą wspólną nazwę ekstremów. Twierdzenie 38 (warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeśli funkcja f : (a; b) R osiąga ekstremum w pewnym punkcie x 0 D i jest w tym punkcie różniczkowalna, to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie 39 (warunek wystarczający istnienia ekstremum) Dana jest funkcja różniczkowalna f : D R. Jeśli x 0 D, f (x 0 ) = 0 oraz f zmienia w x 0 znak z na +, to f osiąga minimum w x 0. Jeśli x 0 D, f (x 0 ) = 0 oraz f zmienia w x 0 znak z + na, to f osiąga maksimum w x 0. Pochodne wyższych rzędów, ekstrema Definicja 40 Jeśli funkcja f jest różniczkowalna, to jej pochodną nazywamy pochodną drugiego rzędu i oznaczamy f. Ogólnie pochodną n-tego rzędu definiujemy: f (n) = [ f (n 1)]. Funkcję, która posiada pochodną n tego rzędu, nazywamy n krotnie różniczkowalną. Przykład 41 (x 5 +3x 4 x 3 +x 2 +4x 6) = (5x 4 +12x 3 3x 2 +2x+4) = 20x 3 +36x 2 6x+2 Twierdzenie 42 Dana jest funkcja dwukrotnie różniczkowalna f : (a; b) R, której druga pochodna f jest ciągła. Jeśli x 0 (a; b), f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) > 0, to f osiąga minimum w x 0. Jeśli x 0 (a; b), f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) < 0, to f osiąga maksimum w x 0. Przykład 43 Niech f(x) = x 8 4x 2 + 7. Obliczamy pierwszą pochodną i przyrównujemy ją do zera: f (x) = 8x 7 8x = 8x(x 6 1) = 0. Rozwiązaniami tego równania są liczby x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 1. Obliczamy teraz pochodną rzędu drugiego: f (x) = 56x 6 8, 3
a następnie wstawiamy do niej obliczone wcześniej punkty: f ( 1) = 48, f (0) = 8, f (1) = 48. Na mocy powyższego twierdzenia, w punkcie x 2 = 0 funkcja f osiąga maksimum lokalne, zaś w punktach x 1 = 1 i x 3 = 1 minima lokalne. 27 Monotoniczność, ekstrema przykład Zbadajmy monotoniczność i istnienie ekstremów dla funkcji f(x) = 1 3 x3 1 2 x2 2x + 1. Dziedzina: D = R f jest różniczkowalna, pochodna: f (x) = x 2 x 2 Miejsca zerowe pochodnej: x 2 x 2 = 0 (x + 1)(x 2) = 0 x = 1 x = 2 Znak pochodnej: f (x) < 0 x ( 1; 2); f (x) > 0 x ( ; 1) x (2; + ) Monotoniczność: f jest malejąca w przedziale ( 1; 2); rosnąca w przedziałach ( ; 1), (2; + ) Ekstrema: minimum dla x = 2, maksimum dla x = 1 4
28 Wartość największa i najmniejsza Jeśli f : a; b R jest funkcją różniczkowalną, to wartości największą i najmniejszą funkcji f w przedziale domkniętym a; b obliczamy według następującego schematu: 1. rozwiązujemy równanie f (x) = 0; załóżmy, że rozwiązaniami tego równania są liczby x 1, x 2,..., x n a; b ; 2. tworzymy zbiór wartości f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n ), f(a), f(b); największa liczba w tym zbiorze jest jednocześnie największą wartością funkcji f w przedziale a; b, zaś najmniejsza w tym zbiorze najmniejszą wartością funkcji f w przedziale a; b. 5