θ = s r, gdzie s oznacza długość łuku okręgu o promieniu r odpowiadającą kątowi 2. Rys Obrót ciała wokół osi z

Transkrypt

1 IX. OBROTY 9.1. Zmienne obotowe W celu opisania uchu obotowego ciała wokół ustalonej osi (zwanej osią obotu) należy wybać linię postopadłą do osi obotu, któa jest związana z ciałem i któa obaca się waz z nim (zob. ys. 9.1). Położeniem kątowym ciała nazywamy kąt, jaki twozy ta linia z pewnym stałym kieunkiem. Kąt ten, wyażony w adianach, jest ówny θ = s, gdzie s oznacza długość łuku okęgu o pomieniu odpowiadającą kątowi. Rys Obót ciała wokół osi z Jeśli ciało obóci się wokół osi obotu i jego położenie kątowe zmieni się z 1 na, to pzemieszczenie kątowe ciała wyniesie θ = θ θ1. Pzemieszczenie to jest dodatnie, gdy obót zachodzi w kieunku pzeciwnym do uchu wskazówek zegaa, a ujemne, gdy obót zachodzi w kieunku zgodnym z uchem wskazówek zegaa. Jeśli w pzedziale czasu )t pzemieszczenie kątowe wynosi ), to śednia pędkość kątowa ciała T s jest okeślone wzoem ω s θ = t.

2 9.. Obót ze stałym pzyspieszeniem kątowym 61 Pochodną θ ω = d dt nazywamy pędkością kątową (chwilową) ciała. Obie wielkości, T s oaz T, są wektoami, a ich kieunek jest wyznaczony pzez egułę pawej dłoni. Są one dodatnie, gdy obót zachodzi w kieunku pzeciwnym do uchu wskazówek zegaa. Jeżeli w pzedziale czasu )t = t! t 1 pędkość kątowa zmienia się z T 1 na T, to wielkość ω ω1 ω α s = = t t t jest śednim pzyspieszeniem kątowym ciała. Pzyspieszenie kątowe (chwilowe) ciała jest ówne Wielkości " s i " są wektoami. 1 ω α = d dt. 9.. Obót ze stałym pzyspieszeniem kątowym Ważnym pzypadkiem szczególnym uchu obotowego jest uch obotowy ze stałym pzyspieszeniem kątowym (" = const). Dla wielkości kątowych w tym uchu obowiązują wówczas ównania znane dla wielkości liniowych w uchu ze stałym pzyspieszeniem liniowym. Mamy ω = ω0 + αt, 1 θ = θ0 + ω0t + αt, ω = ω0 + α( θ θ0), (9.1) 1 θ = θ0 + ( ω0 + ω) t, 1 θ = θ0 + ωt αt. Pzykład Tacza szlifieska obaca się ze stałym pzyspieszeniem kątowym " = 0,35 ad / s. W chwili początkowej t = 0 jej pędkość kątowa wynosi T 0 =!4,6 ad / s, a linia odniesienia jest pozioma, co odpowiada położeniu kątowemu 0 = 0. Po jakim czasie od chwili t = 0 linia odniesienia znajdzie się w położeniu odpowiadającym 5 pełnym obotom? Ruch taczy odbywa się ze stałym pzyspieszeniem, więc na podstawie dugiego z ównań (9.1) mamy 1 θ = ω0t + αt,

3 6 IX. Oboty bo 0 = 0. Jedyną niewiadomą w tym ównaniu jest szukany czas t. Podstawiając dane otzymujemy ( = 5 obotów = 10B ad) π ad = (, ad / s) t + (, ad / s ) t. Jest to ównanie kwadatowe ze względu na zmienną t, któe po pominięciu jednostek pzyjmuje postać 0, 175t 4, 6t 31, 4 = 0. Rozwiązaniem tego ównania jest t = 3 s. Zauważmy, że w chwili początkowej tacza miała położenie 0 = 0 i obacała się w kieunku ujemnym, a 3 s później ma położenie dodatnie = 5 obotów. Dzieje się tak dlatego, że pzyspieszenie kątowe " jest dodatnie, czyli, że znaki pędkości kątowej i pzyspieszenia kątowego są pzeciwne. Powoduje to, że tacza obaca się coaz wolniej, aż do osiągnięcia pędkości kątowej ównej zeu, po czym zaczyna obacać się w kieunku dodatnim. W pewnej chwili linia odniesienia pzyjmuje znowu położenie = 0, a do chwili t = 3 s tacza wykonuje jeszcze dalsze 5 obotów. Możemy odpowiedzieć na pytanie: kiedy, czyli w jakiej chwili t, tacza osiąga pędkość kątową ówną zeu (po tym czasie tacza zacznie obacać się w kieunku dodatnim)? Z piewszego z ównań (9.1) mamy ω ω0 0 t = = ( 46, ad / s) = 13 s. # α 035, ad / s 9.3. Związki pomiędzy zmiennymi liniowymi i kątowymi Jeśli linia odniesienia ciała sztywnego obaca się o kąt, to punkt tego ciała odległy od osi obotu o pzebywa łuk okęgu o długości s danej wzoem gdyż wielkość nie zależy od czasu. Ponieważ ds / dt = v (watość bezwzględna pędkości liniowej), a d / dt = T (pędkość kątowa), więc v = ω, (9.3) pzy czym pędkość kątowa powinna być wyażona w adianach na sekundę. Zauważmy, że z ównania tego wynika, iż chociaż wszystkie punkty ciała sztywnego mają tę samą pędkość kątową T, to punkty o większej odległości od osi obotu mają większą pędkość liniową v. Wekto pędkości liniowej v jest styczny do okęgu zataczanego pzez punkt (zob. ys. 9. a)). Różniczkując ównanie (9.3) względem czasu otzymujemy s = θ, (9.) gdzie kąt jest wyażony w adianach. Różniczkując ównanie (9.) względem czasu otzymujemy ds d dt = θ dt, dv dt = d ω dt.

