Pola elektryczne i magnetyczne

Transkrypt

1 Pola elektyczne i magnetyczne Zadania z ozwiązaniami Pojekt współfinansowany pzez Unię Euopejską w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego

2 Zadanie 1 Cząstka alfa (jądo atomu helu) ma masę m = 6.64*1 7 kg i ładunek q = e = 3.*1-19 C. Jaki jest watość stosunku siły odpychania elektostatycznego między dwiema cząstkami alfa do siły pzyciągania gawitacyjnego między nimi. Watość siły odpychania elektostatycznego wynosi: Z kolei watość siły pzyciągania gawitacyjnego dana jest ównaniem: Obliczając stosunek obu watości mamy: F F e g k G q m 9 91 Nm / C Nm / kg q F e k Powyższy wynik pokazuje, że siła oddziaływania gawitacyjnego jest dla cząstek o ozmiaach zędu ozmiau atomu pomijalnie mała w poównaniu z siłą oddziaływania elektostatycznego. W pzypadku ciał o dużych ozmiaach (takich jak człowiek lub planeta) ilość ładunków dodatnich jest ówna ilości ładunków ujemnych, co powoduje, że oddziaływanie elektostatyczne jest o wiele słabsze od oddziaływania gawitacyjnego C kg 3.11 m F g G 35

3 Zadanie Tzy ładunki punktowe umieszczono na osi współzędnych x w taki sposób, że ładunek q 1 =-1.5nC jest w x=-.6m, q =+3.nC jest w śodku układu współzędnych (x=). Jaka jest watość i zwot całkowitej siły wywieanej pzez te ładunki na ładunek q 3 =+5nC jest w x=-.4m Ładunki ozmieszczone są w następujący sposób: q 1 F 1 q 3 q x -.6m F -.4m Siły F 1 i F to siły działające na ładunek q 3 i pochodzące odpowiednio od ładunków q 1 i q. Zwoty tych sił wynikają ze znaków ładunków (ładunki q 1 i q 3 są óżnoimienne więc się pzyciągają, ładunki q i q 3 są jednoimienne więc się odpychają). Jak wynika z ysunku zwot wypadkowej siły działającej na q 3 jest skieowany w lewo. Watość tej siły jest sumą watości sił F 1 i F, któe możemy wyznaczyć obliczając odległości pomiędzy ładunkami q 1 i q 3 (.m) oaz q 3 i q (.4m): F nc 3.5 nc 6 7 F1 F k N N.581.m.4m N

4 Zadanie 3 Jaki ładunek powinna mieć cząstka o masie 5g umieszona w polu elektycznym o natężeniu 1 V/m skieowanym pionowo w dół, aby cząstka pozostawała w spoczynku W opisanej sytuacji na cząstkę działają dwie siły: siła ciężkości i siła elektostatyczna o takim samym kieunku, takiej samej watości i pzeciwnych zwotach. Aby siła elektostatyczna była skieowana pionowo do góy, ładunek musi mieć znak ujemny. F e q E F g Ponieważ F e =qe watość ładunku q możemy obliczyć z ównowagi sił: q mg E kg9.81m / s 1V / m Szukany ładunek wynosi więc q=49.1c C

5 Zadanie 4 Dwa ładunki punktowe q 1 = -6.5nC i q = -1.5nC umieszczone są w odległości 5 cm od siebie. Znajdź watość, kieunek i zwot wektoa natężenia pola elektycznego w punkcie A oaz w punkcie. 5cm 1cm q 1 1cm q x E A E A Wekto natężenia pola w punkcie A jest sumą wektoową natężeń pola E 1 i E pochodzących od ładunków q 1 i q. Punkt A jest oddalony o 15cm od ładunku q 1 i o 1cm od ładunku q. Wektoy E pochodzące od ładunku ujemnego są skieowane do ładunku, więc suma wektoowa E 1 i E w punkcie A wygląda następująco: Podstawiając odpowiednie watości do wyażeń na E 1 i E otzymujemy: E 1 E A A E E 1 E W pzypadku punktu suma wektoowa wygląda następująco: Analogiczne do powyższych obliczania powadzą do wyniku: 1 5. nc 6 5. nc E 1 E E E 1 k k V / m 1. m 15. m 3 E A 6 5. nc 1 5. nc E 1 E E 1 E k k V / m 1. m 35. m 3 E E 1 E E 1 E E A

6 Zadanie 5 Elekton wpada z pędkością v = m/s w obsza jednoodnego pola E wytwazanego pzez dwie ównoległe, naładowane płyty o długości cm i odległe od siebie o 1cm. Elekton wpada w obsza pola w punkcie znajdującym się dokładnie w śodku pomiędzy płytami. Wiedząc, że elekton pzeleciał tuż pzy kawędzi dolnej płyty wyznacz watość natężenia pola w obszaze pomiędzy płytami. Ładunek i masę elektonu taktujemy jako dane. y e v E x Podczas uchu w obszaze między płytami elekton doświadcza działania siły związanej z polem elektycznym. Siła ta ma taki sam kieunek jak pole E, a jej watość wynosi F = ee. Ponieważ ładunek elektonu jest ujemny, siła F ma zwot pzeciwny niż E, czyli jest skieowana pionowo w dół. Jest to jednocześnie jedyna siła działająca na elekton. Możemy więc stwiedzić, że wzdłuż osi OX elekton pousza się uchem jednostajnym z pędkością początkową (czyli v ), natomiast wzdłuż osi OY uchem jednostajnie pzyspieszonym. Watość pzyspieszenia wynika z dugiej zasady dynamiki Newtona: F = ma y x a F=eE

