Zastosowanie zasad dynamiki Newtona.

Transkrypt

1 Wykład z fizyki. Piot Posmykiewicz 33 W Y K Ł A D IV Zastosowanie zasad dynamiki Newtona. W wykładzie tym zostanie omówione zastosowanie zasad dynamiki w zagadnieniach związanych z taciem i uchem po okęgu. Zajmiemy się ównieŝ uchem ciał, na któe działają siły opou zmieniające się pod wpływem zmian pędkości. 5-1 Tacie Tacie statyczne. Tacie jest skomplikowanym pocesem, nie do końca poznanym. Powstaje ono podczas oddziaływania molekuł dwu powiezchni, jeŝeli znajdują się one w bezpośedniej bliskości od siebie. JeŜeli pzyłoŝyć małą poziomą siłę do duŝej skzyni spoczywającej na powiezchni podłogi, to moŝe okazać się, Ŝe skzynia nie da się pzesunąć z powodu siły tacia statycznego f s, któa jest wywieana pzez podłogę na skzynię (Rysunek 5-1). Siła tacia statycznego pzeciwdziała zawsze pzyłoŝonej sile i moŝe pzyjmować watości od zea do pewnej maksymalnej watości Rysunek 5-1 f s, max, w zaleŝności od tego jak mocno pchamy skzynię. MoŜna by oczekiwać, Ŝe siła f s, max będzie popocjonalna do pola powiezchni kontaktu między dwiema powiezchniami, jednak tak nie jest. Z dobym pzybliŝeniem f s, max nie zaleŝy od powiezchni styku, a jedynie jest popocjonalna do siły nomalnej wywieanej pzez jedną powiezchnię na dugą: gdzie f µ s,max = sfn 5-1 Definicja współczynnika tacia statycznego µ s nazywa się współczynnikiem tacia statycznego, i jest bezwymiaową wielkością zaleŝną od własności powiezchni tących. JeŜeli pzyłoŝyć do skzyni poziomą siłę mniejszą niŝ tacia po postu zównowaŝy poziomą siłę. Ogólnie moŝemy napisać: f s, max, to siła f µ s,max sfn 5- Tacie kinetyczne.

2 Wykład z fizyki. Piot Posmykiewicz 34 JeŜeli pchać skzynkę na ysunku 5-1 dostateczne mocno, to zacznie się ona ślizgać po podłodze. Podczas tego ślizgania wiązania molekulane między atomami cały czas twozą się i ulegają zywaniu; cały czas, ównieŝ, małe kawałki powiezchni ulegają odywaniu. Rezultatem tego jest pojawienie się siły tacia kinetycznego f k, któa spzeciwia się uchowi. Aby podtzymać uch skzynki ślizgającej się ze stałą pędkością, musimy pzyłoŝyć do niej ówną co do watości, ale pzeciwnie skieowaną siłę, niŝ siła tacia kinetycznego wywieana pzez podłogę na skzynię. Współczynnik tacia kinetycznego kinetycznego do watości siły nomalnej µ k jest zdefiniowany jako stosunek watości siły tacia F k : f µ k,max = k Fn 5-3 Definicja tacia kinetycznego Rysunek 5- gdzie µ k zaleŝy od własności powiezchni tących. Zostało stwiedzone doświadczalnie, Ŝe µ k jest Siła tacia Pzykładana siła mniejsze niŝ µ s i w pzybliŝeniu nie zaleŝy od pędkości pouszającego się ciała. Z dobym pzybliŝeniem, moŝna stwiedzić, Ŝe tak jak ównieŝ stykających się. µ s, µ k nie zaleŝy od pola powiezchni Rysunek 5- pzedstawia siłę tacia wywieaną pzez podłogę na skzynię w funkcji pzykładanej siły zewnętznej: Siła tacia ównowaŝy pzyłoŝoną siłę, aŝ do momentu, gdy watość pzyłoŝonej siły będzie ówna µ - w tym momencie skzynia zacznie się pouszać. Wtedy siła tacia jest stała i sfn F zy F zew ówna µ k Fn. Tabela 5-1 pzedstawia pzybliŝone watości µ s i µ k dla óŝnych powiezchni. Tabela 5-1 PzybliŜone watości współczynników tacia Mateiał µ s µ k stal po stali 0,7 0,6 miedź po Ŝelazie 1,1 0,3 Szkło po szkle 0,9 0,4 teflon po teflonie 0,04 0,04 teflon po stali 0,04 0,04