4 9.3. Związki pomiędzy zmiennymi liniowymi i kątowymi 63 Rys. 9.. Wekto pędkości liniowej i pzyspieszenie liniowe Wielkość ta stanowi tylko część pzyspieszenia liniowego tę część, któa jest związana ze zmianą watości bezwzględnej v wektoa pędkości liniowej v. Jest to tzw. składowa styczna pzyspieszenia liniowego punktu (zob. ys. 9. b)): ast = α, pzy czym pzyspieszenie kątowe " = dt / dt powinno być wyażone w mieze łukowej. Dugą składową pzyspieszenia jest pzyspieszenie skieowane adialnie do śodka okęgu. Składową tę nazywa się składową adialną pzyspieszenia liniowego, któa powoduje zmianę kieunku wektoa pędkości liniowej v. Składowa ta dana jest wzoem v aad = = ω.

5 64 IX. Oboty Jeśli punkt ciała pousza się uchem jednostajnym po okęgu, to okes obotu T, odnoszący się zaówno do uchu punktu, jak i do ciała sztywnego jako całości wynosi π π T = = v ω Enegia kinetyczna w uchu obotowym Obacające się ciało taktujemy jako zbió cząstek o óżnych pędkościach liniowych. Jeżeli dodamy do siebie enegię kinetyczną tych wszystkich cząstek, to otzymamy całkowitą enegię kinetyczną ciała, czyli 1 Ek = m v 1 + m v m3v3 + K = mv i i, gdzie m i oznacza masę i-tej cząstki, a v i jej pędkość. Ponieważ v = T, więc z powyższego wzou otzymujemy 1 1 Ek = mi( ωi) = ( m i i ) ω, (9.4) gdyż pędkość kątowa T jest jednakowa dla wszystkich cząstek. Wyażenie w nawiasie po pawej stonie ównania (9.4) infomuje nas, jak ozłożona jest masa obacającego się ciała wokół jego osi symetii. Wielkość tę nazywamy momentem bezwładności i oznaczamy symbolem I, czyli Uwzględniając wzó (9.5), ównanie (9.4) możemy napisać w postaci I = m i i. (9.5) Ek = 1 Iω. Jeżeli ciało sztywne składa się z kilku cząstek, to jego moment bezwładności względem pewnej osi obotu możemy obliczyć ze wzou (9.5) (wyznaczając iloczyny m i i dla każdej cząstki). Jeśli jednak liczba cząstek jest badzo duża, to wzó ten nie jest zbyt użyteczny (do obliczeń potzebny byłby kompute). W takim pzypadku sumę zastępujemy całką i definiujemy moment bezwładności ciała (ozciągłego) jako I = dm. (9.6) Na ys. 9.3 podano momenty bezwładności (otzymane pzez obliczenie tej całki) dla kilku ciał o postym kształcie i zaznaczonych osiach obotu. Moment bezwładności I ciała można także obliczyć, gdy znamy moment bezwładności I SM tego ciała względem osi ównoległej do danej osi i pzechodzącej pzez śodek masy ciała. Jeśli odległość tych osi oznaczymy pzez h (jest to odległość osi danej i osi do niej ównoległej pzechodzącej pzez śodek masy), to