7 Dla składowej x możemy napisać wyażenia na pzyspieszenie, pędkość i położenie: t v t a t v x x v v a x x x 1 W ozważanym pzypadku x - x jest daną ówną długości płyty, możemy więc z powyższych ównań wyznaczyć czas lotu elektonu t: W tym czasie elekton pzebywa y - y wzdłuż osi OY Watość pzyspieszenie jest ujemna, co zgodnie z oczekiwaniami oznacza, że jest ono skieowane w dół (pzeciwnie do zwotu osi OY). Zauważmy, że watość pzyspieszenie jest o wiele większa niż watość pzyspieszenia ziemskiego, co uspawiedliwia zaniedbanie efektów działania siły ciężkości. Znając pzyspieszenie możemy ostatecznie wyznaczyć poszukiwaną watość natężenia pola E: v x x t s m /. m. s m /. m. x x v y y a t a t a v y y?,a,v v x x t y y y y y y m / V. C. s m /. kg. e m a E y

8 Zadanie 6 Dwie identyczne, naładowane ładunkiem q i posiadające masę m kulki zostały zawieszone w polu gawitacyjnym na niciach o długości L (patz ysunek). Zakładając, że kąt jest mały, znajdź wyażenie opisujące odległość między kulkami gdy układ pozostaje w ównowadze. Waunek ównowagi układu kulek oznacza, że siły działające na każdą z nich ównoważą się. Siłami tymi są siła ciężkości F g, siła naciągu nici F N oaz siła elektostatyczna F e. Rysując siły w układzie współzędnych i ozkładając siłę naciągu nici na składowe możemy zapisać waunek ównowagi dla każdej składowej: L L F F x y F F Nx Ny F F F F sin F Watość siły elektostatycznej F e dana jest ównaniem: Z waunków ównowagi mamy: Ponieważ dla małych kątów tansin=d/l możemy powyższe ównanie zapisać jako: z któego wynika wyażenie na d: e g N N e cos mg q F e k d mgsin q mg tan Fe k cos d mgd q k L d 1/ 3 klq d mg q m F Ny F e d y F Nx F g m F N q x

9 Zadanie 7 Powiezchnia półsfeyczna o pomieniu jest umieszczona w jednoodnym polu E w taki sposób, że jej oś symetii pokywa się z kieunkiem pola. Oblicz stumień pola E pzez powiezchnię półsfeyczną. Poblem łatwo ozwiązać, jeśli zauważymy, że stumień pzez powiezchnię półsfey jest ówny stumieniowi pzez powiezchnię koła o takim samym pomieniu będącego podstawą półsfey. Dzieje się tak dlatego, że każdy wekto pzechodzący pzez powiezchnię półsfey pzechodzi jednocześnie pzez wspominane koło. Ponieważ powiezchnia okęgu jest w każdym punkcie postopadła do kieunku wektoa E wyażenie na stumień jest po postu iloczynem natężenia pola E i pola powiezchni okęgu A: E A E Wato zauważyć, że powyższe ozwiązanie jest pawdziwe ównież gdy półsfeę zastąpimy inną, dowolną powiezchnią ozpiętą na postopadłym do kieunku pola E okęgu. E

10 Zadanie 8 Tzy kulki mają ładunki q 1 =.5nC, q =-1nC q 3 =-1.5nC. Znajdź wypadkowy stumień pola E pzez każdą z powiezchni zamkniętych zaznaczonych na ysunku. S 1, S, S 3, S 4 q 1 q 3 q Z pawa Gaussa wynika, że wypadkowy stumień pola E pzez powiezchnie zamkniętą jest z dokładnością do stałej ówny całkowitemu ładunkowi zamkniętemu tą powiezchnią. Powiezchnia S 1 zamyka jedynie ładunek q 1, więc stumień pola E pzez tą powiezchnię wynosi: C F / m Vm q Dla tzech pozostałych powiezchni mamy: q1 q C F / m169vm q q C F / m 8Vm q q q C F / m Vm 1 3

11 Zadanie 9 Jądo atomu uanu zawieające 9 potony może być taktowane jako jednoodnie naładowana kula. Pomień jąda atomu uanu wynosi w pzybliżeniu m. Jakie jest natężenie pola E tuż pzy powiezchni jąda, a jakie w miejscu gdzie znajdują się elektony tzn. w odległości 11-1 m? Jeśli elektony potaktujemy jako sfeyczną powłokę o ładunku ujemnym to jakie pole elektyczne wytwazają elektony w miejscu gdzie znajduje się jądo? Zadanie możemy ozwiązać stosując twiedzenie Gaussa. Aby znaleźć natężenie pola tuż pzy powiezchni jąda atomowego wybieamy jako powiezchnię Gaussa powiezchnię sfeyczna współśodkową z jądem i o pomieniu ównym pomieniowi jąda. Zgodnie z twiedzeniem Gaussa stumień pola E pzez tą powiezchnię jest ówny z dokładnością do stałej całkowitemu ładunkowi zamkniętemu powiezchnią, czyli w naszym pzypadku całkowitemu ładunkowi jąda: Q wew C Vm F / m jądo elektony Z dugiej stony, stumień ten jest ówny iloczynowi natężenia pola E na powiezchni Gaussa i pola tej powiezchni: E E4 Qwew 4 Q wew z czego wynika, że: F / m7.4 1 m C.41 1 V / m

12 Wyznaczając natężenie pola E w miejscu gdzie znajdują się elektony posłużymy się analogicznym ozumowaniem, z tym że pomień powiezchni Gaussa będzie wynosił teaz 11-1 m. E Qwew F / m1. 1 m C V / m Aby znaleźć natężenie pola pochodzącego od elektonów w punkcie gdzie znajduje się jądo wystaczy zauważyć, że wybieając dowolną powiezchnię sfeyczną nie zawieającą elektonów otzymujemy zeową watość stumienia, a tym samym zeowe natężenie pola E. Tak więc natężenie pola elektycznego pochodzącego od elektonów wynosi zeo zaówno w punkcie gdzie znajduje się jądo, jak i w każdym innym punkcie zamkniętym sfeyczną powłoką twozoną pzez elektony.