3 Wykład z fizyki. Piot Posmykiewicz 35 P R Z Y K Ł A D Klocek spoczywa na nachylonej płaszczyźnie. Kąt nachylenia zwiększa się aŝ do kytycznej watości powyŝej któej, klocek zaczyna się ześlizgiwać. Znajdź współczynnik tacia statycznego. θ c Analiza zadania. Siłami działającymi na klocek są: cięŝa mg, siła nomalna F n wywieana pzez Rysunek 5-3 płaszczyznę, i siła tacia f (Rysunek 5-3). Dla kąta mniejszego niŝ kąt kytyczny θ c siła tacia ównowaŝy składową siły cięŝkości kytycznej watości kąta: f µ mg sinθ. Dla s = sfn. JeŜeli zapisać F = 0, to moŝna wyliczyć µ s dla θ c. Wybiez oś x tak, aby była ównoległa do powiezchni, a oś y postopadła. 1. Naysuj diagam sił dla klocka: Rysunek 5-4. Zastosuj F = ma w postaci składowych: 3. Podstaw µ sfn zamiast f s w ównaniu dla składowych x-owych: 4. Znajdź s µ podstawiając F n = mg cosθ w ównaniu dla składowych y-owych: Ćwiczenie. Znajdź pzyspieszenie klocka jeŝeli uszy on w momencie gdy kąt osiągnie watość kytyczną θ c, a współczynnik tacia kinetycznego wynosi µ k. 5- Ruch po okęgu. Pzyspieszenie dośodkowe. Newton pokazał, Ŝe punkt mateialny pouszający się po okęgu o pomieniu ze stałą co do watości pędkością v posiada Rysunek 5-5

4 Wykład z fizyki. Piot Posmykiewicz 36 pzyspieszenie ówne co do watości v, któe jest skieowane wzdłuŝ pomienia do śodka okęgu. Pzyspieszenie to zwane pzyspieszeniem dośodkowym powstaje w wyniku działania na ciało zewnętznej siły skieowanej do śodka okęgu. Rysunek 5-5 pzedstawia satelitę, któy pousza się po obicie kołowej wokół Ziemi. Na wysokości 00km siła gawitacyjna działająca na satelitę jest niewiele mniejsza niŝ na powiezchni Ziemi. Dlaczego satelita nie spadnie na Ziemię? W zeczywistości satelita spada. Jednak z powodu posiadania pędkości poziomej cały czas omija Ziemię. Gdyby satelita na ysunku 5-5 nie pzyspieszał, to pouszałby się od punktu P 1 do punktu P w pewnym czasie t. Zamiast tego dociea do punktu P w uchu po obicie. W tym sensie satelita spada pzebywając odległość h pokazaną na ysunku 5-5. JeŜeli t jest małe, to punkty P i P leŝą pawie na jednej linii popowadzonej z śodka Ziemi. W takim pzypadku moŝna wyliczyć h z tójkąta postokątnego o bokach vt, i + h twiedzenia Pitagoasa mamy:. Z ( + h) = ( vt) + + h + h = v t + ( + h) v t h = Dla badzo małych czasów, h będzie znacznie mniejsze niŝ, dlatego moŝemy zaniedbać h w poównaniu z. Wtedy h v t 1 v h t Poównując to z wyaŝeniem na dogę w uchu ze stałym pzyspieszeniem pzyspieszenia satelity wynosi: v a = 1 h = at widzimy, Ŝe watość Pzyspieszenie dośodkowe Rysunek 5-6 Pomienie wodzące i wektoy pędkości punktu mateialnego pouszającego się po okęgu. Kąt θ między v 1 i v jest taki sam jak kąt między 1 i, poniewaŝ zaówno wektoy pędkości jak i pomienie wodzące muszą obócić się o ówne kąty aby pozostały postopadłe do siebie. Dla badzo małych odstępów czasu zmiana wektoa pędkości v jest w pzybliŝeniu postopadła do v i zwócona w kieunku śodka okęgu. Watość pzyspieszenia moŝna znaleźć z zaleŝności: θ v t i θ v. Wtedy v v v t v

5 Wykład z fizyki. Piot Posmykiewicz 37 Z opisu ysunku 5-5 wynika, Ŝe pzyspieszenia to jest skieowane do śodka okęgu. Na ysunku 5-6 udowodniono geometycznie, Ŝe zeczywiście, pzyspieszenie w uchu po okęgu ze stałą co do watości pędkością zachowuje się w opisany wyŝej sposób. Ruch cząstki pouszającej się po okęgu ze stałą co do watości pędkością jest często opisywany za pomocą czasu potzebnego do wykonania pzez nią jednego pełnego obotu T, zwanego okesem. W czasie jednego okesu punkt mateialny pzebywa odległość pędkość moŝna wyazić jako : π gdzie jest pomienie koła, dlatego jego v π T = 5-4 Cząstka pouszająca się po okęgu ze zmienną pędkością ma zaówno składową styczną pzyspieszenia dv dt, jak i składową adialną (skieowaną wzdłuŝ pomienia) pzyspieszenia v pzypadku ogólnym, kiedy punkt mateialny pousza się po dowolnej kzywej, moŝemy część kzywej potaktować jako łuk okęgu (Rysunek 5-7). Cząstka ma wtedy pzyspieszenie jeŝeli pędkość zmienia się co do watości, ma ównieŝ pzyspieszenie styczne. W v wzdłuŝ pomienia i, dv. dt Rysunek 5-7 P R Z Y K Ł A D Obacamy wiado z wodą po okęgu o pomieniu w płaszczyźnie pionowej. Pędkość wiada w najwyŝszym punkcie tou wynosi v t. (a) Znajdź siłę wywieaną na wodę pzez dno wiada w najwyŝszym punkcie tou. (b) Znajdź minimalną watość pędkości v t pzy któej woda pozostanie we wiadze. (c) Znajdź siłę wywieaną pzez wiado na wodę w dolnym połoŝeniu wiada, gdy jego pędkość wynosi v b. Rysunek 5-8