6 9.4. Enegia kinetyczna w uchu obotowym 65 Rys Momenty bezwładności niektóych ciał gdzie m oznacza całkowitą masę ciała. Równanie to ilustuje tzw. twiedzenie Steinea. W celu udowodnienia twiedzenia Steinea oznaczmy pzez O śodek masy ciała o dowolnym kształcie (zob. ys. 9.4). Umieśćmy początek układu współzędnych w punkcie O. Rozważmy oś pzechodzącą pzez punkt O i postopadłą do płaszczyzny xy oaz inną oś pzechodzącą pzez punkt P i ównoległą do piewszej. Współzędne x i y punktu P oznaczmy pzez a i b. Niech dm oznacza element masy ciała o współzędnych x i y. Z ównania (9.6) wynika, że moment bezwładności ciała względem osi pzechodzącej pzez punkt P jest ówny Równanie to można pzekształcić do postaci I = ISM + mh, (9.7) I = dm= [( x a) + ( y b) ] dm. I = ( x + y ) dm a xdm b ydm+ ( a + b ) dm. Dla ciała ozciągłego duga i tzecia całka wyznaczają współzędne śodka masy, a ponieważ w ozważanym układzie współzędnych jest on umieszczony w początku układu, więc całki te są ówne zeu. Z ys. 9.4 widać, że x + y = R, więc piewsza całka jest ówna momentowi bezwładności I SM względem osi pzechodzącej pzez śodek masy ciała. Ostatnia całka jest ówna m,

7 66 IX. Oboty a ponadto z ysunku mamy a + b = h. Zatem ostatnie ównanie spowadza się do ównania (9.7). Rys Pzekój ciała sztywnego o śodku masy w punkcie O 9.5. Moment siły i duga zasada dynamiki Newtona dla uchu obotowego Moment siły jest miaą zdolności siły F do wpawienia ciała w uch obotowy względem ustalonej osi obotu. Zdolność ta zależy nie tylko od watości składowej stycznej F st siły F, ale także od tego, jak daleko od osi obotu jest ona pzyłożona (zob. ys. 9.5). Moment siły M uwzględnia obydwa te czynniki i jest definiowany jako M = Fst = F = Fsin φ, gdzie F st oznacza składową wektoa F postopadłą do wektoa, N kąt między wektoami i F, a wielkość jest odległością postej, wzdłuż któej działa siła F, od osi obotu. Wielkość ta nazywa się amieniem siły F względem danej osi obotu. Jak widać z ys. 9.5 b), amieniem siły składowej F st jest watość bezwzględna wektoa, czyli. Jednostką momentu siły jest niuton azy met m.). Moment siły jest dodatni, jeśli dąży do obotu ciała w kieunku pzeciwnym do kieunku uchu wskazówek zegaa, a jest ujemny w pzeciwnym pzypadku. Moment siły może spowodować obót ciała sztywnego (tak dzieje się np. gdy otwieamy dzwi). Związek pomiędzy momentem siły M i wywołanym pzez ten moment pzyspieszeniem kątowym " stanowi dugą zasadę dynamiki Newtona dla uchu obotowego. Mamy M = Iα,

8 9.5. Moment siły i duga zasada dynamiki Newtona dla uchu obotowego 67 gdzie pzyspieszenie kątowe powinno być wyażone w adianach na sekundę do kwadatu. Powyższe ównanie można uogólnić na pzypadek, gdy na cząstkę działa więcej niż jedna siła. Otzymujemy wówczas Mwyp = Iα. Rys Moment siły

9 68 IX. Oboty 9.6. Paca i enegia kinetyczna uchu obotowego Gdy moment siły wpawia ciało sztywne w uch obotowy wokół stałej osi, to wykonuje on nad ciałem pacę W. W związku z tym może zmieniać się enegia kinetyczna związana z uchem obotowym ciała Ek = 1 Iω. Związek zmiany enegii kinetycznej ciała )E k (zakładamy, że jest to jedyna postać enegii, któa może ulec zmianie) z pacą W wykonaną nad układem jest następujący: 1 1 Ek = Ek konc Ek pocz = Iω konc Iω pocz = W,,, pzy czym I oznacza moment bezwładności, a T konc i T pocz oznaczają pędkości kątowe ciała pzed i po wykonaniu pacy nad układem. Pacę w uchu obotowym można wyznaczyć z ównania θ konc W = Mdθ, θ pocz w któym M oznacza moment siły, któy wykonuje pacę W, a pocz i konc oznaczają położenia kątowe ciała pzed i po wykonaniu pacy. Gdy moment siły M jest stały, to powyższe ównanie upaszcza się do postaci W = M( θ konc θ pocz ). Szybkość, z jaką jest wykonywana paca, czyli moc, jest dana wzoem (po. odpowiedni wzó dla uchu liniowego) P = dw = Mω. dt Zadania 1. Doby baseballista potafi zucić piłkę z pędkością 85 mil na godzinę, wpawiając ją jednocześnie w uch obotowy z pędkością 1800 obotów / min. Ile obotów wykona piłka na dodze 60 stóp? Dla uposzczenia pzyjąć, że to piłki jest linią postą.. Bęben obaca się wokół swej osi symetii z pędkością kątową 1,6 ad / s. W pewnej chwili (np. t = 0) bęben zaczyna zwalniać, pzy czym jego pędkość kątowa maleje w tempie 4, ad / s. a) Po jakim czasie bęben pzestanie obacać się? b) O jaki kąt w tym czasie obóci się? 3. Kążek, obacający się początkowo z pędkością 10 ad / s, w pewnej chwili zaczyna zwalniać ze stałym pzyspieszeniem kątowym o watości 4 ad / s. a) Po jakim czasie kążek zatzyma się?