13 Zadanie 1 Metalowa kula o pomieniu a zawiea całkowity ładunek +q. Kula znajduje się wewnątz metalowej powłoki sfeycznej o pomieniu wewnętznym b i zewnętznym c. Całkowity ładunek powłoki sfeycznej wynosi -3q. Znajdź ozkład ładunku w układzie. Zadanie to możemy ozwiązać stosując pawo Gaussa i pamiętając o baku pola wewnątz pzewodnika. Wybieając jako powiezchnię Gaussa powiezchnię sfeyczna o pomieniu <a (ysunek) nie otaczamy żadnego ładunku ponieważ jest on zgomadzony zawsze na powiezchni pzewodnika (=a). Ponieważ ładunek zamknięty taką powiezchnią wynosi zeo, więc i natężenie pola wewnątz kuli będzie zeowe. Całkowity ładunek kuli wynoszący +q jest więc zgomadzony na powiezchni kuli. Wewnątz metalowej powłoki sfeycznej pole elektyczne jest, jak zawsze wewnątz pzewodnika, zeowe. Z pawa Gaussa wynika, że skoo pole jest elektyczne znika wewnątz powłoki, to sfeyczna powiezchna Gaussa o b<<c (ysunek) zamyka całkowity ładunek ówny zeo. Wiedząc o tym możemy zauważyć, że ładunek zgomadzony na wewnętznej powiezchni powłoki musi mieć taką samą watość i pzeciwny znak niż ładunek kuli. Oznacza to, że na wewnętznej powiezchni kuli zgomadzi się ładunek -q. Z teści zadania wynika, że całkowity ładunek powłoki sfeycznej wynosi -3q. akujący do całkowitego bilansu ładunek -q może znajdować się jedynie na zewnętznej powiezchni powłoki. +q -q powiezchnie Gaussa a b c -q

14 Zadanie 11 Metalowa kula o pomieniu a zawiea całkowity ładunek +q. Kula znajduje się wewnątz metalowej powłoki sfeycznej o pomieniu wewnętznym b i zewnętznym c. Całkowity ładunek powłoki sfeycznej wynosi zeo. Znajdź zależność natężenia pola elektycznego w funkcji odległości od śodka kuli dla następujących pzypadków <a, a<<b, b<<c, >c Zadanie możemy ozwiązać stosując twiedzenie Gaussa i pamiętając o tym, że ładunek elektyczny jest zawsze zgomadzony na powiezchni pzewodnika (metalu) a natężenie pola E wewnątz pzewodnika wynosi zeo. Śodkowa kula zawiea ładunek q i ładunek ten jest zgomadzony na powiezchni kuli. Wybieamy jako powiezchnie Gaussa sfeę o pomieniu <a. Ponieważ cały ładunek znajduje się na powiezchni kuli, powiezchnia Gaussa zawiea zeowy ładunek z czego wynika bezpośednio, że natężenia pola E= dla <a. Wybieając powiezchnię Gaussa o pomieniu a<<b otaczamy nią ładunek kuli czyli +q, tak więc zapisując pawo Gaussa mamy: q E4 z czego: 4 E q dla a<<b Powiezchnia o pomieniu z zakesu b<<c jest zawata w metalowej powłoce sfeycznej. Wiedząc, że wewnątz pzewodnika nie istnieje pole E możemy napisać: E= dla b<<c. Stosując pawo Gaussa dla powiezchni o >c otaczamy nią całkowity ładunek układu, któy jest ładunkiem kuli oaz ładunkiem powłoki sfeycznej. Ponieważ ładunek kuli wynosi q a ładunek powłoki wynosi wiec sumayczny ładunek układu wynosi q. Zapisując pawo Gaussa mamy: E4 q z czego: E q 4 dla >c a c b

15 Zadanie 1 Kula o pomieniu R wykonana z dielektyka (izolatoa) jest naładowana jednoodnie z objętościową gęstością ładunku. Kozystając z pawa Gaussa znajdź zależność natężenia pola elektycznego od odległości od śodka kuli oaz wykonaj wykes otzymanej zależności. Poblem można podzielić ozpatując oddzielnie dwa pzypadki: wewnątz (<R) i na zewnątz kuli (>R). Rozpatzmy piewszy z powyższych pzypadków. Jako powiezchnię Gaussa wybieamy powiezchnię sfey (ysunek) któej pomień <R. Pawo Gaussa głosi, że stumień pola E pzez tą powiezchnię jest z dokładnością do stałej ówny całkowitemu ładunkowi zamkniętemu powiezchnią. Stumień można łatwo obliczyć mnożąc natężenia pola E pzez pole powiezchni sfey: E4 W pzypadku dielektyka ładunek jest ozmieszczony w całej objętości kuli, a nie na powiezchni jak w pzypadku pzewodników. Powiezchnia Gaussa o <R nie zamyka jednak całego ładunku jaki zawiea sfea, ale tylko jego część. Ilość ładunku zamkniętego powiezchnią Gaussa możemy obliczyć mnożąc gęstość objętościową ładunku i objętość sfey o pomieniu : powiezchnia Gaussa R część ładunku zamknięta powiezchnią Gaussa Qwew 4 3 Z pawa Gaussa mamy więc: E4 3 3 z czego otzymujemy: E 3 dla <R.