6 Wykład z fizyki. Piot Posmykiewicz 38 Analiza zadania. Zastosujemy dugie pawo Newtona dla znalezienia siły wywieanej pzez wiadeko. Dwie siły działają na wodę: siła gawitacji mg i siła nacisku wiada na wodę F p. PoniewaŜ woda pousza się uchem po okęgu to musi posiadać pzyspieszenie dośodkowe skieowane do śodka okęgu (Rysunek 5-8). Wybieamy kieunek dodatni osi y do góy. Wtedy w najwyŝszym punkcie okęgu pzyspieszenie jest skieowane do dołu i wynosi skieowane do góy i wynosi a vb y,d = +. a v t y,g =, a najniŝszym połoŝeniu jest (a) 1. Naysuj diagam sił dla wody na szczycie i na dole okęgu. Rysunek 5-9. Zastosuj F = ma gónym. Zaówno dla wody w połoŝeniu F p jak i cięŝa są skieowane do śodka okęgu w kieunku ujemnym: Woda u góy Woda w dole (b) Wiadeko nie moŝe działać siłą do góy na wodę w gónym połoŝeniu. Dlatego minimalna siła wynosi 0. (c) Zastosuj F = ma do wody w dolnym połoŝeniu, kiedy F p i pzyspieszenie są skieowane do góy. Uwaga. Zwóć uwagę, Ŝe na diagamie sił nie ma Ŝadnej stzałki oznaczającej siłę dośodkową. Siła dośodkowa nie jest jakąś nową siłą, jest to po postu nazwa dla wypadkowej siły (sumy wszystkich sił) działającej do śodka okęgu, któa musi powodować powstawanie pzyspieszenia dośodkowego. Kiedy wiado znajduje się w gónym połoŝeniu obie siły gawitacyjna i kontaktowa współdziałają ( są tak samo skieowane) w zapewnieniu niezbędnej siły dośodkowej działającej na wodę. JeŜeli woda pousza się z minimalną dopuszczalną pędkością w gónym połoŝeniu, jej pzyspieszenie wynosi g, a jedyną siłą działającą na nią jest siła cięŝkości mg. Na dole tou wypadkowa siła musi być skieowana do śodka okęgu. F p musi być większe niŝ cięŝa mg, poniewaŝ

7 Wykład z fizyki. Piot Posmykiewicz Siły opou. Rysunek 5-10 JeŜeli pzedmiot pousza się w płynie (płynem nazywamy zaówno stan ciekły jak i gazowy) np. w powietzu wodzie, to ciecz wywiea na pzedmiot siłę opou, któa staa się zmniejszyć pędkość pzedmiotu. Siła opou zaleŝy od kształtu pzedmiotu, własności płynu i pędkości pzedmiotu względem płynu. W pzeciwieństwie do sił tacia, siła opou wzasta waz z pędkością ciała. Dla małych pędkości siła opou jest w pzybliŝeniu popocjonalna do pędkości tego pzedmiotu; dla duŝych pędkości siła ta jest aczej popocjonalna do dugiej potęgi pędkości. RozwaŜmy pzedmiot puszczony swobodnie pod wpływem stałej siły gawitacji. Niech na to ciało działa siła opou mająca watość n bv, gdzie b jest pewną stałą zaleŝną od kształtu ciała i własności powietza, a n jest ówne 1 dla stosunkowo małych pędkości, i ówne dla duŝych pędkości ciała. W takiej sytuacji na ciało działa stała siła do dołu mg i duga siła skieowana do góy n bv (Rysunek 5-10). JeŜeli pzyjmiemy kieunek do dołu jako dodatni to dugą zasadę dynamiki moŝemy zapisać w postaci : n y mg bv = ma F = y 5-5 Dla t = 0 - chwili, w któej pzedmiot jest zucony, pędkość wynosi zeo, siła opou jest ówna zeo, a tym samym pzyspieszenie jest skieowane do dołu i wynosi g. Po pewnym czasie siła opou n bv jest na tyle duŝa, Ŝe ównowaŝy siłę gawitacji mg i od tego momentu ciało pousza się z pzyspieszeniem ównym zeo. Czyli pzedmiot pousza się ze stałą pędkością Podstawiając do ównania 5-7 a = 0 otzymamy v t zwaną pędkością ganiczną. bv n = mg Wyliczając pędkość ganiczną otzymujemy: v t 1 mg n = 5-6 b Im większa stała b tym mniejsza pędkość ganiczna. Spadochon jest tak zapojektowany aby b było maksymalnie duŝe, wtedy jego pędkość ganiczna jest mała. Z dugiej stony samochody są pojektowane tak aby zminimalizować b i tym samym zmniejszyć efekt hamujący wiatu.

8 Wykład z fizyki. Piot Posmykiewicz 40