10 9.6. Paca i enegia kinetyczna uchu obotowego 69 b) O jaki kąt obóci się on w tym czasie? 4. Statek kosmiczny pousza się po łuku okęgu o pomieniu 30 km pouszając się z pędkością km / h. Jaka jest watość jego: a) pędkości kątowej, b) pzyspieszenia adialnego, c) pzyspieszenia stycznego? 5. W okesie od 1911 do 1990 oku wiezchołek kzywej wieży w Pizie pzemieszczał się na południe ze śednią pędkością 1, mm / ok. Wysokość wieży wynosi 55 m. Oblicz śednią pędkość kątową wiezchołka wieży względem jej podstawy wyażając ją w adianach na sekundę. 6. Koło zamachowe o śednicy 1, m obaca się z pędkością kątową ówną 00 obotów na minutę. a) Ile wynosi pędkość kątowa w adianach na sekundę? b) Ile wynosi pędkość liniowa punktu na obzeży koła? c) Jakie stałe pzyspieszenie należy nadać temu kołu, aby zwiększyć jego pędkość kątową do watości 1000 obotów na minutę w czasie 60 s? Podać odpowiedź w obotach na minutę do kwadatu. d) Ile obotów wykona koło w czasie 60 sekund? 7. Obliczyć moment bezwładności koła, któe ma enegię kinetyczną ówną J, gdy obaca się z pędkością kątową 60 obotów / min. 8. Dwa jednoodne walce o takich samych masach ównych 1,5 kg, ale o óżnych pomieniach podstawy, zostały wpawione (każdy z osobna) w uch obotowy wokół swej osi z pędkością kątową 35 ad / s. Ile wynosi enegia kinetyczna uchu obotowego: a) walca o mniejszym pomieniu podstawy ównym 0,5 m, b) walca o większym pomieniu podstawy ównym 0,75 m? 9. Oblicz moment bezwładności pzymiau metowego o masie 0,56 kg względem osi postopadłej do pzymiau i pzechodzącej pzez keskę oznaczoną jako 0 cm (pzyjąć, że pzymia można uważać za cienki pęt). 10. Niewielką kulkę o masie 0,75 kg pzymocowano do końca pęta o długości 1,5 m i znikomo małej masie, a dugi koniec pęta zawieszono na osi. Wyznacz moment siły działający na utwozone w ten sposób wahadło, gdy jest ono odchylone od pionu o kąt Podczas odbicia się skoczka od tampoliny pędkość kątowa jego obotu wokół śodka masy wzasta od zea do 6, ad / s w czasie 0 ms. Wyznaczyć watość: a) śedniego pzyspieszenia kątowego skoczka, b) śedniego momentu siły działającego na niego ze stony tampoliny, jeśli moment bezwładności skoczka względem śodka jego masy wynosi 1 m. 1. Wał kobowy samochodu pzenosi enegię z silnika na oś z szybkością 100 KM (= 74,6 kw) obacając się z pędkością 1800 obotów / min. Jakim momentem siły (w niutonach azy met) działa on na oś? 13. Koło o masie 3 kg, któe można uważać za cienką obęcz o pomieniu 1, m, obaca się z pędkością 80 obotów / min. Tzeba je zatzymać w ciągu 15 s. a) Jaką pacę należy pzy tym wykonać? b) Jaka śednia moc jest do tego potzebna?

11 X. TOCZENIE SIĘ CIAŁ, MOMENT SIŁY I MOMENT PĘDU Siły i enegia kinetyczna w uchu tocznym Będziemy zajmować się ciałami toczącymi się bez poślizgu na podłożu. Wyobaźmy sobie koło oweu, któe pousza się ze stałą pędkością i niedoznające poślizgu. Śodek masy tego koła i punkt, w któym koło styka się z podłożem pzemieszczają się do pzodu ze stałą pędkością v SM. Jeśli pzez pewien czas t obydwa te punkty pzebyły dogę s, to owezysta widzi, że koło obóciło się w tym czasie wokół swej osi o kąt, a dowolny punkt na obzeżu koła zakeślił łuk o długości s. Ta długość łuku s jest związana z kątem obotu ównaniem s = θ R, gdzie R oznacza pomień koła. Różniczkując to ównanie względem czasu otzymujemy vsm = ω R, (10.1) gdzie T oznacza pędkość kątową koła wokół jego osi, któa jest ówna d / dt (watość R jest stała). Jak widać na ys. 10.1, toczenie się koła (bez poślizgu) można uważać za połączenie uchu wyłącznie postępowego (ys b)) i uchu wyłącznie obotowego (ys a)). Zauważmy, że punkt znajdujący się na dole koła (punkt P) ma pędkość liniową ówną zeu, a punkt znajdujący się na góze (punkt G) pousza się z pędkością liniową v SM, czyli najszybciej spośód wszystkich punktów koła. Rys Toczenie się koła Jeżeli uwzględnimy tylko uch obotowy, to na podstawie p. 9.4 enegia kinetyczna toczącego się koła jest ówna