16 Dla dugiego pzypadku (>R), czyli na zewnątz kuli ozumowanie pzebiega analogicznie jak popzednio, z tą óżnicą, że powiezchnia Gaussa o >R zamyka całkowity ładunek któy zawiea kula. Ładunek ten jest ówny iloczynowi gęstości objętościowej ładunku i objętości kuli: Qwew 4 R 3 Stosując pawo Gaussa mamy: 3 powiezchnia Gaussa R E R 4 3 Wyażenie na E dla pzypadku gdy >R ma więc postać: E R 3 3 Wato zauważyć, że wyażenia na E dla <R i dla >R są ównoważne gdy =R: E E R 3 E =R 1 E ładunek zamknięty powiezchnią Gaussa E R 3 Wykes szukanej zależności E()

17 Zadanie 13 Poton pousza się w akceleatoze liniowym po postej a punktu a do punktu b odległych od siebie d=1m. Pole elektyczne jest na długości d jednoodne, ma watość E=.51-7 V/m i jest skieowane z punktu a do punktu b. Oblicz siłę działającą na poton, pacę wykonaną pzez pole nad potonem oaz óżnicę potencjałów pomiędzy punktami a i b. Siłę działającą na poton w polu elektycznym możemy obliczyć mnożąc natężenie pola pzez ładunek potonu: F q p E C.51 7 V / m 41 1 N poton a F E b Ponieważ wekto stałej siły i pzemieszczenia mają taki sam kieunek i taki sam zwot, więc paca wykonana pzez pole elektyczne jest dodatnia i dana iloczynem watości siły i pzemieszczenia: d 1 1 W ab Fd 41 N 1m 41 J Różnicę potencjałów można wyznaczyć obliczając stosunek óżnicy enegii potencjalnych potonu w punktach a i b (ówną pacy wykonanej pzez pole) do ładunku potonu: V ab V a V b W q ab p J C.51 7 J / C.51 7 V

18 Zadanie 14 Cząsteczka o masie m=5g i ładunku q=nc pousza się między dwoma ładunkami +3nC i -3nC od punktu a do b po linii postej (patz ysunek). Odległość pomiędzy ładunkami wynosi 3cm a między punktami a i b 1cm. W chwili początkowej cząstka spoczywała w punkcie a. Jakim uchem będzie pouszać się cząstka i jaka będzie jej pędkość gdy dotze ona do punktu b? 3nC 1cm a nc m cząstka 1cm Ponieważ w układzie działają jedynie siły zachowawcze, możemy zastosować zasadę zachowania enegii (sumy enegii kinetycznej E k i potencjalnej E p ) dla punktów a i b: E ka E pa E kb E pb Z teści zadania wynika, że E ka = ponieważ pędkość cząstki w punkcie a wynosiła zeo. Z kolei E kb =1/mv gdzie v jest szukaną pędkością cząstki w punkcie b. Aby wyznaczać E kb, a tym samym pędkość v, należy obliczyć watości enegii potencjalnych E pa i E pb. Enegie te są związane z watościami potencjałów elektycznych V a i V b w punktach a i b pzez ównania: E E pa pb V V a b q q Pozostaje więc obliczyć watości potencjałów V a i V b. Na watości tych potencjałów składają się pzyczynki od obu ładunków (3nC i -3nC): 3nC 3nC 3nC 3nC Va k 135V Vb k 135V 1cm cm cm 1cm b 1cm -3nC

19 Wstawiając otzymane watości do ównań na enegię potencjalną mamy: E E pa pb V q 135V nc.7 1 a V q 135V nc.7 1 b 6 J 6 J Zapiszmy zasadę zachowania enegii wstawiając otzymane watości: J.7 1 J 5g v 1 Szukana watość pędkości wynosi więc: J.7 1 J 1.47m s v / 5g Ponieważ na cząstek pouszającą się z a do b działa zmienna wypadkowa siła (odległość cząstki od ładunków 3nC i -3nC zmienia się w czasie) więc zgodnie z dugą zasadą dynamiki Newtona cząstka będzie pouszać się ze zmiennym w czasie pzyspieszeniem czyli uchem niejednostajnie pzyspieszonym.

20 Zadanie 15 Póżniowy kondensato płaski ma okładki o powiezchni S=m odległe od siebie o d=3mm. Do kondensatoa podłączono źódło napięcia o óżnicy potencjałów V=1kV (1V). Jaką pojemność ma kondensato, jaki ładunek zgomadził się na jago okładkach po podłączeniu napięcia i jakie jest natężenie pola elektycznego w obszaze pomiędzy okładkami. Pojemność kondensatoa zależy tylko od jego budowy i odzaju substancji wypełniającej pzestzeń między okładkami. W naszym wypadku mamy do czynienia z kondensatoem póżniowym (=1). Pojemność C kondensatoa wynosi więc: C S 1 m F / m 5.91 d.3m 9 F Ładunek Q zgomadzony na okładkach jest ówny iloczynowi pojemności kondensatoa i pzyłożonej óżnicy potencjałów: Q CV F 11 4 V Natężenie pola elektycznego E w obszaze pomiędzy okładkami można obliczyć znając ładunek na okładkach: 5 Q 5.91 C 6 E 3.31 V / m 1 S F / mm C

