ĆWICZENIE 6. POMIAR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI. SPRAWDZENIE DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO. BADANIE ADDYTYWNOŚCI MOMENTU BEZWłADNOŚCI

Transkrypt

1 ĆWICZEIE 6 POMIAR MOMETU BEZWŁADOŚCI. SPRAWDZEIE DRUGIEJ ZASADY DYAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO. BADAIE ADDYTYWOŚCI MOMETU BEZWłADOŚCI Wpowadzenie Była sztywna to układ punktów mateialnych o stałych odległościach wzaemnych. Jeżeli położenie dowolnych punktów należących do były sztywne opiszemy pzy pomocy pomieni wodzących i i, to matematyczny model były możemy pzedstawić wzoem: = = const. // ( ) i i O - punkt odniesienia Rys. 6.. Różniczkuąc wzó // otzymuemy d ( i ) = d i i = 0. // Stąd wynika, że d i = 0 (co oznacza waunek nieodkształcalności były), albo d i (co wskazue, że wzaemne pzemieszczenia punktów w byle są możliwe tylko w kieunku postopadłym do wektoów i łączących punkty - odpowiada to obotom). Była sztywna może uczestniczyć w uchu obotowym, postępowym lub kombinaci uchów obotowego i postępowego. Elementane pzemieszczenie związane z obotem d = dφ, /3/ i i i Ćwiczenie 6

2 gdzie: d φ - est kątem elementanego obotu. Całkowite pzemieszczenie elementane d = + di d t - pzesunięcie tanslacyne, lub d = d + dφ. /4/ t i Rys. 6.. Jeżeli oś obotu O O popowadzimy pzez punkt i, to ostatni związek możemy zapisać: d = d + dφ. gdzie: d t d dφ = +, /5/ = V - est całkowitą pędkością liniową z aką pousza się punkt, d t = Vt - pędkość uchu postępowego (tanslacynego), dφ V = - pędkość uchu otacynego (obotowego), pzy czym dφ = ω - est pędkością kątową. Zatem V = V + ω. /6/ t Ćwiczenie 6

3 Enegię kinetyczną były otzymamy dzieląc całą byłę na elementów i sumuąc enegie kinetyczne poszczególnych elementów Ek = mv, = Ek = mv = mvt + mvt ( ω ) + m ( ω ). = = = = Po postych pzekształceniach MV t Ek = + ω ( m ) Vt + ω m sin ( ω ; ). /7/. = = Piewszy wyaz w wyażeniu /7/ est engią kinetyczną uchu postępowego były. Dugi wyaz zawiea enegie mieszane, znika gdy początkiem układu est śodek masy były. Ostatni wyaz est enegią kinetyczną uchu obotowego. E = ko ω J, /8/ ω - est momentem bezwładności były. gdzie: J = m ( ) sin ; = Rys Położenie punktu m względem osi obotu ilustue ysunek, łatwo zauważyć, że = sinα. Zatem J = = m. /9/ W pzypadku były ciągłe sumowanie po wszystkich elementach zastępuemy całkowaniem i moment bezwładności J = dm. /0/ Znaąc gęstość ρ element masy dm obliczamy ze wzou Ćwiczenie 6 3

4 dm = ρ dv. Wtedy J = ρ dv. // Moment bezwładności względem osi pzechodzące pzez śodek masy był posiadaących symetię da się obliczyć z postych zależności. Łatwo pokazać, że moment bezwładności względem okeślone osi ównoległe do osi pzechodzące pzez śodek masy wyznaczamy ze wzou J = J 0 + mb // znanego, ako twiedzenie Steinea. Rys Wzoy /9/, //, // zawieaą sumy bądź całki. Ukyta w nich est ważna własność momentu bezwładności - addytywność. Podzielmy byłę, ak to czyniliśmy popzednio, na elementów o masach m. Kozystaąc z dugie zasady dynamiki, siłę F działaącą na element masy m, pzedstawiamy wyażeniem F m dv dp = =, /3/ gdzie: p - est pędem aki posiada element masy m. Pomnóżmy lewostonnie wektoowo wzó /3/ pzez, wówczas F m dv dpi = =, gdzie: F = M /4/ - est momentem siły działaącym na element masy m. Zatem Ćwiczenie 6 4