12 10.1. Siły i enegia kinetyczna w uchu tocznym 71 E k = 1 I P ω, gdzie T oznacza pędkość kątową koła, a I P moment bezwładności koła względem osi pzechodzącej pzez punkt P. Z twiedzenia Steinea (I = I SM + mh ) dostajemy I = I + mr gdzie m oznacza masę koła, I SM jego moment bezwładności względem osi pzechodzącej pzez śodek masy koła, a R (pomień koła) oznacza odległość tych dwóch osi obotu (wielkość h w twiedzeniu Steinea). Podstawiając wielkość I P do popzedniego wzou mamy skąd po uwzględnieniu zależności v SM = TR otzymujemy Piewszy wyaz możemy intepetować jako enegię kinetyczną uchu obotowego koła wokół osi pzechodzącej pzez śodek jego masy, a dugi jako enegię kinetyczną uchu postępowego śodka masy koła. Mamy zatem poniższą zasadę. Rozważmy teaz toczenie się ciała po ówni pochyłej. Na ys. 10. pzedstawiono jednoodne ciało okągłe o masie m i pomieniu R, któe stacza się bez poślizgu po ówni pochyłej wzdłuż osi x twozącej kąt z poziomem. Naszym celem jest wyznaczenie pzyspieszenia a SM, x uchu ciała wzdłuż ówni. W tym celu należy ozważyć siły działające na ciało. Mamy: działającą na ciało siłę ciężkości F g, któa jest skieowana pionowo w dół; jeśli koniec jej wektoa umieścimy w śodku masy ciała, to jej składowa wzdłuż ówni wynosi Fg sinθ = mgsin θ; siłę nomalną F N, któa działa postopadle do ówni w punkcie P jego styczności z podłożem (na ys. 10. pzesunięto wekto tej siły wzdłuż jego kieunku, tak aby jego początek znajdował się w śodku masy ciała), siłę tacia statycznego f s, któa działa na ciało w punkcie P styczności z podłożem i jest skie- owana wzdłuż ówni w góę. Z dugiej zasady dynamiki Newtona dla składowych wzdłuż osi x mamy Równanie to zawiea dwie niewiadome: f s i a SM, x. P SM, 1 1 Ek = ISMω + mr ω, 1 1 Ek = ISMω + mvsm. Toczące się ciało ma dwa odzaje enegii kinetycznej: enegię kinetyczną uchu obotowego 1 I SM ω związaną z jego uchem obotowym pzechodzącym pzez śodek masy oaz 1 enegię kinetyczną uchu postępowego mv SM związaną z uchem postępowym śodka masy. f mgsin θ = ma. (10.) s SM, x

13 7 X. Toczenie się ciał, moment siły i moment pędu Rys Staczanie się jednoodnego ciała okągłego po ówni pochyłej Ramię siły tacia f s wynosi R, co daje moment siły o watości Rf s, któy jest dodatni, bo dąży do obotu ciała w kieunku pzeciwnym do uchu wskazówek zegaa. Ramiona sił Fg i FN względem śodka masy są ówne zeu, a zatem nie są z nimi związane żadne mo- menty siły. Dugą zasadę dynamiki dla uchu obotowego (M wyp = I") można zatem dla osi pzechodzącej pzez śodek masy zapisać następująco: Rf s = I α. (10.3) Równanie to zawiea także dwie niewiadome: f s i " (pzyspieszenie kątowe). Ciało toczy się bez poślizgu, więc możemy skozystać z ównania (10.1), któe po zóżniczkowaniu względem czasu daje Znak minus bieze się stąd, że wekto pzyspieszenia ma kieunek ujemny osi x, a pzyspieszenie kątowe " jest dodatnie, bo obót następuje w kieunku pzeciwnym do uchu wskazówek zegaa. Jeżeli z ostatniego ównania wyznaczymy " i podstawimy do ównania (10.3), to otzymamy asm, x fs = ISM. R Podstawiając pawą stonę tej zależności do ównania (10.) dostajemy ostatecznie a SM, x SM a = αr SM, x. g sinθ = 1 + I / mr Z ównania tego można obliczyć pzyspieszenie liniowe a SM, x każdego ciała staczającego się po ówni pochyłej, któa jest nachylona do poziomu pod kątem. SM.

