L(x, 0, y, 0) = x 2 + y 2 (3)

Transkrypt

1 0. Małe dgania Kótka notatka o małych dganiach wyjasniające możliwe niejasności. 0. Poszukiwanie punktów ównowagi Punkty ównowagi wyznaczone są waunkami x i = 0, ẋi = 0 ( Pochodna ta jest ówna pochodnej laganżjanu z podstawionymi ẋ i = Pzykłady Jeśli laganżjan jest postaci L(x, ẋ, y, ẏ = ẋ + e y ẏ x + + sin x + e y + ẋesin x x + y ( to nie musimy óżniczkować piewszego i dugiego członu gdyż i tak po podtawieniu ẋ = ẏ = 0 dadzą 0. Patzymy tylko na funkcję i otzymujemy L(x, 0, y, 0 = x + y (3 x ẋ=ẏ=0 = x, czyli punktem ównowagi jest x = y = Rozwinięcie Laganżjanu y ẋ=ẏ=0 = y ( W teoii małych dgań ozwijamy laganżjan do wyazów dugiego zędu kozystajac z twiedzenia Tayloa, wokół położenia ównowagi ẋ i = 0, x i (5 dostajemy (konwencja sumacyjna L(ẋ i, x i = L ẋi =0x i stała + x i ẋ k =0,x k } {{ } =0 δx i + ẋ i ẋ k =0,x k δẋi pełna pochodna + ẋ i ẋ j ẋ k =0,x kδẋi δẋ j + ẋ i x j ẋ k =0,x kδẋi δx j + x i x j ẋ k =0,x kδxi δx j + O(δ 3 (7 Piewsza linijka ozwinięcia składa się ze stałej i pełnej pochodnej d dt w laganżjanie. Poszę sobie pzypomnieć skąd się bieze bak pzy ẋ i x j δẋ i δx j! (6 ( ẋ i δx i i może być pominięta

2 0.3. Pzykłady Jeśli laganżjan jest ówny L(x, ẋ, y, ẏ = x + ẋ + ẏ + ẏx + (x y (8 i punkt ównowagi to x =, y = 0 to najlepiej policzyć ozwinięcie Tayloa ozwijając w szeeg do dugiego zędu w δẋ = ẋ, δẏ = ẏ, δy = y, δx = x. Zajmijmy się członem x +ẋ. Zauważmy, że ẋ ẋ i =0,x i = x + x= = (9 i pozostałe dugie pochodne pzy waunku ẋ i = 0 znikają. Jest to ogólna zasada: funkcję pzy kwadacie pędkości tzeba ozwinąć tylko do zeowego zędu (policzyć watość. Wyazy liniowe w pędkościach tzeba ozwinąć do piewszego zędu. W tym pzypadku najlepiej użyć szeegu Tayloa x = x x= + x x= δx = + δx (0 czyli że ẏx = δẏ + δẏδx ( Pozostaje ozwinięcie wyazów (x y = δx δy. Kozystamy tu z faktu, = + O(, ponieważ = x + y to O( = O(δ. Ostatecznie otzymujemy laganżjan L ( = δẋ + δẏ + δx δy = (δx + δy + O(δ ( δẏ + +δẏδx (δx + δy (3 pomijamy jako p. poch. stała do pominięcia W pzypadku Laganżjanu mamy tzy punkty ównowagi L = x + ẋ + (x x ( 0 = (x, ẋ = 0 x = 8x 3 x x {0,, } (5 Wato więc ozwinąć laganżjan po postu z szeegu Tayloa w zmiennej x a w zmiennej ẋ zastosować metodę szeegów (jak wyżej oaz Mamy ẋ x = + x + x=x δẋ + O(δ 3, ẋ ẋ=0 = x +, { L x ẋ=0 = x 9 x = ± = x = 0 { L ( = 5 δẋ + 9 δx x = ± δẋ + δx x = 0 ẋ x ẋ=0 = 0 (6 (7 (8

