Energia kinetyczna i praca. Energia potencjalna

Transkrypt

1 Enegia kinetyczna i paca. Enegia potencjalna Wykład 4 Wocław Uniesity of Technology 1 5-XI-011

2 5.XI.011 Paca Kto wykonał większą pacę? Hossein Rezazadeh Olimpiada w Atenach 004 WR Podzut 63 kg Paul Andeson Rekod Guinnessa 1957 CięŜa 7900N (850kg)

3 5.XI.011 Enegia Temin enegia pochodzi od geckiego słowa enegeia uŝywanego juŝ pzez Aystotelesa i w óŝnych tłumaczeniach oznacza działanie, pzyczynę uchu, moc. A jak naleŝy ozumieć słowo enegia w języku fizyki? Słownik wyazów obcych PWN: wielkość fizyczna okeślająca zdolność ciała lub układu ciał do wykonywania pacy pzy pzejściu z jednego stanu do dugiego Enegia wielkość skalana opisująca stan w jakim się w danym momencie znajduje jedno lub wiele ciał. 3

4 5.XI.011 Enegia kinetyczna Enegię kinetyczną E k ciała o masie m, pouszającego się z pędkością o watości, znacznie mniejszej od pędkości światła, definiujemy jako: Ek 1 m Jednostką enegii kinetycznej (i kaŝdego innego odzaju enegii) w układzie SI jest dŝul (J). Nazwa ta pochodzi od nazwiska XIX-wiecznego uczonego angielskiego, Jamesa Pescotta Joule'a. 1J kg m s James Pescott Joule 4

5 5.XI.011 Enegia kinetyczna W 1896 oku w Waco, w Teksasie William Cush na oczach widzów ustawił dwie lokomotywy napzeciwko siebie, na końcach tou o długości 6.4km. Zablokował dźwignie w połoŝeniu pełnego gazu i pozwolił ozpędzonym lokomotywom zdezyć się ze sobą czołowo. Wyznacz łączną enegię kinetyczną lokomotyw tuŝ pzed zdezeniem zakładając, Ŝe kaŝda z nich miała cięŝa ówny N, a pzyspieszenia obydwu lokomotyw wzdłuŝ tou były stałe i wynosiły 0.6 m/s. pzed po 5

6 5.XI.011 Enegia kinetyczna Pzyspieszenie kaŝdej z lokomotyw było stałe, więc do obliczenia jej pędkości tuŝ pzed zdezeniem moŝemy zastosować wzó: m / s ( x x ) + a E k m ( kg) ( 40.8m / s) 10 J Enegia wybuchu totylu: 6 E WT J / kg E zdezenia lokomotyw 51kg totylu 6

7 5.XI.011 Paca Paca W jest to enegia pzekazana ciału lub od niego odebana na dodze działania na ciało siłą. Gdy enegia jest pzekazana ciału, paca jest dodatnia, a gdy enegia jest ciału odebana, paca jest ujemna. α W o cosα 7

8 5.XI.011 Paca Jeśli siła jest funkcją połoŝenia, tzn. () to całkowite pzemieszczenie ciała ozkładamy na n odcinków, tak aby w kaŝdym z nich siłę moŝna uwaŝać za stałą. Wówczas paca całkowita wykonana pzez siłę () pzy pzesunięciu ciała z punktu 1 do punktu, któych połoŝenia są dane pzez pomienie wodzące 1 i, wynosi: W (1 ) lim i 0 W 1 n i 1 ( ) n i 1 ( ) ( ) ( ) i d i i 1 i d 8

9 5.XI.011 Paca W n W d d 9

10 5.XI.011 Paca Jeśli cos(, d ) > 0, tzn. kąt między kieunkiem i d jest mniejszy od 90 o, to wówczas W>0, czyli paca wykonana pzez siłę jest dodatnia. Pzykładem takiej sytuacji jest paca wykonana pzez siły gawitacji podczas swobodnego spadku ciała. Jeśli natomiast cos(, d ) < 0, tzn. kąt między i d jest większy od 90 o, to paca siły jest ujemna. Pzykładem takich sił są siły opou uchu. Jednostka pacy: dŝul. m J 1kg 1 1N 1m s 1 10