14 10.. Moment siły i moment pędu Moment siły i moment pędu W pzestzeni tójwymiaowej moment siły M jest wielkością wektoową zdefiniowaną względem pewnego punktu (zwykle początku układu współzędnych) wzoem M = F, gdzie F oznacza siłę działającą na cząstkę, a oznacza wekto położenia cząstki względem ustalonego punktu (zob. ys a)). Watość bezwzględna wektoa M jest ówna M = Fsin φ = F = F, gdzie N oznacza kąt pomiędzy wektoami i F, F oznacza składową wektoa F w kieun- ku postopadłym do wektoa, a oznacza amię siły F (zob. ys b)). Kieunek wek- toa M wynika z eguły pawej dłoni dla iloczynu wektoowego (zob. ys c)). Rys Moment siły w pzestzeni tójwymiaowej Moment pędu l cząstki o pędzie p, masie m i pędkości liniowej v jest wielkością wekto- ową zdefiniowaną względem pewnego punktu (zwykle początku układu współzędnych) wzoem l = p= m( v). Watość bezwzględna wektoa l jest ówna l = mv sin φ = p = mv = p = mv, gdzie N oznacza kąt pomiędzy wektoami i p, p i v składowe wektoów p i v w kieunku postopadłym do kieunku wektoa, a oznacza odległość punktu, względem któego obliczamy moment pędu, od kieunku wektoa p. Kieunek wektoa l wynika z eguły pawej dłoni: jeżeli palce ustawimy wzdłuż łuku, jaki tzeba zatoczyć, by nałożyć wekto na wekto p, to kciuk wskaże kieunek wektoa l.

15 74 X. Toczenie się ciał, moment siły i moment pędu Duga zasada dynamiki Newtona, zapisana w postaci dp Fwyp =, dt pzedstawia związek siły z pędem dla pojedynczej cząstki. Dla uchu obotowego zasada ta pzyjmuje postać wzou d l M wyp = dt, co słowami można wyazić następująco: suma wektoowa wszystkich momentów siły działających na cząstkę jest ówna szybkości zmiany momentu pędu tej cząstki Moment pędu ciała sztywnego Moment pędu L układu cząstek jest sumą wektoową momentów pędu poszczególnych cząstek, tj. n = l + l + K + l = l. L 1 n i i = 1 Szybkość, z jaką zmienia się moment pędu, jest ówna wypadkowemu zewnętznemu momentowi sił działających na układ, czyli sumie wektoowej wszystkich zewnętznych momentów sił, któe działają na cząstki układu, co można zapisać wzoem dl M wyp = dt. Dla ciała sztywnego obacającego się wokół stałej osi składowa jego momentu pędu ównoległa do osi obotu wynosi L= Iω, gdzie I oznacza moment bezwładności ciała względem tej osi, a T jego pędkość kątową Zachowanie momentu pędu Moment pędu układu L nie zmienia się, gdy wypadkowy zewnętzny moment siły działający na układ jest ówny zeu, co można zapisać następująco: L = const. Jest to zasada zachowania momentu pędu. Można ją też zapisać wzoem L = L pocz i wyazić słowami: jeśli działający na układ wypadkowy moment siły jest ówny zeu, to całkowity moment pędu L układu nie zmienia się niezależnie od tego, jakim zmianom podlega układ. konc

16 10.5. Pecesja żyoskopu Pecesja żyoskopu Posty żyoskop składa się z koła osadzonego na ośce, mogącego na tej ośce obacać się wokół osi. Jeśli koniec ośki opzemy na wsponiku (zob. ys a)), a koło nie będzie obacać się i puścimy je swobodnie, to koło opadnie, obacając się w dół wokół osi poziomej pzechodzącej pzez punkt podpacia ośki na wsponiku. Ponieważ musi być pzy tym spełniona duga zasada dynamiki dla uchu obotowego, czyli M = dl, dt oznacza to, że moment siły, któy jest źódłem obotu w dół (czyli upadku koła), zmienia moment pędu żyoskopu L, któy początkowo był ówny zeu. Moment siły M jest momentem siły ciężkości mg, któa działa na śodek masy żyoskopu, za któy możemy pzyjąć śodek koła. Rys Pecesja żyoskopu