5 M m dv =. Podobne wyażenie możemy zapisać dla każdego elementu były. Wykonuąc sumowanie po elementach były otzymuemy: M =, /5/ M = gdzie: M - est całkowitym momentem siły działaącym na byłę sztywną, a dp M =. = = d ( p ) d dp Zauważmy, że = p +, d pzy czym = V, a p = mv, d zatem p = V mv = 0, d dp więc ( p ) =. dp d Suma = ( p ), = = gdzie p = L /6/ - est momentem pędu aki posiada element masy m. Sumowanie i óżniczkowanie funkci ciągłych est pzemienne, zatem możemy zapisać d d d ( p ) = p = L, = = = a suma L = L = - est całkowitym momentem pędu były sztywne. Ostatecznie możemy zapisać M = dl. /7/ Jest to edna z matematycznych postaci II zasady dynamiki dla były sztywne. Zauważmy, że moment pędu L = p = m V. = = Uwzględniaąc wyażenie /6/ możemy zapisać Ćwiczenie 6 5

6 [ { ( ω ) } ] L = m V + = t. /8/ Jeżeli była wykonue tylko uch obotowy, wówczas V t = 0 i wzó /8/ pzybiea postać: L = m ω. /9/ = [ ( ) ] Wykonuąc mnożenia w iloczynie wielokotnym A B C = B A C C A B [ { ( ) } ( ) ( ) ] otzymuemy [ ( L = m ω ω ) ], = ale ω, zatem ω = 0, więc L = ω m = Jω. /0/ = Opis uządzenia Rys Uządzenie składa się z wahadła Obebecka oaz wyskalowane listwy umocowane pionowo z dwoma pzesuwanymi wzdłuż listwy pieścieniami A i B. Wahadło Obebecka składa się z walca D obacaącego się na łożyskach w odpowiednim uchwycie oaz czteech symetycznych amion w kształcie pętów, wzdłuż któych mogą pzesuwać się ciężaki C. Wahadło ozpędzane est pzy pomocy skalowanych obciążników zawieszonych na nici nawinięte na walec osadzony na osi. Moment bezwładności wahadła zmieniamy pzez pzemieszczanie ciężaków C względem osi lub wykęcanie pętów z ciężakami C. Ćwiczenie 6 6

7 Metoda pomiau A. Pomia momentu bezwładności wahadła Obebecka. Zakładamy, że opó łożysk i ośodka est badzo mały, zatem wahadło możemy taktować ako układ odizolowany, w któym stosue się zasadę zachowania enegii. Enegia potencalna zawieszonego obciążnika zamienia się w enegię kinetyczną uchu postępowego obciążnika i enegię kinetyczną uchu obotowego kzyżaka. Zasada zachowania enegii dla całego układu pzybieze postać: mv Jω mgh = +, // gdzie: m - masa obciążników zawieszonych na nitce nawinięte na walec wahadła, h - óżnica poziomów wyznaczona pzez położenie pieścieni A i B między, któymi spada obciążnik o masie m, V - pędkość obciążnika w chwili, gdy mia on pieścień B, J - moment bezwładności wahadła Obebecka, ω -pędkość kątowa wahadła Obebecka w chwili gdy obciążnik mia pieścień B. Pzymuąc, że spadanie obciążnika odbywa się uchem ednostanie pzyspieszonym bez pędkości początkowe, pędkość obciążnika pzy mianiu pieścienia B obliczamy ze wzou h V =, t gdzie: t - czas opadania między pieścieniem A i B. Pędkość kątowa ω = V, gdzie: - est pomieniem walca, na któy nawinięto nić obciążoną masą m. Po postych pzekształceniach wzou // otzymuemy wyażenie: J = m ( ) h gt h. // Moment bezwładności wahadła Obebecka można ównież obliczyć mieząc masy poszczególnych elementów wahadła i uwzględniaąc ich wymiay. J = J w + 4 J p + J m, /3/ gdzie: J = m w w, /4/ - pomień zewnętzny walca centalnego wahadła, m w - ego masa, Ćwiczenie 6 7