11 5.XI.011 Paca Gdy na ciało działa wekto siły iˆ + ˆj + x y kˆ w wyniku któej cząstka doznaje niewielkiego pzesunięcia paca wynosi d dxiˆ + dyj ˆ + z dzkˆ W d x dx + ydy + zdz Całkowita paca z punktu pocz do punktu kon W kon kon kon d + xdx ydy + pocz pocz pocz kon pocz dz z 11

12 5.XI.011 y Paca a enegia kinetyczna x 0 1 m α d + a d 0 1 m0 x ma x d E K kon E K pocz x d 1

13 13 Paca a enegia kinetyczna ENERGIA KINETYCZNA I PRACA 5.XI.011 PoniewaŜ więc dt d ( ) ( ) 1 1 t t dt d W Jeśli załoŝymy, Ŝe masa ciała jest stała, to wtedy dt d m a m m m m d m W Gdzie 1 i są pędkościami ciała odpowiednio w punkcie 1 i.

14 5.XI.011 Paca a enegia kinetyczna Zmiana enegii kinetycznej ciała jest ówna pacy wykonanej nad tym ciałem: EK EK kon EK W pocz ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ CZĄSTKI CAŁKOWITA PRACA WYKONANA NAD CZĄSTKĄ Związek ten moŝna zapisać inaczej EK EK + W kon pocz ENERGIA ENERGIA KINETYCZNEJ PO KINETYCZNEJ PRZED WYKONANIU PRACY WYKONANIEM PRACY + CAŁKOWITA PRACA WYKONANA NAD CZĄSTKĄ 14

15 5.XI.011 Moc JeŜeli w pzedziale czasu t została wykonana paca W, to śednia moc P jest okeślana P W t Mocą chwilową nazywamy ganicę do jakiej zmieza moc śednia gdy t 0 P lim t 0 W t dw dt Moc chwilowa jest więc pochodną pacy względem czasu. 15

16 5.XI.011 Moc P dw dt d dt W zapisie wektoowym P Moc danej siły jest popocjonalna do pędkości. Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]. Moc jest ówna jednemu watowi, jeŝeli stała siła wykonuje pacę jednego dŝula w czasie jednej sekundy. 1J 1 J 1s 16

17 ENERGIA POTENCJALNA 5.XI.011 Enegia potencjalna Definicja enegii potencjalnej E p : jest to enegia związana z konfiguacją (czyli ustawieniem) układu ciał, działających na siebie siłami. Gdy zmienia się konfiguacja tych ciał, moŝe się ównieŝ zmieniać enegia potencjalna układu. Zmianę gawitacyjnej enegii potencjalnej E p definiujemy zaówno dla wznoszenia, jak i dla spadku ciała jako pacę wykonaną nad ciałem pzez siłę cięŝkości, wziętą z pzeciwnym znakiem. Oznaczając pacę jak zwykle symbolem W, zapisujemy to stwiedzenie w postaci: E W p 17

18 ENERGIA POTENCJALNA 5.XI.011 Siły zachowawcze i niezachowawcze W sytuacji, gdy zawsze spełniony jest związek W 1 W, enegia kinetyczna zamieniana jest na enegię potencjalną, a siłę nazywamy siłą zachowawczą. Siła cięŝkości i siła spęŝystości są siłami zachowawczymi (gdyby tak nie było. nie moglibyśmy mówić o gawitacyjnej enegii potencjalnej i enegii potencjalnej spęŝystości). Siłę, któa nie jest zachowawcza, nazywamy siłą niezachowawczą. Siła tacia kinetycznego i siła opou są niezachowawcze. 18

19 5.XI.011 Siły zachowawcze i niezachowawcze Ile wynosi paca pzesunięcia masy m pod działaniem siły (x,y) z punktu 1 do po dodze A oaz B? B A 1 Jeśli paca pzemieszczenia masy m między punktami A i B nie zaleŝy od dogi po któej nastąpiło pzemieszczenie to mówimy, Ŝe siła jest zachowawcza, albo potencjalna. Paca pzemieszczenia masy m z punktu A po dodze 1 do punktu B i potem z punktu B po dodze do punktu A wynosi zeo. 19