17 76 X. Toczenie się ciał, moment siły i moment pędu Żyoskop, któego koło szybko obaca się, zachowuje się inaczej. Jeśli puścimy go swobodnie w chwili, w któej ośka jest lekko skieowana w góę, to koło najpiew nieco opadnie, a zaaz potem, wciąż obacając się na ośce, zacznie się waz z nią obacać w płaszczyźnie poziomej wokół osi pionowej pzechodzącej pzez punkt podpacia O. Ten uch nazywa się pecesją. Aby to wyjaśnić, ozważmy moment pędu L żyoskopu związany z uchem obotowym koła. Dla postoty załóżmy, że koło wiuje badzo szybko, co oznacza, że moment pędu L jest dużo większy niż moment pędu zwiany z pecesją żyoskopu. Pzyjmijmy też, że gdy pecesja zaczyna się, ośka żyoskopu jest pozioma (zob. ys b)). Długość wektoa L wynosi gdzie I oznacza moment bezwładności żyoskopu względem jego ośki, a T pędkość kątową, z jaką koło wiuje na ośce. Wekto L ma kieunek ośki i ponieważ jest on ównoległy do wekto- a, więc wekto momentu siły M musi być postopadły do wektoa L (zob. ys b)). Pod wpływem momentu siły M w małym pzedziale czasu dt zachodzi mała zmiana dl momentu pędu żyoskopu, czyli dl = Mdt. (10.5) Ponieważ żyoskop wiuje badzo szybko, watość wektoa L jest cały czas okeślona pzez ównanie (10.4). Moment siły jest w stanie zmienić tylko kieunek wektoa L, ale nie jego wa- tość. Z ównania (10.5) widać, że wekto dl ma taki sam kieunek, jak wekto M, czyli jest po- stopadły do wektoa L. Jeśli zatem zmiana wektoa L ma mieć kieunek wektoa M, to jedy- nym sposobem, aby tak było, jest obót wektoa L wokół osi z (zob. ys c)). Wekto L nie zmienia długości, jego koniec zatacza kołowy to, a wekto M jest zawsze styczny do tego tou. Ponieważ wekto L ma zawsze kieunek ośki, to ośka, a zatem i cały żyoskop obaca się wokół osi z w kieunku wektoa M i to jest właśnie pecesja. Aby wyznaczyć pędkość kątową pecesji S, należy najpiew obliczyć długość wektoa dl. Mamy dl = Mdt = mg sin 90 dt = mgdt, (10.6) bo kąt między wektoami mg i wynosi 90 (zob. ys a)). Gdy w małym pzedziale cza- su dt wekto L ulega niewielkiej zmianie, ośka i wekto L zataczają mały kąt dn, gdy wykonu- ją pecesję wokół osi z (na ys c) kąt dn naysowano pzesadnie duży). Z ównań (10.4) i (10.6) otzymujemy dl mgdt dφ = =. L Iω Po podzieleniu tego ównania pzez dt otzymamy L = Iω, (10.4) dφ mg Ω= = dt Iω. Zauważmy, że pędkość kątowa pecesji S maleje, gdy ośnie pędkość kątowa T oaz że, gdyby na żyoskop nie działała siła ciężkości mg, to nie byłoby i jego pecesji.

18 10.5. Pecesja żyoskopu 77 Zadania 1. Samochód jedzie po postej dodze w dodatnim kieunku osi x z pędkością 80 km / h. Każde koło pojazdu ma śednicę 66 cm. Wyznaczyć pędkość v (wykozystując wektoy jed nostkowe): a) śodka koła, b) punktu na góze koła, c) punktu na dole koła względem osoby powadzącej samochód. Wyznaczyć watość a pzyspieszenia; d) śodka koła, e) punktu na góze koła, f) punktu na dole koła względem osoby powadzącej samochód. Wyznaczyć pędkość v (wykozystując wektoy jednostkowe): g) śodka koła, h) punktu na góze koła, i) punktu na dole koła względem autostopowicza siedzącego pzy dodze. Wyznaczyć watość a pzyspieszenia; j) śodka koła, k) punktu na góze koła, l) punktu na dole koła względem autostopowicza siedzącego pzy dodze.. Obęcz o masie 140 kg toczy się po poziomej podłodze tak, że jej śodek masy pousza się z pędkością 0,15 m / s. Ile wynosi paca potzebna do zatzymania tej obęczy? 3. Samochód o masie 1000 kg ma cztey koła o masie 10 kg każde. Jaki ułamek całkowitej enegii kinetycznej pojazdu stanowi enegia kinetyczna uchu obotowego kół wokół ich osi? Pzyjąć, że koła mają taki sam moment bezwładności, jak jednoodne kążki o takiej jak one masie i śednicy. 4. Na pchłę znajdującą się w punkcie o współzędnych (0,!4 m, 5 m) działają dwie siły: F1 = ( 3Nki ) $ F = ( Nj ) $. Ile wynosi całkowity moment siły względem początku ukła- du współzędnych, jaki działa na tę pchłę? 5. Wyznacz moment siły względem początku układu współzędnych, jaki działa na cząstkę znajdującą się w punkcie o współzędnych (0,!4 m, 3 m), na któą działa: a) siła F 1 o składowych F 1x = N oaz F 1y = F 1z = 0, b) siła F o składowych F x = 0, F y = N oaz F z = 4 N. Podać wynik w zapisie pzy użyciu wektoów jednostkowych. 6. W pewnej chwili na ciało o masie 0,5 kg, wektoze położenia = ( $ i k $ ) m i wektoze pędkości v = ( 5 $ i + 5k $ ) m/ s działa siła F = 4jN. Wyznaczyć: a) moment pędu ciała, b) działający na nie moment siły względem początku układu współzędnych. Podać wynik w zapisie pzy użyciu wektoów jednostkowych. 7. Ciało P 1 ma masę 6,5 kg oaz ównoległą do osi x pędkość o watości v 1 =, m / s. Ciało P ma masę 3,1 kg oaz ównoległą do osi y pędkość o watości v = 3,6 m / s. Na ys pzedstawiono położenie tych ciał w chwili, w któej są one odległe od punktu O o odległości d 1 = 1,5 m i d =,8 m. Wyznaczyć a) watość,