21 Zadanie 16 Oblicz pojemność kondensatoa kulistego o pomieniach okładek R 1 i R i wypełnionego dielektykiem o względnej pzenikalności. Kondensato kulisty składa się z dwóch sfeycznych, współśodkowych okładek. Pole elektyczne w obszaze pomiędzy okładkami ma symetie sfeyczną (patz ysunek). Załóżmy, że na okładkach kondensatoa zgomadzony jest ładunek Q. Dla pola skieowanego od śodka na zewnątz na wewnętznej okładce zgomadzony jest ładunek dodatni, a na zewnętznej ujemny. Dla pola o symetii sfeycznej i ośodka o pzenikalności óżnicę potencjałów pomiędzy okładkami można obliczyć z ównania: -Q E +Q R 1 V kq 1 R 1 1 R 4 Q R R R1R 1 R Pojemność kondensatoa jest zdefiniowana jako stosunek ładunku zgomadzonego na okładkach do watości óżnicy potencjałów pomiędzy okładkami: Jak należało się spodziewać, Q Q R 1R pojemność kondensatoa nie zależy C 4 od watości ładunku zgomadzonego V Q R R R R1 1 na jego okładkach, a jedynie od jego budowy. 4 R R 1

22 Zadanie 17 Dla układu kondensatoów widocznego na ysunku oblicz ównoważną pojemność między punktami b i c oaz a i c. 1pF a b c 15pF 8pF Kondensatoy między punktami b i c są połączone ównolegle, więc ich pojemność zastępcza jest sumą ich pojemności: C bc 8pF 1pF pf Pomiędzy punktami a i c mamy dwie szeegowo połączone pojemności: 15pF oaz powyżej obliczoną pojemność zastępczą ówną pf. Odwotność pojemności zastępczej połączonych szeegowo kondensatoów jest ówna sumie ich odwotności: C ac 15pF pf Pojemność C ac jest więc ówna: 3 C ac pf 8. 6 pf 35

23 Zadanie 18 Stumień potonów pousza się z pędkością v=1 5 m/s pzez obsza w któym występuje jednoodne pole o indukcji =.T skieowane ównolegle do osi z układu współzędnych. Kieunek uchu potonów leży w płaszczyźnie xz i twozy kąt 3 z osią z (ysunek). Znajdź kieunek i watość siły działającej na pouszające się potony. y Kieunek siły Loentza jest zawsze postopadły do płaszczyzny w któej leżą wektoy pędkości ładunku i indukcji magnetycznej. W ozpatywanym pzypadku wektoy te leżą w płaszczyźnie xz, więc wekto siły Loentza ma kieunek osi y. Zwot wektoa siły wynika z eguły pawej dłoni (lub śuby pawoskętnej) i w naszym pzypadku jest skieowany w stonę ujemnych watości y (w dół). Watość siły Loentza można obliczyć z ównania: z v F x F qvsin C 1 m/ st N Zwóćmy uwagę na fakt, że zwot siły Loentza zależy od znaku ładunku cząstki. W powyższym pzykładzie siła Loentza byłaby skieowana w góę gdyby potony zastąpiono elektonami.

24 Zadanie 19 W modelu atomu wodou oha elekton pousza się po obicie kołowej wokół jąda (potonu). Pomień obity elektonu wynosi R= m a pędkość jego uchu v=.1 6 m/s. Zakładając że elekton pousza się w kieunku zgodnym z uchem wskazówek zegaa, znajdź kieunek, watość i zwot wektoa indukcji pola magnetycznego w punkcie w któym znajduje się jądo atomowe. Ruch elektonu po obicie kołowej można utożsamiać z pzepływem pądu w pętli. Watość tego pądu jest ówna stosunkowi ładunku elektonu do czasu w jakim wykonuje on jeden pełny obieg czyli okesu: I e T Związek pędkości uchu elektonu z okesem i pomieniem obity ma postać v=(r)/t, tak więc T=(R)/v. Wyażenie na natężenie pądu I ma więc postać: I ev R Równanie opisujące indukcję w śodku pętli z pądem ma postać: Po wstawieniu uzyskanego wyażenia na natężenie pądu I mamy: ev 4 1 Tm/ A1.61 C.1 m / s 13T 4R m Kieunek wektoa jest postopadły do płaszczyzny w któej kąży elekton, natomiast zwot wynika z eguły pawej dłoni i zwotu pądu I któy jest pzeciwny do kieunku uchu elektonu. I R v I

25 Zadanie Pzez spoczywający poziomo metalowy pęt płynie pąd o natężeniu I=5A. Pęt znajduje się w polu magnetycznym o indukcji =1T leżącej w płaszczyźnie pęta i twozącej z kieunkiem pęta kąt =45 (ysunek). Znajdź wekto siły działającej odcinek pęta o długości L=m. Wyażenie opisujące siłę działającą na pzewodnik w któym płynie pąd I ma postać: F ILsin Kieunek tej siły jest postopadły do płaszczyzny w któej leżą wektoy I i, a jej zwot wynika z eguły pawej dłoni. F I L Kąt w powyższym ównaniu jest kątem jaki twozą ze sobą kieunki pola magnetycznego i kieunek pzepływu pądu, czyli oś pzewodnika. Watość wektoa siły jest więc ówna: F 5A1T msin 71N