3 0. Stabilność i częstości własne Aby zbadać stabilność należy znaleźć mody i częstości własne. Wypisujemy ównania E-L dla L (, i ẋ i ẋ j ẋ k =0,x k δẍj + ẋ i x j ẋ k =0,x k δẋj = ẋ j x i ẋ k =0,x k δẋj + x i x j ẋ k =0,x k δẋj Szukamy ozwiązań w postaci gdzie λ, a i to stałe. δx i = a i e λt (9 ównania zapisują się jako (po podzieleniu pzez e λt i ẋ i ẋ j λ a j + ẋ i x j λaj = Dla oszczędności pomijamy w zapisie ẋk =0,x k A ij (λ = ( ẋ i ẋ j λ + ẋ i x j ẋ j x i λaj + Wpowadźmy maciez ẋ j x i λ x i x j aj (0 x i x j ( Nietywialne ozwiązanie A ij (λa j = 0 jest możliwe tylko dla w(λ = det A ij (λ = 0. Uwaga teminologiczna: Gdy dla danego ozwiązania Re λ = 0 to zapisujemy λ = iω (ω to częstość własna to mod własny. a 0. a n Gdy znajdziemy wszystkie mody własne i piewiastki w(λ to e λt ( punkt jest stabilny jesli wszystkie piewiastki w(λ są czysto uojone i liczba modów własnych jest ówna stopniowi wielomianu w(λ (gdy piewiastek jest wielokotny to liczymy wymia pzestzeni ke A ij (λ. Jeśli wszystkie częstosci są óżne to ten dugi waunek jest automatycznie spełniony i nie tzeba go spawdzać. punkt jest niestabilny jeśli pzynajmniej jeden piewiastek w(λ ma część zeczywistą wiekszą od 0. Ponieważ piewiastki występują paami {λ, λ} to wystaczy spawdzić, że część zeczywista jakiegoś piewiastka jest ózna od 0, jeśli wszystkie piewiastki w(λ są czysto uojone ale liczba modów własnych jest mniejsza niż stopnień wielomianu w(λ (jest to możliwe tylko jeśli w(λ ma piewiastki wielokotne to nie można okeslić czy punkt jest stabilny czy niestabilny. 3

4 0.. Pzykłady Dla L ( = δẋ + δẏ + δẏδx (δx + δy (3 Równania E-L mają postać Zapisująć δx = ae λt, δy = be λt λ ae λt = (λb ae λt (λ b + λae λt = be λt δẍ = δẏ δx, δÿ + δẋ = δy ( ( λ + λ ( a } λ λ + {{ } b A Mozliwe watości λ to ozwiązania det A(λ = 0 (ównanie dwukwadatowe λ + 7λ 7 ± + = 0 λ = ± = 0 (5 7± Widać, że Re ± = 0 a więc punkt jest stabilny (częstości są óżne. Mody własne to Pzyjeliśmy b =. 0.5 Kilka uwag ( δx δy = ( λ λ Czy stabilnosć można odczytać z enegii? (6 e λt (7 PROSZĘ NIE STOSOWAC TEGO NA EGZAMINIE, PONIEWAŻ METODA TA DAJE TYLKO WARUNKI DOSTATECZNE NA STABILNOSC. Tzeba policzyć enegię (zachowaną stałą uchu. Jeśli punkt ównowagi ẋ i = 0, x i = x i jest lokalnym izolowanym minimum (jako funkcji ẋ i, x i to punkt jest stabilny. Jest to waunek dostateczny, ale nie konieczny!. Na ćwiczeniach był pzykład wahadła w polu magnetycznym gdzie (położenie do góy było pzy odpowiednio dużym polu magnetycznym stabilne a enegia nie była tam w lokalnym minimum. PROSZĘ O TYM PAMIĘTAĆ I ZAWSZE ODCZYTYWAĆ STABILNOŚĆ Z CZĘSTOŚCI WŁASNYCH. 0.6 Pzykład z obęczą z kolokwium Laganżjan w układzie sfeycznym Pzy czym z więzów = R (ṙ = 0 oaz φ = ω czyli L = m (ṙ + θ + sin θ φ mg cos θ (8 L = mr ( θ + ω sin θ mgr cos θ (9

5 Położenia ównowagi ( mr θ (ω sin θ mgr cos θ = mr sin θ(rω cos θ + g (30 Czyli θ = 0, π lub cos θ = g Rω. Ten dugi punkt istnieje bo g < Rω. Ponieważ jest kilka punktów i poblem jest jednowymiaowy to lepiej jest ozwijać używając oziniecia Tayloa L ( = mr δ θ + θ δθ (3 Mamy θ θ=0 = ( mr sin θ(rω cos θ + g = mr cos θ(rω cos θ + g mr sin θrω sin θ (3 θ Dla punktów θ = 0, π mamy więc cos θ = ± L ( = mr δ θ + mr(rω ± gδθ (33 To poblem jednowymiaowy i ozwiązaniami są λ = ± ω g R (zeczywiste. Czyli punkt jest niestabilny. Dla cos θ = g Rω L θ θ=0 = mr cos θ(rω cos θ + g mr ω ( cos θ = mr ω ( g R ω > 0 (3 ( Mamy λ = ±i ω g R ω a więc to punkt stabilny. W zeczywistości to dwa punkty położone po dwóch stonach obęczy. 5