8 J p = mpl, /5/ 3 gdzie: m p - masa pęta (amienia kzyżaka), l - ego długość, Jm = mm ( R + R ), /6/ 4 gdzie: m - sumayczna masa obciążników, R i R - odległość części zewnętzne i wewnętzne obciążnika od osi obotu. Wykozystuąc wzoy /4/, /5/, /6/ zapisuemy całkowity moment bezwładności J = mw + mpl + mm ( R + R ). /7/ 3 4 B. Spawdzenie dugie zasady dynamiki dla uchu obotowego. Dugą zasadę dynamiki sfomułuemy w postaci /7/ lub wzoem M = Jξ, /8/ gdzie: ξ- est pzyspieszeniem kątowym. Spawdzenie dugie zasady spowadza się do znalezienia zależności M = f(ξ) pzy ustalonym J. Moment siły obliczamy z zależności M = P, /9/ gdzie: P - est ciężaem obciążnika zawieszanego na nitce nawinięte na walec o pomieniu współosiowy z osią wahadła. Pzyspieszenie kątowe obliczamy ze wzou ξ = h, /30/ t gdzie: t - est czasem pzelotu obciążnika między pieścieniami odległymi od siebie o h. Wszystkie watości z pawe stony we wzoach /9/ i /30/ są miezone. a ich podstawie łatwo uzyskać na dodze doświadczalne związek między pzyspieszeniem kątowym ξ a momentem siły M pzy ustalone watości momentu bezwładności. C. Badanie addywności momentu bezwładności. Do zbadania addywności momentu bezwładności wykozystuemy wahadło Obebecka lub wahadło fizyczne. Różniczkowe ównanie uchu dla obotów możemy zapisać w postaci Ćwiczenie 6 8

9 M J d α =. /3/ Ponieważ uch wahadła Obebecka we współzędnych biegunowych można taktować ednowymiaowo więc ostatnie ównanie da się zapisać ako M J d α =, /3/ lub d α m gd sinα + = 0, /33/ J pzy czym M = m gd sinα, gdzie: m - masa wahadła Obebecka (patz ysunek niże), d - odległość śodka masy od osi obotu, α - kąt wychylenia z położenia ównowagi. Rys Dla małych kątów wychylenia możemy pzyąć, że sinα α,wówczas ównanie /33/ pzybieze postać d α m gd + α = 0. /34/ J Jest to ównanie oscylatoa hamonicznego postego. Z dugie stony możemy ównanie osylatoa hamonicznego zapisać ako d α 0 + ω α =, /35/ π gdzie: ω =, pzy czym T est okesem dgań. T Ponieważ wzoy /34/ i /35/ opisuą ten sam oscylato współczynniki pzy α winny być ówne, zatem m gd = ω, J stąd m gdt J =. /36/ π Ćwiczenie 6 9

10 Wielkości m, d, T pawe stony wzou /36/ możemy wyznaczyć ekspeymentalnie. awiększe poblemy może stwozyć wyznaczenie odległości (d) śodka masy od osi obotu. Łatwo zauważyć, że śodek masy elementów (o masie M es ) ozłożonych symetycznie względem osi obotu znadue się w punkcie leżącym na osi. Masy ozłożone niesymetycznie względem osi obotu można spowadzić do mas ozłożonych wzdłuż odcinka postoliniowego pzechodzącego pzez oś obotu i leżącego w linii pionu. Rys W ogólności odległość śodka masy od osi obotu obliczamy ze wzou d i = = i = m i i m i. /37/ A w pzypadku zilustowanym ysunkiem 6.7 Mes0 + m + m33 m d =, Mes + m + m + m3 ponieważ 0 = 0, to ostatecznie m + m33 m d =. m + m + m3 Aby obliczyć odległość śodka masy od osi obotu wystaczy zmiezyć długości zutów odległości śodków masy elementów położonych niesymetycznie względem osi obotu na kieunek pionowy oaz masy tych elementów. Ćwiczenie 6 0