26 Zadanie 1 Leżąca poziomo pętla w kształcie okęgu o pomieniu R=.5m składa się z n= zwojów dutu pzez któy płynie pzeciwnie do kieunku uchu wskazówek zegaa pąd o natężeniu I =1A. Pętla znajduje się w skieowanym poziomo jednoodnym polu magnetycznym o indukcji =1.5T. Znajdź moment magnetyczny pętli oaz moment siły na nią działającej. Definicja momentu magnetycznego ma postać: I A I W naszym pzypadku watość wektoa A wynosi: A R.79m Ponieważ pętla składa się z n= zwojów, więc całkowity moment magnetyczny wynosi: ni A 1A.79m 158 Am Na moment magnetyczny działa w polu magnetycznym moment siły : Kieunek i zwot momentu siły w ozważanym pzypadku będzie taki, że pętla będzie się obacać tak by wekto momentu magnetycznego był ównoległy do wektoa indukcji (stzałki na ysunku). Watość wektoa momentu siły wynosi: sin9 158Am 1.5T 1 37Nm

27 Zadanie Rozpatując pętlę i pole magnetyczne z popzedniego zadania znajdź zmianę enegii potencjalnej towazyszącą obotowi pętli pzez pole magnetyczne z pozycji poziomej od pozycji pionowej (ysunek). =9 I = I Enegia potencjalna momentu magnetycznego w polu wynosi: U cos W początkowej sytuacji enegia potencjalna wynosi: U cos9 158Am 1.5T J 1 Po obocie pętli: U cos 158Am 1.5T 1 37J Zwóćmy uwagę, że enegia potencjalna ulega zmniejszeniu w takcie obacania pętli ponieważ kieunek obotu jest zgodny z kieunkiem działania momentu siły (patz popzednie zadanie).

28 Zadanie 3 Po długiej metalowej uze o pomieniu R płynie pąd o natężeniu I. Kozystając z pawa Ampee a znajdź watość indukcji pola w zależności od odległości od śodka uy. Rozpatzmy oddzielnie dwa pzypadki: gdy <R oaz gdy >R. 1) <R Wybieamy jako kzywą zamkniętą okąg o pomieniu <R (ysunek). Pawo Ampee a mówi, że kążenie wektoa indukcji po tej kzywej jest ówne z dokładnością do stałej całkowitemu pądowi płynącemu pzez powiezchnię zamkniętą tą kzywą. Kążenie wektoa wyaża się pzez wyażenie L gdzie L jest elementem kzywej ównoległej do wektoa. Pawo Ampea wyaża się więc ównaniem: L I W naszym pzypadku pąd płynie tylko po powiezchni uy (=R), tak więc pąd I w powyższym ównaniu wynosi. Oznacza to, że ównież = dla <R. ) >R Postępujemy analogicznie jak w popzednim punkcie, jednak teaz kzywa zamknięta ma pomień większy od pomienia uy (ysunek). Pole wokół uy z pądem ma symetie okęgów, co oznacza, że jest w każdym punkcie ównoległe do elementu kzywej L. W odóżnieniu od popzedniego pzypadku, teaz pąd zamknięty kzywą jest ówny całemu pądowi płynącemu pzez uę czyli I. I R

29 Pawo Ampee a ma więc w tym wypadku postać: L I Ponieważ jest stałe na każdym elemencie L możemy wyłączyć pzed znak sumy: L L Suma elementów L jest po postu długością kzywej czyli długości okęgu o pomieniu : L Wstawiając uzyskane wyażenie do pawa Ampee a mamy: z czego: I I dla >R I R 1 Wykes szukanej zależności () =R

30 Zadanie 4 Pzez długi metalowy pzewód o pomieniu R płynie jednoodny pąd o natężeniu I. Kozystając z pawa Ampee a znajdź watość indukcji pola w zależności od odległości od śodka pzewodu. W odóżnieniu od pzypadku ozpatywanego w popzednim zadaniu, pąd I nie płynie teaz jedynie po ścianie uy, ale jednoodnie pzez cały pzekój pzewodu. Podobnie jak popzednio ozpatzmy oddzielnie dwa pzypadki: gdy <R oaz gdy >R. 1) <R Nasza kzywa (okąg o pomieniu <R) zamyka pewną powiezchnie któej pole jest ówne polu powiezchni okęgu. Ponieważ pąd I płynie pzez całą powiezchnię pzekoju pzewodu o pomieniu R, pąd I pzepływający pzez powiezchnię okęgu o pomieniu o <R jest tylko częścią pądu I. Stosunek watości pądu I do I jest ówny stosunkowi powiezchni oganiczonej kzywą (obsza wypełniony na ysunku poniżej) do całej powiezchni pzekoju pzewodu. I R R

31 Możemy więc napisać: R R I I z czego: R I I Pawo Ampee a ma więc w tym pzypadku postać: L L R I I L czyli: R I dla <R ) >R Podobnie jak w popzednim zadaniu pzez powiezchnię zamkniętą kzywą o pomieniu >R pzepływa cały pąd I tak więc pawo Ampee a ma postać: I L I czyli: dla >R I =R R I 1