19 78 X. Toczenie się ciał, moment siły i moment pędu b) kieunek całkowitego momentu pędu tych ciał względem punktu O. Rys Zadanie 7 8. W chwili t = 0 cząstka o masie 3 kg znajduje się w punkcie o współzędnych x = 3 m, y = 8 m i ma pędkość v = ( 5m/ s) $ i ( 6m/ s) $ j. Siła o watości 7 N działa na nią w ujemnym kieunku osi x. a) Ile wynosi moment pędu tej cząstki względem początku układu współzędnych? b) Ile wynosi działający na nią moment siły względem początku układu współzędnych? c) Z jaką szybkością zmienia się w czasie moment pędu tej cząstki? 9. Tzy cząstki o masie m = 3 g każda połączono ze sobą i z osią obotu, pzechodzącą pzez punkt O, za pomocą tzech pętów o długości d = 1 cm i znikomo małej masie (zob. ys. 10.6). Układ ten wykonuje uch obotowy z pędkością kątową T = 0,85 ad / s. Wyznaczyć: a) moment bezwładności układu cząstek, b) watość momentu pędu śodkowej cząstki, c) watość całkowitego momentu pędu układu cząstek względem punktu O. Rys Zadanie Moment pędu koła zamachowego o momencie bezwładności względem osi koła ównym 0,14 m maleje w ciągu 1,5 s z 3 do 0,8 m / s. a) Ile wynosi śednia watość momentu siły względem osi koła działającego na nie w tym czasie? b) O jaki kąt obaca się koło w tym czasie pzy założeniu, że jego pzyspieszenie kątowe jest stałe?

20 10.5. Pecesja żyoskopu 79 c) Jaka paca zostaje wykonana nad kołem w tym czasie? d) Ile wynosi śednia moc tego koła zamachowego? 11. Człowiek stoi na platfomie obacającej się bez tacia z pędkością kątową 1, obotów / s i w każdej z wyciągniętych ąk tzyma cegłę. Moment bezwładności układu złożonego z człowieka, cegieł i platfomy względem osi obotu wynosi 6 m. Pzyciągając cegły do tułowia, człowiek zmniejsza moment bezwładności układu do watości m. a) Ile wynosi pędkość kątowa platfomy po wykonaniu pzez człowieka tego manewu? b) Ile wynosi stosunek końcowej i początkowej enegii kinetycznej układu? 1. To modelu kolejki elektycznej został ułożony na dużym kole, któe może obacać się bez tacia wokół pionowej osi. Na toze ustawiono kolejkę o masie m i w chwili, w któej cały układ pozostawał w spoczynku, włączono jej zasilanie. Po upływie pewnego czasu kolejka pousza się ze stałą pędkością o watości 0,15 m / s względem tou. Z jaką pędkością kątową obaca się wówczas koło, któego masa wynosi 1,1 m, a pomień jest ówny 0,43 m? Wskazówka: potaktować koło jako obęcz oaz pominąć masę szpych i piasty koła. 13. Dwie tacze umocowano na wspólnej osi za pomocą łożysk o badzo małym taciu. Tacze te mogą zostać ze sobą spzężone tak, że będą się obacać łącznie jak jedno ciało. Wyobaźmy sobie, że piewszą taczę, o momencie bezwładności względem jej osi ównym 3,3 m, wpawiono w uch obotowy z pędkością kątową 450 obotów / min, a dugą taczę, o momencie bezwładności względem jej osi ównym 6,6 m, wpawiono w uch obotowy z pędkością kątową 900 obotów / min w tym samym kieunku co piewszą. Następnie spzęgnięto tacze ze sobą. a) Ile wynosi ich pędkość kątowa po spzężeniu? Wyobaźmy sobie następnie, że duga tacza obaca się początkowo z pędkością kątową 900 obotów / min, ale w kieunku pzeciwnym niż piewsza. b) Ile wynosi w tym pzypadku pędkość kątowa tacz po ich spzężeniu? c) W któą stonę one obacają się? 14. Pewien żyoskop składa się z jednoodnego kążka o pomieniu 50 cm umocowanego na ośce o długości 11 cm i znikomo małej masie. Ośka jest pozioma i podpata na końcu. Wyznaczyć pędkość kątową pecesji żyoskopu, gdy kążek wiuje z pędkością kątową 1000 obotów / s.