11 Pzebieg pomiaów A. Pomia momentu bezwładności wahadła Obebecka.. Ustawiamy elementy C w odległości maksymalne od osi obotu.. Pieścienie A i B ustawiamy w odległości h od siebie. 3. awiamy nitkę na walec D i obciążamy obciążnikiem o masie m, tak aby dolna kawędź obciążnika znalazła się na wysokości góne kawędzi pieścienia A. 4. Miezymy czas t spadania obciążnika między pieścieniami A i B. 5. Pomiay powtazamy pięciokotnie dla tego samego obciążnika i tego samego ustawienia elementów C. 6. Pomiay pzepowadzamy dla innych obciążników i tego samego ustawienia elementów C. 7. Pomiay powtazamy dla innych położeń elementów C. Uwaga: Zwócić szczególną uwagę na staanne ozmieszczenie elementów C staaąc się uzyskać ich układ symetyczny względem osi obotu. 8. Obliczamy moment bezwładności ze wzou // oddzielnie dla każde seii pomiaów. 9. Obliczamy moment bezwładności ze wzou /7/ (wykonać pzeem niezbędne pomiay) dla óżnych ustawień elementów C. 0.Wykonuemy achunek błędów oaz pzepowadzamy dyskusę wyników i popełnionych błędów. B. Spawdzenie dugie zasady dynamiki dla uchu obotowego.. Pzygotowuemy uządzenie do wykonania pomiaów ak w części A.. Jeżeli wykonuemy tylko część B ćwiczenia należy dokonać pomiau momentu bezwładności dla wybanego ustawienia elementów C ak w części A. 3. Miezymy watość wielkości ustalonych ak: amię obotu siły ciężkości P, odległość h między pieścieniami A i B. 4. Miezymy czas pzelotu obciążnika między pieścieniami A i B ak w punktach 3 i 4 cz. A. 5. Obliczamy moment siły M ze wzou /9/ i pzyspieszenie kątowe ze wzou /30/. 6. Pomiay i obliczenia opisane w punktach 4 i 5 powtazamy dla obciążników o masie dwukotnie, tzykotnie większe, itp. 7. Obliczamy moment siły kozystaąc ze wzou /8/. 8. Pomiay i obliczenia powtazamy dla innych momentów bezwładności. 9. Pzepowadzamy achunek błędów. 0.Spoządzamy wykes zależności ξ= f(m)..pzepowadzamy dyskusę wyników i wyciągamy wnioski. Ćwiczenie 6

12 C. Badanie addywności momentu bezwwładności.. Rozsymetyzowuemy wahadło Obebecka pozostawiaąc element C na ednym amieniu kzyżaka (np. w odległości maksymalne od osi obotu).. Wyznaczamy odległość d śodka masy wahadła od osi obotu (patz wzó /37/). 3. Miezymy czas (t) n = 50 wahnień wahadła i obliczamy ego okes T =t/n. 4. Pzesuwamy element C do połowy amienia kzyżaka i powtazamy pomiay ak w punkcie i Dokładamy taki sam element C na końcu amienia kzyżaka i wykonuemy pomiay ak w punkcie i Wykonuemy pomiay dla pięciu innych kombinaci położeń elementów C na amionach kzyżaka wskazanych pzez asystenta. 7. Obliczamy moment bezwładności ze wzou /36/ i pzepowadzamy achunek błędów. 8. Spawdzamy pawo sumowania momentów bezwładności i wyciągamy wnioski. Ćwiczenie 6