32 Zadanie 5 Metalowa amka o bokach długości a i b pousza się z pędkością v ównoległą do boku a. Pouszająca się amka opuszcza obsza któym działa jednoodne pole skieowanie postopadle do amki (ysunek). Znajdź watość indukowanej w amce siły elektomotoycznej gdy amka jest całkowicie w obszaze pola, częściowo w obszaze pola oaz gdy jest całkowicie poza tym obszaem. Pzyczyną powstawania indukowanej siły elektomotoycznej jest zmienny w czasie stumień pola magnetycznego. W sytuacji gdy amka pozostaje całkowicie wewnątz lub całkowicie na zewnątz obszau pola stumień pola pzez amkę jest stały, co oznacza że siła elektomotoyczna nie jest indukowana. Jedynie w pzypadku kiedy pouszająca się amka znajduje się częściowo w obszaze pola stumień pola jest zmienny i indukowana jest siła elektomotoyczna : t Zmiana stumienia jest ówna iloczynowi części pola amki znajdującej się w obszaze pola i indukcji pola : bx Indukowana siła elektomotoyczna jest więc ówna: x b t bv x a b v

33 Zadanie 6 Okągła metalowa pętla jest umieszczona w jednoodnym zewnętznym polu magnetycznym tak, że kieunek pola jest postopadły do płaszczyzny pętli (ysunek). Okeśl kieunek pądu indukowanego w pętli (zgodnie lub pzeciwnie do uchu wskazówek zegaa) podczas gdy watość indukcji pola ośnie oaz gdy watość ta maleje w czasie. Zgodnie z egułą Lenza kieunek pzepływu pądu indukowanego pod wpływem indukowanej siły elektomotoycznej jest taki, że pzeciwdziała on zmianie stumienia magnetycznego. W pzypadku naastającego pola (coaz silniejsze pole skieowane za płaszczyznę ysunku) stumień pola pzez pętlę ośnie a indukowana siła elektomotoyczna wywoła pzepływ pądu któy będzie pzeciwdziałał naastaniu stumienia. Pzepływ pądu indukowanego w kieunku pzeciwnym do uchu wskazówek zegaa spowoduje powstanie pola skieowanego pzeciwnie do naastającego pola zewnętznego czyli spowolni naastanie stumienia. Stosując analogiczne ozumowanie w pzypadku malejącego zewnętznego pola dochodzimy do wniosku, że w pzepływ pądu zgodnie z uchem wskazówek zegaa spowoduje podtzymanie malejącego stumienia. I ośnie I maleje

34 Zadania do samodzielnego ozwiązania

35 Zadanie 1 Zakładamy, że cięża człowieka wynosi 8N. Pzyjmując, że dwie osoby zawieają +1C nieskompensowanego ładunku elektycznego, oblicz odległość dla jakiej siła oddziaływania elektostatycznego między tymi osobami będzie ówna co do watości ciężaowi każdej z nich. Odp.: 3.35km Zadanie Dwie identycznie naładowane kulki są umieszczone w odległości 8cm. Ile elektonów zawiea każda z kulek jeśli siła oddziaływania elektostatycznego między nimi wynosi 4.57*1-1 N. Odp.: 178 elektonów Zadanie 3 Cztey identyczne ładunki q umieszczono w wiezchołkach kwadatu o boku L. Znajdź watość siły działającej na jeden wybany ładunek, pochodzącej od pozostałych tzech. Odp.: q F k L 1 Zadanie 4 Kulka o masie m=mg i ładunku q=-5nc wisi na nici w pobliżu badzo dużej płyty naładowanej z gęstością powiezchniową =.5nC/m. Znajdź kąt jaki twozy nić z pionem. Odp.: =19.8 m q

36 Zadanie 5 Zakładając że Ziemia jest pzewodnikiem i wiedząc, że natężenie pola E tuż pzy powiezchni Ziemi wynosi 15V/m i jest skieowane do śodka Ziemi znajdź gęstość powiezchniową ładunku Ziemi. Pomień Ziemi R= m. Odp.: C/m Zadanie 6 Pzewodząca kula o pomieniu R zawiea ładunek Q. Kula jest otoczona wykonaną z izolatoa cienką powłoką sfeyczną o pomieniu R i ładunku ównież wynoszącym Q. Znajdź natężenie pola E w funkcji odległości od śodka kuli dla <<R, R<<R, >R. Odp.: E= dla <<R, E=kQ/ dla R<<R,, E=kQ/ dla R<<R Zadanie 7 Dwa ładunki punktowe są umieszczone na osi x w taki sposób, że ładunek q 1 =-e jest w x=, a ładunek q =+e w x=d. Jaką pacę musi wykonać siła zewnętzna, żeby pzenieść ładunek q 3 =+e z nieskończoności do punktu x=d Odp.: e W 8 a Zadanie 8 Cząstka o ładunku q=4.nc została umieszczona w jednoodnym polu elektycznym skieowanym w pawo. Cząstka po zwolnieniu pousza się w pawo i po pzebyciu dogi d=6cm posiadała enegię kinetyczna E k = J. Jaka jest óżnica potencjałów pomiędzy punktem początkowym a końcowym i jaka jest watość pola E? Odp.: V=357V, E= V/m.

37 Zadanie 9 Elekton zostaje pzyspieszony z pędkości 31 6 m/s do 81 6 m/s. Jaka óżnica potencjałów spowodowała takie pzyspieszenie? Odp.: V=156V Zadanie 1 Ładunek +q jest umieszczony w punkcie o współzędnych x=, y=-a, a dugi taki sam ładunek w punkcie x=, y=a. Znajdź zależność potencjału elektycznego w funkcji położenia na osi x (y=). Odp.: q V ( x) k a x Zadanie 11 Ładunek +q jest umieszczony w punkcie o współzędnych x=, y=-a, a ładunek q w punkcie x=, y=a. Znajdź zależność potencjału elektycznego w funkcji położenia na osi x (y=). Odp.: V(x)= Zadanie 1 Kulka o masie m=1g wisi na nici pomiędzy dwiema dużymi, naładowanymi płytami odległymi od siebie o d=5cm (ysunek). Jaka jest óżnica potencjałów między płytami jeśli nić wychylona jest o kąt =3 od pionu? Ładunek kulki q= C Odp.: V=95.5V - m q + d