20 ENERGIA POTENCJALNA 5.XI.011 Enegia potencjalna JeŜeli paca pzemieszczenia masy m po dodze (kzywej) zamkniętej wynosi zeo to mówimy, Ŝe siła jest zachowawcza, albo potencjalna. MoŜemy zapisać pacę siły (x,y) na dodze elementanego pzemieszczenia d jako: dw o d PoniewaŜ paca siły (x,y) nie zaleŝy od dogi, a tylko od punktu statu i końca pzemieszczenia to moŝna okeślić funkcję skalaną, zaleŝną tylko od współzędnych (x,y). Nazywamy ją enegią potencjalną i okeślamy jej nieskończenie mały pzyost: du - o d Minus został wybany ze względu na to, Ŝe ubytek enegii potencjalnej jest ówny wykonanej elementanej pacy. 0

21 ENERGIA POTENCJALNA 5.XI.011 Gadient enegii potencjalnej Pzyost funkcji U(x,y) moŝna wyazić jako sumę pzyostów funkcji względem obydwu zmiennych niezaleŝnych x i y jako: du U x dx U + dy y Pochodne U względem x i y nazywają się pochodnymi cząstkowymi i liczymy je tak, jakby duga zmienna była stałą pzy liczeniu pochodnej cząstkowej po piewszej zmiennej. U U Z dugiej stony: du o d ( x dx + y dy) dx + dy x y Gupując wyazy z odpowiednimi pzyostami dx i dy otzymamy: U U x + dx + y + dy x y 0 1

22 ENERGIA POTENCJALNA 5.XI.011 Gadient enegii potencjalnej W pzestzeni tójwymiaowej ównanie to obowiązuje dla dowolnych pzyostów dx, dy i dz stąd muszą znikać toŝsamościowo wyaŝenia w nawiasach: x U x U y Siła ówna jest ujemnemu gadientowi enegii potencjalnej: Stąd: y z U z E E E E ) E ) E ) p p p p p p - E ; i + j + k p ; x y z x y z E p kon pocz d Gawitacyjna enegia potencjalna Enegia potencjalna spęŝystości E p (y) mgy 1 E p (x) kx

23 Z.Z.E. 5.XI.011 Zasada zachowania enegii mechanicznej Enegia mechaniczna E mech układu jest sumą jego enegii potencjalnej E p oaz enegii kinetycznej E k wszystkich jego składników: E E + mech p E k Gdy siła zachowawcza wykonuje pacę W w układzie izolowanym nad jednym z ciał układu, zachodzi zamiana enegii kinetycznej E k ciała w enegię potencjalną E p układu. Zmiana enegii kinetycznej E k jest ówna: Z dugiej stony wiadomo, Ŝe zmiana enegii potencjalnej wynosi: Stąd otzymujemy, Ŝe E k W E p W E k E p 3

24 Z.Z.E. 5.XI.011 Zasada zachowania enegii mechanicznej E k E E k k1 E E pzy czym wskaźniki 1 i odnoszą się do dwóch óŝnych chwil, a zatem dwóch óŝnych konfiguacji składników układu. Pzekształcając otzymujemy zasadę zachowania enegii mechanicznej: k1 p1 p1 p E E + E E + k p E p SUMA E k i E p DLA DOWOLNEGO STANU UKŁADU SUMA E k i E p DLA KAśDEGO INNEGO STANU UKŁADU W układzie izolowanym, w któym zamiana enegii pochodzi jedynie od sił zachowawczych enegia kinetyczna i enegia potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli enegia mechaniczna E mech nie moŝe ulegać zmianie. 4

25 Z.Z.E. 5.XI.011 Zasada zachowania enegii mechanicznej 5

26 Z.Z.E. 5.XI.011 Zasada zachowania enegii Zmiana całkowitej enegii E układu jest ówna enegii dostaczonej do układu lub od niego odebanej. W E E + E + mech wewn pzy czyni E mech jest dowolną zmianą enegii mechanicznej układu. E tem dowolną zmianą jego enegii temicznej, a E wewn dowolną zmianą innych postaci jego enegii wewnętznej. Zmiana enegii mechanicznej E mech zawiea w sobie zmianę enegii kinetycznej E k oaz zmianę enegii potencjalnej E p układu (spęŝystości, gawitacyjnej lub jakiejkolwiek innej). tem E Całkowita enegia E układu izolowanego nie moŝe się zmieniać. E mech + E tem + E wewn 0 6