11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO Ruchem dgającym nazywamy uch, któy powtaza się peiodycznie w takcie jego twania w czasie i zachodzi wokół położenia ównowagi. Zespół obiektów fizycznych zapewniający wytwozenie uchu dgającego nazywamy układem dgającym. W każdym układzie dgającym, aby układ mógł wykonywać dgania musi być spełniony podstawowy waunek polegający na tym, że każdemu wychyleniu układu z położenia ównowagi musi towazyszyć siła skieowana pzeciwnie do wychylenia, tzn. skieowana w stonę położenia ównowagi. Siłę tę nazywamy kieującą lub zawacającą. Rys. 11.1. a) Spężyna nieodkształcona. Jak początek osi X pzybieamy położenie tego końca spężyny, do któego położony jest klocek. b) Pzemieszczamy klocek o d pzy czym spężyna zostaje ozciągnięta w kieunku dodatnich. Zwócić uwagę na siłę zwotną działającą na klocek. c) Spężyna zostaje ściśnięta zwócić uwagę na siłę zwotną. Enegia w uchu dgającym Jednowymiaowy uch dgający powodowany jest siłą: F = k Paca tej siły na dodze wynosi W = Fd a po zóżniczkowaniu dw = Fd Całkowanie gaficzne spowadza się do policzenia pola powiezchni pod kzywą ys. 11.2
Rys. 11.2. Zależność siły od wychylenia, paca jako całka (pole zakeskowanego tójkąta), wykes enegii potencjalnej w funkcji położenia ciała. Enegia potencjalna (analitycznie) E p ( ) = 0 Fd E p ( ) = ( k) d= 0 k 2 2
Czasowe pzebiegi paametów uchu i enegii w uchu dgającym Rys. 11.3. Czasowe pzebiegi położenia, pędkości i pzyspieszenia punktu mateialnego w uchu dgającym. Enegia potencjalna i enegia kinetyczna.
12. Dynamika uch po toach kołowych W zjawiskach pzyodniczych i uządzeniach technicznych badzo często spotykamy się z uchem obotowym. Okeślenia: Ciało sztywne to ciało, któe pousza się w taki sposób, że wszystkie jego części są związane ze sobą dzięki czemu kształt ciała nie ulega zmianie. Stała oś obót zachodzi wokół osi, któej położenie nie zmienia się w czasie uchu ciała, i tę oś nazywamy osią obotu. Ruch obotowy Każdy punkt ciała sztywnego pousza się po okęgu, któego śodek leży na osi obotu i każdy punkt zakeśla w ustalonym czasie taki sam kąt. Rys. 12.1. Ciało sztywne o dowolnym kształcie obacające się wokół osi z układu współzędnych. Linia odniesienia została wybana w obębie ciała dowolnie, z tym że postopadła do osi obotu. Jest ona związana z ciałem i obaca się azem z nim. Rys. 12.2. Pzekój płaszczyzną y obacającego się ciała w ysunku 12.1 (czyli jego widok z góy). Płaszczyzna pzekoju jest postopadła do osi obotu, któa jest teaz skieowana postopadle go katki, w kieunku patzącego. Położenie ciała jest okeślone pzez kąt α jaki twozy linia odniesienia z osią.
s α = (12.1) 2π = 2π 1 pełny obót = 360 = ad (12.2) 1 ad = 57,3 =0,159 pełnego obotu (12.3) Położenie kątowe kąt jaki twozy linia odniesienia wybanym za kieunek o zeowym położeniu kątowym z pewnym stałym kieunkiem, Pzemieszczenie kątowe - Rys. 12.3. Linia odniesienia ciała sztywnego z ysunków 12.1 i 12.2 ma w chwili t 1 położenie kątowe α 1, a w pewnej późniejszej chwili t 2 położenie kątowe α 2. Wielkość α=α 2 -α 1 jest pzemieszczeniem kątowym ciała w czasie t=t 2 -t 1. Samo ciało sztywne nie zostało ty naysowane. Zapamiętajmy: Pzemieszczenie kątowe jest dodatnie, jeśli obót zachodzi w kieunku pzeciwnym do kieunku wskazówek zegaa, a jest ujemne, jeśli zachodzi w kieunku zgodnym z kieunkiem wskazówek zegaa. Związek zmiennych liniowych z kątowymi Między kinematycznymi wielkościami kątowymi i liniowymi istanieją poste związki matematyczne. Wypowadzimy je kozystając ze znanej z geometii elementanej zależności między watością kąta śodkowego α a długością łuku s okęgu o pomieniu, na któym ten okąg jest opaty, s α = (12.4)
Wychodząc z definicji pędkości kątowej ω α lim t 0 t def = Po podstawieniu zależności 12.4 do 12.5 otzymujemy 1 s 1 s ω = lim α = lim = = t t t t lim t 0 0 t 0 Analogiczny związek istnieje między watościami śednimi tych pędkości ω = v s ś oaz pomiędzy pzyostami tych pędkości v ω = Wychodząc następnie z definicji pzyspieszenia kątowego ε ω lim t 0 t def = a następnie podstawiając zależność 12.8 otzymamy v (12.5) (12.6) (12.7) (12.8) (12.9) 1 v 1 v at ε = lim = = t t lim 0 t 0 t (12.10) Zależności między wektoami kinematycznych wielkości kątowych i liniowych można wyazić za pomocą następujących iloczynów wektoowych dα = d (12.11) ω = v (12.12) = at ε (12.13) Usytuowanie pzestzenne wektoów występujących w ostatnich wzoach pokazano na ysunku 12.4 Rys. 12.4. Usytuowanie pzestzenne wektoów kinematycznych wielkości kątowych i liniowych
13. Ruch falowy Równanie fali sinusoidalnej Rys. 13.1. Rozchodzenie się zabuzenia sinusoidalnego (popzecznego) wzdłuż osi z pędkością v. Dgania punktu źódłowego opisuje ównanie y zd ( = Y sin( ϖ Dla punktu nazwanego odbionik y odb ( = Y sin( ϖτ ) gdzie τ = t V odb tak wiec w odbioniku mamy y odb ( = Y sin( ϖ ( t V odb Dla dowolnego mamy y(, = Y sin( ϖ ( t )) V V pędkość ozchodzenia się fali Y amplituda dgań )) Rys. 13.2. fotogafia dgających punktów uczestniczących w uchu falowym (obsewujemy wszystkie w tym samym czasie) Na ysunku zaznaczono długość fali czyli odległość pomiędzy dwoma punktami dgającymi w tej samej fazie oznaczamy ją λ. Ważną wielkością jest też okes (oznaczany pzez T)
jest to czas w któym fala pzebywa odległość ówną długości fali. Okes jest też odwotnością częstotliwości fali (oznaczaną f). Równanie fali, liczba falowa Wychodząc z ównania fali y(, = Y sin( ϖ ( t )) V podstawiając λ f =V ϖ = 2πf 2π y(, = Y sin( ϖ ( t )) λ ω 2π y(, = Y sin( ω t ) λ wielkość 2π =k λ zwana jest liczbą falową ostatecznie ównanie fali sinusoidalnej zapisujemy w postaci y(, = Y sin( ω t k) Równanie to obowiązuje zaówno dla fali popzecznej jak i podłużnej. Należy podkeślić że w uchu falowym w kieunki popagacji fali (zabuzenia) mamy tanspot enegii a nie masy.