38 Zadanie 13 Jaką powiezchnię powinny mieć okładki kondensatoa płaskiego o pojemności 1F któego okładki są w odległości.5mm? Odp.: A= m Zadanie 14 Znajdź pojemność zastępczą układu kondensatoów pzedstawionego na ysunku. Odp.:C=6pF 3pF 11pF 1pF 6pF 9pF Zadanie 15 Różnica potencjałów między punktami a i b wynosi V. Znajdź ładunek, enegię oaz óżnicę potencjałów dla każdego z kondensatoów. Odp.: Różnica potencjałów wynosi V dla obu kondensatoów C 1 =75F Q 1 = C Q = C E 1 =1.8J E =.85J a b C =35F

39 Zadanie 16 Dwie duże ównoległe płyty są naładowane pzeciwnie. Gdy pzestzeń między płytami jest pusta, natężenie pola E w tym obszaze wynosi V/m. Gdy pzestzeń między płytami wypełnia dielektyk natężenie maleje do. 1 5 V/m. Ile wynosi gęstość ładunku indukowanego na powiezchniach dielektyka i ile wynosi jego względna pzenikalność? Odp.: =1.59, ind = C/m Zadanie 17 Kondensato płaski o powiezchni okładek A i odległości między okładkami d jest wypełniony ównymi ilościami dwóch odzajów dielektyka o watościach względnej pzenikalności ównych 1 i (tak jak na ysunku). Znajdź pojemność takiego kondensatoa. Odp.: A C d 1 1 d Zadanie 18 Kondensato płaski o powiezchni okładek A i odległości między okładkami d jest wypełniony dwiema wastwami dielektyka o watościach względnej pzenikalności ównych 1 i (tak jak na ysunku). Znajdź pojemność takiego kondensatoa. Odp.: A C d d/ d/

40 Zadanie 19 Cząstka o ładunku C pousza się w polu magnetycznym o indukcji =1.5T po okęgu o pomieniu 5mm. Jaki jest pęd p i moment pędu L cząstki? Odp.: p= kgm/s, L=.41 3 kgm /s Zadanie Poton wpada w obsza pola magnetycznego skieowanego postopadle do pędkości potonu. Po opuszczeniu obszau pola kieunek pędkości potonu jest postopadły do kieunku początkowego. Znajdź watość indukcji pola jeśli wiadomo, że doga jaką pzebył poton wewnątz obszau pola wynosi s=1.18cm a watość jego pędkości wynosi 1m/s. Odp.: = T

41 Zadanie 1 W tzech ównoległych, odległych od siebie o d pzewodach płynie pąd I w kieunkach zaznaczonych na ysunku. Znajdź siły działające na jednostkę długości dla każdego z pzewodów. Odp.: F L F L F L I 4d I 4d skieowane do góy dla gónego pzewodu, dla śodkowego pzewodu, skieowane do dołu dla dolnego pzewodu. I I I d d Zadanie W punkcie P znajdź indukcje pola pochodzącą od półkolistego fagmentu dutu o pomieniu kzywizny R w któym płynie pąd I (ysunek). Czy poste odcinku dutu wytwazają pole w tym punkcie? I Odp.: 4R Poste odcinki dutu nie wytwazają pola w punkcie P I R

42 Zadanie 3 Pzez dwie współosiowe cienkościenne uy o pomieniach a i b płyną w pzeciwnych kieunkach pądy o natężeniu I. Znajdź indukcję pola w funkcji odległości od osi u dla <<a, a<<b, >b Odp.: I = dla <<a, dla a<<b, = dla >b, Zadanie 4 Dla układów długich pzewodników z pądem na ysunkach znajdź miejsca punktów w któych wypadkowa indukcja pola jest zeowa. a) b) c) 1A 1A 3A A A 1A Odp.: Są to poste pzechodzące pzez śodek układu współzędnych: a) posta o nachyleniu -1, b) posta o nachyleniu 1/3, c) posta o nachyleniu 1

43 Zadanie 5 Pzez dwa długie ównoległe pzewody płynie w pzeciwnych kieunkach pąd I. Odległość między pzewodami wynosi d. Pzewody leżą postopadle do płaszczyzny xy (ysunek). Znajdź indukcję pola w funkcji położeni na osi x. Odp.: Id x d skieowane w pawo d y I x d I Zadanie 6 Pzez długi pzewód płynie pąd I 1. W odległości a od pzewodu umieszczono amkę o wymiaach boków b i c tak, że bok b jest ównoległy do pzewodu. Pzez amkę płynie pąd I (ysunek). Znajdź wypadkową siłę pochodzącą od pola wytwazanego pzez pzewód działającą na amkę. Odp.: I1Ib F 1 1 a c a I 1 b a I c

44 Zadanie 7 Dwa jednakowe metalowe pęty o długości L leżą na poziomym stole. Końce pętów są spięte jednakowymi spężynami o stałej spężystości k. Pzez obwód zaczyna płynąć pąd I na skutek czego spężynki się ozciągają. Znajdź długość x o jaką spężynki się ozciągnęły. Odp.: x I L k L I Zadanie 8 Postokątna amka o bokach x i y wiuje w jednoodnym polu częstością kołową (ysunek). Oblicz jak zależy od czasu indukowana miedzy punktami a i b siła elektomotoyczna. Odp.: xy sin t a b x y